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4. 将方程$\frac{1}{x-1} -1 = \frac{2x}{1-x}$去分母，方程两边乘$(x-1)$后的式子为().
A.$1 -1 = -2x$
B.$x -1 -1 = -2x$
C.$1 - (x-1) = 2x$
D.$1 - (x-1) = -2x$
A.$1 -1 = -2x$
B.$x -1 -1 = -2x$
C.$1 - (x-1) = 2x$
D.$1 - (x-1) = -2x$
答案
D
解析
【分析】
本题考查分式方程去分母的操作，解题思路如下：首先明确去分母的规则：方程两边的每一项都要乘以最简公分母，不能漏乘不含分母的项；其次注意本题中分母$1-x$和$x-1$互为相反数，可转化为$1-x=-(x-1)$，再计算各项乘$(x-1)$后的结果，最后对照选项选出正确答案。
【解析】
根据去分母的要求，方程两边每一项都乘以$(x-1)$：
1. 左边第一项$\frac{1}{x-1}$乘$(x-1)$得：$\frac{1}{x-1} × (x-1) = 1$
2. 左边第二项$-1$乘$(x-1)$得：$-1 × (x-1) = -(x-1)$
3. 右边$\frac{2x}{1-x}$变形为$\frac{2x}{-(x-1)}$，乘$(x-1)$得：$\frac{2x}{-(x-1)} × (x-1) = -2x$
将上述结果组合，可得去分母后的式子为$1 - (x-1) = -2x$。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程去分母
2. 等式的性质
3. 分式符号化简
【点评】
本题属于分式方程的基础题型，易错点有两个：一是漏乘不含分母的常数项，错误把左边的$-1$漏乘$(x-1)$；二是忽略分母$1-x$与$x-1$的符号关系，导致右边计算时符号出错。做题时需谨记去分母要乘遍所有项，遇到互为相反数的分母要先处理符号。
【难度系数】
0.7
本题考查分式方程去分母的操作，解题思路如下：首先明确去分母的规则：方程两边的每一项都要乘以最简公分母，不能漏乘不含分母的项；其次注意本题中分母$1-x$和$x-1$互为相反数，可转化为$1-x=-(x-1)$，再计算各项乘$(x-1)$后的结果，最后对照选项选出正确答案。
【解析】
根据去分母的要求，方程两边每一项都乘以$(x-1)$：
1. 左边第一项$\frac{1}{x-1}$乘$(x-1)$得：$\frac{1}{x-1} × (x-1) = 1$
2. 左边第二项$-1$乘$(x-1)$得：$-1 × (x-1) = -(x-1)$
3. 右边$\frac{2x}{1-x}$变形为$\frac{2x}{-(x-1)}$，乘$(x-1)$得：$\frac{2x}{-(x-1)} × (x-1) = -2x$
将上述结果组合，可得去分母后的式子为$1 - (x-1) = -2x$。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程去分母
2. 等式的性质
3. 分式符号化简
【点评】
本题属于分式方程的基础题型，易错点有两个：一是漏乘不含分母的常数项，错误把左边的$-1$漏乘$(x-1)$；二是忽略分母$1-x$与$x-1$的符号关系，导致右边计算时符号出错。做题时需谨记去分母要乘遍所有项，遇到互为相反数的分母要先处理符号。
【难度系数】
0.7
5. 如果$\frac{3}{x-4} -1 =3$，那么$x$的值为。
答案
$\boldsymbol{\frac{19}{4}}$
解析
【分析】
本题是分式方程求解类题目，解题思路如下：1.先找到分式方程的最简公分母，通过方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为我们熟悉的整式方程；2.按照整式方程的求解步骤计算出x的初步值；3.由于去分母过程可能产生增根，需将求得的x代入最简公分母检验，确认分母不为0时，该值才是原方程的解。
【解析】
解：原方程为$\frac{3}{x-4} -1 =3$，最简公分母为$x-4$（$x≠4$）。
1. 去分母：方程两边同时乘$(x-4)$，得
$3 - (x-4) = 3(x-4)$
2. 去括号：
$3 - x + 4 = 3x - 12$
3. 移项、合并同类项：
