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1.列分式方程解应用题的一般步骤
(1)设:设未知数；
(2)列:列分式方程；
(3)解:解分式方程；
(4)验:既要检验所求的解是否为原分式方程的解,还要检验所求的解是否符合实际情况；
(5)答:写出实际问题的答案。
2.常见的等量关系
(1)工作总量=工作效率×工作；
(2)路程=速度×；
(3)总价=单价×。
1.列分式方程解应用题的一般步骤
(1)设:设未知数；
(2)列:列分式方程；
(3)解:解分式方程；
(4)验:既要检验所求的解是否为原分式方程的解,还要检验所求的解是否符合实际情况；
(5)答:写出实际问题的答案。
2.常见的等量关系
(1)工作总量=工作效率×工作；
(2)路程=速度×；
(3)总价=单价×。
答案
解：
2. (1) 时间
(2) 时间
(3) 数量
2. (1) 时间
(2) 时间
(3) 数量
解析
【分析】
这道题考查实际应用问题里三类最基础的等量关系，是列分式方程解应用题的必备基础知识点，我们只需要回忆对应类型问题的基本公式，补全空缺内容即可。
【解析】
(1) 工程问题的基本等量关系为：工作总量 = 工作效率 × 工作时间，因此空缺处填“时间”；
(2) 行程问题的基本等量关系为：路程 = 速度 × 时间，因此空缺处填“时间”；
(3) 销售问题的基本等量关系为：总价 = 单价 × 数量，因此空缺处填“数量”。
【答案】
(1)时间；(2)时间；(3)数量
【知识点】
工程问题等量关系；行程问题等量关系；销售问题等量关系
【点评】
本题属于基础识记类题目，是列方程解决实际应用题的前置基础，熟练掌握这类基础等量关系，才能快速找准题目中的等量关系列出对应方程。
【难度系数】
0.9
这道题考查实际应用问题里三类最基础的等量关系，是列分式方程解应用题的必备基础知识点，我们只需要回忆对应类型问题的基本公式，补全空缺内容即可。
【解析】
(1) 工程问题的基本等量关系为：工作总量 = 工作效率 × 工作时间，因此空缺处填“时间”；
(2) 行程问题的基本等量关系为：路程 = 速度 × 时间，因此空缺处填“时间”；
(3) 销售问题的基本等量关系为：总价 = 单价 × 数量，因此空缺处填“数量”。
【答案】
(1)时间；(2)时间；(3)数量
【知识点】
工程问题等量关系；行程问题等量关系；销售问题等量关系
【点评】
本题属于基础识记类题目，是列方程解决实际应用题的前置基础，熟练掌握这类基础等量关系，才能快速找准题目中的等量关系列出对应方程。
【难度系数】
0.9
【例1】某小区为了改善环境，计划在花坛中种植200株花，由于大学生志愿者的加入，每小时比原计划多种15株，结果提前3 h完成任务.设原计划每小时种x株，根据题意，可列方程为（）.
A. $\frac{200}{x+15} - \frac{200}{x} = 3$
B. $\frac{200}{x} - \frac{200}{x-15} = 3$
C. $\frac{200}{x-15} - \frac{200}{x} = 3$
D. $\frac{200}{x} - \frac{200}{x+15} = 3$
●→• 重点必记 •→●
工程问题解题思路
(1)工作量:①通常把总工作量看成单位“1”；
②每一部分的工作量=工作效率×工作时间.
(2)等量关系:每人完成的工作量之和=总工作量.
A. $\frac{200}{x+15} - \frac{200}{x} = 3$
B. $\frac{200}{x} - \frac{200}{x-15} = 3$
C. $\frac{200}{x-15} - \frac{200}{x} = 3$
D. $\frac{200}{x} - \frac{200}{x+15} = 3$
●→• 重点必记 •→●
工程问题解题思路
(1)工作量:①通常把总工作量看成单位“1”；
②每一部分的工作量=工作效率×工作时间.
(2)等量关系:每人完成的工作量之和=总工作量.
