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1. 如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BOC=100°，则∠BAC的度数是
50°
，∠BDC的度数是130°
。答案
1. 50°；130°
解析
【分析】
解题时先看已知条件：已知圆心角∠BOC=100°，首先求∠BAC，观察可知∠BAC和∠BOC都是弧BC所对的角，前者是圆周角，后者是圆心角，可直接用圆周角定理求解。再求∠BDC，注意到四边形ABDC是圆内接四边形，结合圆内接四边形对角互补的性质，用180°减去已求出的∠BAC即可得到∠BDC的度数。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×100°=50°$
2. 求∠BDC的度数：
因为四边形ABDC内接于$\odot O$，根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，可得：
$∠ BAC+∠ BDC=180°$
代入$∠ BAC=50°$，得：
$∠ BDC=180°-50°=130°$
【答案】
$50°$；$130°$
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于圆的基础考查题，直接对核心定理性质进行应用，熟练记忆相关定理就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先看已知条件：已知圆心角∠BOC=100°，首先求∠BAC，观察可知∠BAC和∠BOC都是弧BC所对的角，前者是圆周角，后者是圆心角，可直接用圆周角定理求解。再求∠BDC，注意到四边形ABDC是圆内接四边形，结合圆内接四边形对角互补的性质，用180°减去已求出的∠BAC即可得到∠BDC的度数。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×100°=50°$
2. 求∠BDC的度数：
因为四边形ABDC内接于$\odot O$，根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，可得：
$∠ BAC+∠ BDC=180°$
代入$∠ BAC=50°$，得：
$∠ BDC=180°-50°=130°$
【答案】
$50°$；$130°$
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于圆的基础考查题，直接对核心定理性质进行应用，熟练记忆相关定理就能快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为4:3:5，则∠D的度数是(
A.$80°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$140°$
B C
D (第1题)
A D (第2题)
B
)。A.$80°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$140°$
B C
D (第1题)
A D (第2题)
答案
2. B
解析
【分析】
首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即相对的两个角之和为180°。题目给出了∠A、∠B、∠C的度数比，我们可以设未知数表示这三个角，先利用∠A和∠C是对角、和为180°求出未知数的值，再计算出∠B的度数，最后利用∠B和∠D互补求出∠D的度数即可。
【解析】
设∠A、∠B、∠C的度数分别为4x、3x、5x。
∵四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴∠A + ∠C = 180°，
代入得：4x + 5x = 180°，
解得x = 20°，
∴∠B = 3x = 3×20° = 60°，
又
∵∠B + ∠D = 180°，
∴∠D = 180° - 60° = 120°。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆内接四边形对角互补
2. 比例的应用
【点评】
本题考查圆内接四边形性质的基础应用，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质，结合比例设未知数即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即相对的两个角之和为180°。题目给出了∠A、∠B、∠C的度数比，我们可以设未知数表示这三个角，先利用∠A和∠C是对角、和为180°求出未知数的值，再计算出∠B的度数，最后利用∠B和∠D互补求出∠D的度数即可。
【解析】
设∠A、∠B、∠C的度数分别为4x、3x、5x。
∵四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴∠A + ∠C = 180°，
代入得：4x + 5x = 180°，
解得x = 20°，
∴∠B = 3x = 3×20° = 60°，
又
∵∠B + ∠D = 180°，
∴∠D = 180° - 60° = 120°。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆内接四边形对角互补
2. 比例的应用
【点评】
本题考查圆内接四边形性质的基础应用，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质，结合比例设未知数即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
3. 如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上。若$∠ ADC=120°$，求BC的度数。
答案
3. 60°
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：四边形ABCD内接于以AB为直径的圆，首先利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠ABC的度数；再结合直径所对圆周角为直角的性质，得到△ABC是直角三角形，求出∠BAC的度数；最后根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，即可求出弧BC的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形的对角互补），
已知∠ADC=120°，代入得：
∠ABC = 180° - 120° = 60°，
∵ AB是半圆O的直径，
∴ ∠ACB = 90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，∠BAC = 90° - ∠ABC = 90° - 60° = 30°，
∵ 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，∠BAC是弧BC所对的圆周角，
∴ 弧BC的度数 = 2×∠BAC = 2×30° = 60°。
【答案】
60°
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；直径所对圆周角的特征
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角相关定理，结合图形特征逐步推导即可得出结果，解题时注意区分圆周角和其所对的弧的对应关系。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：四边形ABCD内接于以AB为直径的圆，首先利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠ABC的度数；再结合直径所对圆周角为直角的性质，得到△ABC是直角三角形，求出∠BAC的度数；最后根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，即可求出弧BC的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形的对角互补），
已知∠ADC=120°，代入得：
∠ABC = 180° - 120° = 60°，
∵ AB是半圆O的直径，
∴ ∠ACB = 90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，∠BAC = 90° - ∠ABC = 90° - 60° = 30°，
∵ 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，∠BAC是弧BC所对的圆周角，
∴ 弧BC的度数 = 2×∠BAC = 2×30° = 60°。
【答案】
60°
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；直径所对圆周角的特征
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角相关定理，结合图形特征逐步推导即可得出结果，解题时注意区分圆周角和其所对的弧的对应关系。
【难度系数】
0.7
4. 已知:如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,延长DC,AB,交于点E,且$BE=BC$。
求证:$△ ADE$是等腰三角形。
求证:$△ ADE$是等腰三角形。
答案
4. 因为∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°,所以∠A=∠BCE。因为BE=BC,所以∠E=∠BCE,所以∠E=∠A,所以△ADE是等腰三角形。
解析
【分析】
要证明△ADE是等腰三角形，根据等腰三角形的判定规则，只需证明该三角形存在两个相等的内角，即证∠A=∠E。首先结合圆内接四边形的性质，可得∠A与∠BCD互补；再根据平角的定义，∠BCE和∠BCD也互补，由同角的补角相等可推出∠A=∠BCE；最后结合已知BE=BC，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠E=∠BCE，通过等量代换就能得到∠A=∠E，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ A+∠ BCD=180°$，
又
∵ $∠ BCE+∠ BCD=180°$，
∴ $∠ A=∠ BCE$。
∵ $BE=BC$，
∴ $∠ E=∠ BCE$，
∴ $∠ E=∠ A$，
∴ $△ ADE$是等腰三角形。
【答案】
$△ ADE$是等腰三角形。
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础证明题，解题核心是通过角的等量代换推导待证三角形的两个内角相等，只要熟练掌握圆内接四边形性质和等腰三角形的相关定理，理清角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明△ADE是等腰三角形，根据等腰三角形的判定规则，只需证明该三角形存在两个相等的内角，即证∠A=∠E。首先结合圆内接四边形的性质，可得∠A与∠BCD互补；再根据平角的定义，∠BCE和∠BCD也互补，由同角的补角相等可推出∠A=∠BCE；最后结合已知BE=BC，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠E=∠BCE，通过等量代换就能得到∠A=∠E，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ A+∠ BCD=180°$，
又
∵ $∠ BCE+∠ BCD=180°$，
∴ $∠ A=∠ BCE$。
∵ $BE=BC$，
∴ $∠ E=∠ BCE$，
∴ $∠ E=∠ A$，
∴ $△ ADE$是等腰三角形。
【答案】
$△ ADE$是等腰三角形。
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础证明题，解题核心是通过角的等量代换推导待证三角形的两个内角相等，只要熟练掌握圆内接四边形性质和等腰三角形的相关定理，理清角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