$-x - 3x = -12 - 3 - 4$
$-4x = -19$
4. 系数化为1：
$x = \frac{19}{4}$
5. 检验：将$x=\frac{19}{4}$代入最简公分母$x-4$，得$\frac{19}{4}-4=\frac{3}{4}≠0$，因此$x=\frac{19}{4}$是原分式方程的解。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{19}{4}}$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式方程的验根
【点评】
本题属于分式方程求解的基础题型，重点考察去分母转化整式方程的方法，需牢记解分式方程最后必须进行验根，避免因增根导致解题错误。
【难度系数】
0.8
本题是分式方程求解类题目，解题思路如下：1.先找到分式方程的最简公分母，通过方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为我们熟悉的整式方程；2.按照整式方程的求解步骤计算出x的初步值；3.由于去分母过程可能产生增根，需将求得的x代入最简公分母检验，确认分母不为0时，该值才是原方程的解。
【解析】
解：原方程为$\frac{3}{x-4} -1 =3$，最简公分母为$x-4$（$x≠4$）。
1. 去分母：方程两边同时乘$(x-4)$，得
$3 - (x-4) = 3(x-4)$
2. 去括号：
$3 - x + 4 = 3x - 12$
3. 移项、合并同类项：
$-x - 3x = -12 - 3 - 4$
$-4x = -19$
4. 系数化为1：
$x = \frac{19}{4}$
5. 检验：将$x=\frac{19}{4}$代入最简公分母$x-4$，得$\frac{19}{4}-4=\frac{3}{4}≠0$，因此$x=\frac{19}{4}$是原分式方程的解。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{19}{4}}$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式方程的验根
【点评】
本题属于分式方程求解的基础题型，重点考察去分母转化整式方程的方法，需牢记解分式方程最后必须进行验根，避免因增根导致解题错误。
【难度系数】
0.8
6. (2025 昆明期末)解分式方程：
(1)$\frac{2x}{x-3}=1+\frac{5}{x-3}$；
(2)$\frac{5x-2}{x^2-4}+\frac{2}{2-x}=\frac{1}{x^2-4}$。
(1)$\frac{2x}{x-3}=1+\frac{5}{x-3}$；
(2)$\frac{5x-2}{x^2-4}+\frac{2}{2-x}=\frac{1}{x^2-4}$。
答案
解：
(1) 方程两边同乘$(x-3)$，得
$2x = x - 3 + 5$
解得$x=2$。
检验：当$x=2$时，$x-3 ≠ 0$，
所以原分式方程的解为$x=2$。
(2) 原方程整理为$\frac{5x-2}{(x+2)(x-2)} - \frac{2}{x-2} = \frac{1}{(x+2)(x-2)}$，
方程两边同乘$(x+2)(x-2)$，得
$5x - 2 - 2(x+2) = 1$
去括号，得$5x - 2 - 2x - 4 = 1$
合并同类项，得$3x = 7$
解得$x=\frac{7}{3}$。
检验：当$x=\frac{7}{3}$时，$(x+2)(x-2) ≠ 0$，
所以原分式方程的解为$x=\frac{7}{3}$。
(1) 方程两边同乘$(x-3)$，得
$2x = x - 3 + 5$
解得$x=2$。
检验：当$x=2$时，$x-3 ≠ 0$，
所以原分式方程的解为$x=2$。
(2) 原方程整理为$\frac{5x-2}{(x+2)(x-2)} - \frac{2}{x-2} = \frac{1}{(x+2)(x-2)}$，
方程两边同乘$(x+2)(x-2)$，得
$5x - 2 - 2(x+2) = 1$
去括号，得$5x - 2 - 2x - 4 = 1$
合并同类项，得$3x = 7$
解得$x=\frac{7}{3}$。
检验：当$x=\frac{7}{3}$时，$(x+2)(x-2) ≠ 0$，