答案
解：
原计划每小时种$x$株，则原计划完成任务的用时为$\frac{200}{x}$小时，
实际每小时种植$(x+15)$株，实际完成任务的用时为$\frac{200}{x+15}$小时。
根据“提前3 h完成任务”的等量关系：原计划用时 - 实际用时 = 3，
可列方程：$\frac{200}{x} - \frac{200}{x+15} = 3$，对应选项为D。
答：答案选D。
原计划每小时种$x$株，则原计划完成任务的用时为$\frac{200}{x}$小时，
实际每小时种植$(x+15)$株，实际完成任务的用时为$\frac{200}{x+15}$小时。
根据“提前3 h完成任务”的等量关系：原计划用时 - 实际用时 = 3，
可列方程：$\frac{200}{x} - \frac{200}{x+15} = 3$，对应选项为D。
答：答案选D。
解析
【分析】
这是分式方程在工程问题中的应用题，解题可按三步展开：第一步明确核心公式，工程问题中工作时间=总工作量÷工作效率；第二步梳理已知量，原计划工作效率为每小时x株，实际每小时多种15株，因此实际工作效率为(x+15)株/小时，总工作量固定为200株，据此可分别表示出原计划用时和实际用时；第三步找等量关系，“提前3h完成任务”说明原计划用时比实际用时多3小时，即原计划用时-实际用时=3，代入对应表达式即可列出方程。
【解析】
设原计划每小时种$x$株，
则原计划完成200株种植任务的用时为$\frac{200}{x}$小时，
实际每小时种植$(x+15)$株，实际完成任务的用时为$\frac{200}{x+15}$小时。
根据“提前3 h完成任务”的等量关系：原计划用时 - 实际用时 = 3，
可列方程：$\frac{200}{x} - \frac{200}{x+15} = 3$，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程应用；工程问题数量关系；列方程找等量关系
【点评】
本题属于分式方程实际应用的基础题型，核心是掌握工程类问题的数量关系，解题的关键是准确梳理原计划和实际的用时差异，不要混淆两个时间的大小关系，避免列反方程导致错误。
【难度系数】
0.8
这是分式方程在工程问题中的应用题，解题可按三步展开：第一步明确核心公式，工程问题中工作时间=总工作量÷工作效率；第二步梳理已知量，原计划工作效率为每小时x株，实际每小时多种15株，因此实际工作效率为(x+15)株/小时，总工作量固定为200株，据此可分别表示出原计划用时和实际用时；第三步找等量关系，“提前3h完成任务”说明原计划用时比实际用时多3小时，即原计划用时-实际用时=3，代入对应表达式即可列出方程。
【解析】
设原计划每小时种$x$株，
则原计划完成200株种植任务的用时为$\frac{200}{x}$小时，
实际每小时种植$(x+15)$株，实际完成任务的用时为$\frac{200}{x+15}$小时。
根据“提前3 h完成任务”的等量关系：原计划用时 - 实际用时 = 3，
可列方程：$\frac{200}{x} - \frac{200}{x+15} = 3$，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程应用；工程问题数量关系；列方程找等量关系
【点评】
本题属于分式方程实际应用的基础题型，核心是掌握工程类问题的数量关系，解题的关键是准确梳理原计划和实际的用时差异，不要混淆两个时间的大小关系，避免列反方程导致错误。
【难度系数】
0.8
【变式1】敦煌研究院推出的数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的广泛好评.某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成了任务.原计划平均每天制作多少个摆件？
答案
解：设原计划平均每天制作$x$个摆件，则实际平均每天制作$1.5x$个摆件。
根据题意，得：
$\frac{3000}{x} - \frac{3000}{1.5x} = 5$
方程两边同乘$1.5x$，得：
$3000×1.5 - 3000 = 7.5x$
$4500 - 3000 = 7.5x$
$1500 = 7.5x$
解得 $x=200$
检验：当$x=200$时，$1.5x=300≠0$，所以$x=200$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：原计划平均每天制作200个摆件。
根据题意，得：
$\frac{3000}{x} - \frac{3000}{1.5x} = 5$
方程两边同乘$1.5x$，得：
$3000×1.5 - 3000 = 7.5x$
$4500 - 3000 = 7.5x$
$1500 = 7.5x$
解得 $x=200$
检验：当$x=200$时，$1.5x=300≠0$，所以$x=200$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：原计划平均每天制作200个摆件。
解析
【分析】
这是分式方程实际应用中的工程类问题，解题核心是抓住题目中的时间差等量关系：原计划完成任务的天数 - 实际完成任务的天数 = 5天。首先设原计划平均每天制作x个摆件，根据题意可得实际每天制作1.5x个摆件，再依据“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示出原计划和实际的工作时间，代入等量关系列出分式方程，求解后要对根进行双重检验，既要确认根不是增根，也要确认根符合实际意义。
【解析】
解：设原计划平均每天制作$x$个摆件，则实际平均每天制作$1.5x$个摆件。
根据题意，得：
$\frac{3000}{x} - \frac{3000}{1.5x} = 5$