所以原分式方程的解为$x=\frac{7}{3}$。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为已学的整式方程求解，标准步骤为：①确定最简公分母；②方程两边同乘最简公分母去分母，得到整式方程；③解整式方程；④检验根是否使原方程分母为0（若为0则是增根，需舍去），最终确定原方程的解。
对于(1)小题，观察到两个分式的分母均为$(x-3)$，因此最简公分母为$(x-3)$，直接乘公分母去分母即可转化为一元一次方程求解，最后检验；
对于(2)小题，先利用平方差公式对分母$x^2-4$因式分解为$(x+2)(x-2)$，再将第二个分式的分母$(2-x)$变形为$-(x-2)$，即可确定最简公分母为$(x+2)(x-2)$，乘公分母去分母后解一元一次方程，最后检验即可。
【解析】
(1) 方程两边同乘$(x-3)$，得
$2x = x - 3 + 5$
解得$x=2$。
检验：当$x=2$时，$x-3 ≠ 0$，
所以原分式方程的解为$x=2$。
(2) 原方程整理为$\frac{5x-2}{(x+2)(x-2)} - \frac{2}{x-2} = \frac{1}{(x+2)(x-2)}$，
方程两边同乘$(x+2)(x-2)$，得
$5x - 2 - 2(x+2) = 1$
去括号，得$5x - 2 - 2x - 4 = 1$
合并同类项，得$3x = 7$
解得$x=\frac{7}{3}$。
检验：当$x=\frac{7}{3}$时，$(x+2)(x-2) ≠ 0$，
所以原分式方程的解为$x=\frac{7}{3}$。
【答案】
(1)$x=2$；(2)$x=\frac{7}{3}$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程验根，因式分解
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，考察了将分式方程转化为整式方程求解的转化思想，解题时需注意处理分母互为相反数的项时要先统一符号，并且解分式方程必须检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为已学的整式方程求解，标准步骤为：①确定最简公分母；②方程两边同乘最简公分母去分母，得到整式方程；③解整式方程；④检验根是否使原方程分母为0（若为0则是增根，需舍去），最终确定原方程的解。
对于(1)小题，观察到两个分式的分母均为$(x-3)$，因此最简公分母为$(x-3)$，直接乘公分母去分母即可转化为一元一次方程求解，最后检验；
对于(2)小题，先利用平方差公式对分母$x^2-4$因式分解为$(x+2)(x-2)$，再将第二个分式的分母$(2-x)$变形为$-(x-2)$，即可确定最简公分母为$(x+2)(x-2)$，乘公分母去分母后解一元一次方程，最后检验即可。
【解析】
(1) 方程两边同乘$(x-3)$，得
$2x = x - 3 + 5$
解得$x=2$。
检验：当$x=2$时，$x-3 ≠ 0$，
所以原分式方程的解为$x=2$。
(2) 原方程整理为$\frac{5x-2}{(x+2)(x-2)} - \frac{2}{x-2} = \frac{1}{(x+2)(x-2)}$，
方程两边同乘$(x+2)(x-2)$，得
$5x - 2 - 2(x+2) = 1$
去括号，得$5x - 2 - 2x - 4 = 1$
合并同类项，得$3x = 7$
解得$x=\frac{7}{3}$。
检验：当$x=\frac{7}{3}$时，$(x+2)(x-2) ≠ 0$，
所以原分式方程的解为$x=\frac{7}{3}$。
【答案】
(1)$x=2$；(2)$x=\frac{7}{3}$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程验根，因式分解
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，考察了将分式方程转化为整式方程求解的转化思想，解题时需注意处理分母互为相反数的项时要先统一符号，并且解分式方程必须检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
7. 已知$x=5$是分式方程$\frac{4}{x+2}=1-\frac{k}{2+x}$的解，则$k$的值为（）.
A.5
B.4
C.3
D.2
A.5
B.4
C.3
D.2
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确分式方程解的定义：能使分式方程左右两边相等的未知数的值就是分式方程的解。已知x=5是方程的解，我们只需把x=5代入原分式方程，就能得到仅含未知数k的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出k的值，也可以先将原分式方程去分母化为整式方程，再代入x=5求解，两种方法都简便易操作。
【解析】
∵x=5是分式方程$\frac{4}{x+2}=1-\frac{k}{2+x}$的解
∴将x=5代入原方程，等式成立：
原方程两边先同乘最简公分母$(x+2)$（$x=5$时$x+2≠0$，符合去分母要求），得：
$4=(x+2)-k$
把$x=5$代入上式，得：
$4=5+2 -k$
整理得$4=7-k$
移项计算得$k=7-4=3$
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，主要考查分式方程解的应用，解题核心是利用方程解的性质，将已知解代入转化为关于参数的方程求解，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确分式方程解的定义：能使分式方程左右两边相等的未知数的值就是分式方程的解。已知x=5是方程的解，我们只需把x=5代入原分式方程，就能得到仅含未知数k的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出k的值，也可以先将原分式方程去分母化为整式方程，再代入x=5求解，两种方法都简便易操作。
【解析】
∵x=5是分式方程$\frac{4}{x+2}=1-\frac{k}{2+x}$的解
∴将x=5代入原方程，等式成立：
原方程两边先同乘最简公分母$(x+2)$（$x=5$时$x+2≠0$，符合去分母要求），得：
$4=(x+2)-k$
把$x=5$代入上式，得：
$4=5+2 -k$
整理得$4=7-k$
移项计算得$k=7-4=3$
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，主要考查分式方程解的应用，解题核心是利用方程解的性质，将已知解代入转化为关于参数的方程求解，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
8.(易错题)已知关于x的方程$\frac{3x}{x-2}+1=\frac{m}{2-x}$的解是非负数，则m的取值范围是.
答案
解：
方程两边同乘$(x-2)$，得
$3x + x - 2 = -m$
合并同类项得$4x = 2 - m$
解得 $x=\frac{2-m}{4}$
∵ 方程的解是非负数，且分式分母不为0，
∴ $\begin{cases} \dfrac{2-m}{4} ≥ 0 \\\\ \dfrac{2-m}{4} ≠ 2 \end{cases}$
解第一个不等式得 $m ≤ 2$，
解第二个不等式得 $m ≠ -6$，
∴ $m$的取值范围是 $m ≤ 2$ 且 $m ≠ -6$。
方程两边同乘$(x-2)$，得
$3x + x - 2 = -m$
合并同类项得$4x = 2 - m$
解得 $x=\frac{2-m}{4}$
∵ 方程的解是非负数，且分式分母不为0，
∴ $\begin{cases} \dfrac{2-m}{4} ≥ 0 \\\\ \dfrac{2-m}{4} ≠ 2 \end{cases}$
解第一个不等式得 $m ≤ 2$，
解第二个不等式得 $m ≠ -6$，
∴ $m$的取值范围是 $m ≤ 2$ 且 $m ≠ -6$。
解析
【分析】
这是一道含参数的分式方程求参数取值范围的题目，解题思路分三步：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解x；第二步要考虑两个约束条件：一是方程的解是非负数，即x≥0，二是分式方程的分母不能为0，也就是原方程中x-2≠0即x≠2，避免出现增根；第三步分别解两个约束条件对应的不等式，取公共部分就能得到m的取值范围，注意不要漏掉分母不为0的条件，这是本题的易错点。