方程两边同乘$1.5x$，得：
$3000×1.5 - 3000 = 7.5x$
$4500 - 3000 = 7.5x$
$1500 = 7.5x$
解得 $x=200$
检验：当$x=200$时，$1.5x=300≠0$，所以$x=200$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：原计划平均每天制作200个摆件。
【答案】
原计划平均每天制作200个摆件
【知识点】
1.分式方程的实际应用 2.分式方程的求解与检验 3.工程问题数量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础常考题，解题关键是找准时间差作为等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须进行双检验，既要验证根不是增根，也要验证根符合实际场景的逻辑。
【难度系数】
0.7
这是分式方程实际应用中的工程类问题，解题核心是抓住题目中的时间差等量关系：原计划完成任务的天数 - 实际完成任务的天数 = 5天。首先设原计划平均每天制作x个摆件，根据题意可得实际每天制作1.5x个摆件，再依据“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示出原计划和实际的工作时间，代入等量关系列出分式方程，求解后要对根进行双重检验，既要确认根不是增根，也要确认根符合实际意义。
【解析】
解：设原计划平均每天制作$x$个摆件，则实际平均每天制作$1.5x$个摆件。
根据题意，得：
$\frac{3000}{x} - \frac{3000}{1.5x} = 5$
方程两边同乘$1.5x$，得：
$3000×1.5 - 3000 = 7.5x$
$4500 - 3000 = 7.5x$
$1500 = 7.5x$
解得 $x=200$
检验：当$x=200$时，$1.5x=300≠0$，所以$x=200$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：原计划平均每天制作200个摆件。
【答案】
原计划平均每天制作200个摆件
【知识点】
1.分式方程的实际应用 2.分式方程的求解与检验 3.工程问题数量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础常考题，解题关键是找准时间差作为等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须进行双检验，既要验证根不是增根，也要验证根符合实际场景的逻辑。
【难度系数】
0.7
【例2】已知原来A地到B地的普通公路长150 km，高速公路路程缩短了30 km.如果一辆小车从A地到B地走高速公路的平均速度可以提高到原来的1.5倍，需要的时间比原来少用1 h，小车走普通公路的平均速度是多少？
答案
解：设小车走普通公路的平均速度是$ x $ km/h，则走高速公路的平均速度为$ 1.5x $ km/h。
根据题意，得
$\frac{150}{x} - \frac{150 - 30}{1.5x} = 1$
方程两边同乘$ 1.5x $，得
$150 × 1.5 - 120 = 1.5x$
化简得$ 1.5x = 105 $
解得$ x = 70 $。
检验：当$ x = 70 $时，$ 1.5x ≠ 0 $，所以$ x = 70 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：小车走普通公路的平均速度是70 km/h。
根据题意，得
$\frac{150}{x} - \frac{150 - 30}{1.5x} = 1$
方程两边同乘$ 1.5x $，得
$150 × 1.5 - 120 = 1.5x$
化简得$ 1.5x = 105 $
解得$ x = 70 $。
检验：当$ x = 70 $时，$ 1.5x ≠ 0 $，所以$ x = 70 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：小车走普通公路的平均速度是70 km/h。
解析
【分析】
本题属于行程类分式方程应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的基本关系梳理等量关系。首先明确所求量是小车走普通公路的平均速度，因此将其设为未知数x，可对应表示出走高速公路的平均速度为1.5x；再确定两种路线的路程：普通公路路程150km，高速公路路程为150-30=120km；最后根据“走高速的时间比走普通公路少1h”这一时间差关系，列出分式方程求解即可，注意分式方程求解后必须验根，同时要验证解是否符合实际意义。
【解析】
解：设小车走普通公路的平均速度是$ x $ km/h，则走高速公路的平均速度为$ 1.5x $ km/h。
根据题意，走普通公路所需时间为$\frac{150}{x}$ h，走高速公路所需时间为$\frac{150-30}{1.5x}$ h，由时间差为1h列方程得：
$\frac{150}{x} - \frac{150 - 30}{1.5x} = 1$
方程两边同乘最简公分母$ 1.5x $去分母，得：
$150 × 1.5 - 120 = 1.5x$
化简计算：$225 - 120 = 1.5x$，即$ 1.5x = 105 $
解得$ x = 70 $。
检验：当$ x = 70 $时，$ 1.5x = 105 ≠ 0 $，所以$ x = 70 $是原分式方程的解，且速度为正数符合实际意义。
答：小车走普通公路的平均速度是70 km/h。
【答案】
70 km/h
【知识点】
分式方程的应用，行程问题等量关系，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程实际应用中的典型行程类题型，解题的关键是准确梳理两种行驶路线的路程、速度、时间的对应关系，抓住时间差列方程，需要注意分式方程求解后必须完成两步检验：一是检验是否为原分式方程的解，二是检验是否符合实际场景要求，有助于提升学生分析等量关系、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题属于行程类分式方程应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的基本关系梳理等量关系。首先明确所求量是小车走普通公路的平均速度，因此将其设为未知数x，可对应表示出走高速公路的平均速度为1.5x；再确定两种路线的路程：普通公路路程150km，高速公路路程为150-30=120km；最后根据“走高速的时间比走普通公路少1h”这一时间差关系，列出分式方程求解即可，注意分式方程求解后必须验根，同时要验证解是否符合实际意义。
【解析】
解：设小车走普通公路的平均速度是$ x $ km/h，则走高速公路的平均速度为$ 1.5x $ km/h。
根据题意，走普通公路所需时间为$\frac{150}{x}$ h，走高速公路所需时间为$\frac{150-30}{1.5x}$ h，由时间差为1h列方程得：
$\frac{150}{x} - \frac{150 - 30}{1.5x} = 1$
方程两边同乘最简公分母$ 1.5x $去分母，得：
$150 × 1.5 - 120 = 1.5x$
化简计算：$225 - 120 = 1.5x$，即$ 1.5x = 105 $
解得$ x = 70 $。
检验：当$ x = 70 $时，$ 1.5x = 105 ≠ 0 $，所以$ x = 70 $是原分式方程的解，且速度为正数符合实际意义。
答：小车走普通公路的平均速度是70 km/h。
【答案】
70 km/h
【知识点】
分式方程的应用，行程问题等量关系，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程实际应用中的典型行程类题型，解题的关键是准确梳理两种行驶路线的路程、速度、时间的对应关系，抓住时间差列方程，需要注意分式方程求解后必须完成两步检验：一是检验是否为原分式方程的解，二是检验是否符合实际场景要求，有助于提升学生分析等量关系、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
【变式2】(2024绥化)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等，则江水的流速为().
A.5 km/h
B.6 km/h
C.7 km/h
D.8 km/h
A.5 km/h
B.6 km/h
C.7 km/h
D.8 km/h
答案
D
解析
【分析】
这是流水行船类的行程问题，解题首先要明确顺流、逆流航行的速度关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度。题目给出核心等量关系：顺流航行120km所用时间=逆流航行80km所用时间，而航行时间=路程÷航行速度，因此我们可以设江水的流速为未知数，结合等量关系列分式方程求解，注意解完分式方程后要检验根是否符合实际意义。
【解析】
设江水的流速为$x$ km/h。
则货轮顺流航行的速度为$(40+x)$ km/h，逆流航行的速度为$(40-x)$ km/h。
根据题意列方程：
$\frac{120}{40+x}=\frac{80}{40-x}$
交叉相乘去分母得：
$120(40-x)=80(40+x)$
展开括号：
$4800-120x=3200+80x$
移项、合并同类项：
$-200x=-1600$
系数化为1得：
$x=8$
检验：当$x=8$时，$40+x=48≠0$，$40-x=32≠0$，且符合实际航行的速度要求，因此$x=8$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用，流水行船行程问题
【点评】
本题是分式方程实际应用的典型题型，解题核心是准确梳理顺流、逆流的速度关系，抓住时间相等的等量关系列方程，求解后要注意检验分式方程的根是否满足分母不为零且符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是流水行船类的行程问题，解题首先要明确顺流、逆流航行的速度关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度。题目给出核心等量关系：顺流航行120km所用时间=逆流航行80km所用时间，而航行时间=路程÷航行速度，因此我们可以设江水的流速为未知数，结合等量关系列分式方程求解，注意解完分式方程后要检验根是否符合实际意义。
【解析】
设江水的流速为$x$ km/h。
则货轮顺流航行的速度为$(40+x)$ km/h，逆流航行的速度为$(40-x)$ km/h。
根据题意列方程：
$\frac{120}{40+x}=\frac{80}{40-x}$
交叉相乘去分母得：
$120(40-x)=80(40+x)$
展开括号：
$4800-120x=3200+80x$
移项、合并同类项：
$-200x=-1600$
系数化为1得：
$x=8$
检验：当$x=8$时，$40+x=48≠0$，$40-x=32≠0$，且符合实际航行的速度要求，因此$x=8$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用，流水行船行程问题
【点评】
本题是分式方程实际应用的典型题型，解题核心是准确梳理顺流、逆流的速度关系，抓住时间相等的等量关系列方程，求解后要注意检验分式方程的根是否满足分母不为零且符合实际意义。
【难度系数】
0.7