【解析】
解：方程两边同乘最简公分母$(x-2)$，去分母得：
$3x + (x - 2) = -m$
合并同类项得：$4x = 2 - m$
解得：$x=\frac{2-m}{4}$
∵ 原方程的解是非负数，且分式分母不为0（即解不能为增根）
∴ 列不等式组：
$\begin{cases} \dfrac{2-m}{4} ≥ 0 \\\\ \dfrac{2-m}{4} ≠ 2 \end{cases}$
解第一个不等式：
$2 - m ≥ 0$，得$m ≤ 2$
解第二个不等式：
$2 - m ≠ 8$，得$m ≠ -6$
综上，m的取值范围是$m ≤ 2$且$m ≠ -6$。
【答案】
$m≤ 2$且$m≠ -6$
【知识点】
分式方程求解、分式有意义的条件、一元一次不等式组解法
【点评】
本题是分式方程参数取值类的典型易错题，解题的关键是在考虑解满足题干要求的同时，切记要排除增根（即分式分母为0的情况），很多学生容易忽略分母不为0的限制，导致多算不符合要求的m值。
【难度系数】
0.6
这是一道含参数的分式方程求参数取值范围的题目，解题思路分三步：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解x；第二步要考虑两个约束条件：一是方程的解是非负数，即x≥0，二是分式方程的分母不能为0，也就是原方程中x-2≠0即x≠2，避免出现增根；第三步分别解两个约束条件对应的不等式，取公共部分就能得到m的取值范围，注意不要漏掉分母不为0的条件，这是本题的易错点。
【解析】
解：方程两边同乘最简公分母$(x-2)$，去分母得：
$3x + (x - 2) = -m$
合并同类项得：$4x = 2 - m$
解得：$x=\frac{2-m}{4}$
∵ 原方程的解是非负数，且分式分母不为0（即解不能为增根）
∴ 列不等式组：
$\begin{cases} \dfrac{2-m}{4} ≥ 0 \\\\ \dfrac{2-m}{4} ≠ 2 \end{cases}$
解第一个不等式：
$2 - m ≥ 0$，得$m ≤ 2$
解第二个不等式：
$2 - m ≠ 8$，得$m ≠ -6$
综上，m的取值范围是$m ≤ 2$且$m ≠ -6$。
【答案】
$m≤ 2$且$m≠ -6$
【知识点】
分式方程求解、分式有意义的条件、一元一次不等式组解法
【点评】
本题是分式方程参数取值类的典型易错题，解题的关键是在考虑解满足题干要求的同时，切记要排除增根（即分式分母为0的情况），很多学生容易忽略分母不为0的限制，导致多算不符合要求的m值。
【难度系数】
0.6
9. 点A,B在数轴上对应的数分别为$\frac{2}{3-x}$,$\frac{3}{x+1}$,且点A,B关于原点对称,则x的值是().
A.$\frac{7}{5}$
B.5
C.7
D.11
A.$\frac{7}{5}$
B.5
C.7
D.11
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆数轴上关于原点对称的点的性质：两点对应的数互为相反数，即两数之和为0，据此可列出关于x的分式方程；再按照分式方程的求解步骤去分母、解整式方程，最后检验所得的解是否使原分式的分母不为0，确保分式有意义，即可得到正确结果。
【解析】
∵点A、B关于原点对称
∴两点对应的数互为相反数，可得：
$\frac{2}{3-x} + \frac{3}{x+1} = 0$
方程两边同乘最简公分母$(3-x)(x+1)$（此时需满足$x≠3$且$x≠-1$，保证分母不为0），得：
$2(x+1) + 3(3-x) = 0$
展开括号：$2x + 2 + 9 - 3x = 0$
合并同类项：$-x + 11 = 0$
解得：$x = 11$
检验：当$x=11$时，$3-x=3-11=-8≠0$，$x+1=11+1=12≠0$，因此$x=11$是原分式方程的解。
【答案】
D
【知识点】
相反数的性质；分式方程的解法；分式有意义的条件
【点评】
本题将数轴的对称性质和分式方程的求解结合起来考察，难度适中，解题时需注意分式方程求出整式解后，必须检验解是否使原分式的分母不为0，避免出现增根的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆数轴上关于原点对称的点的性质：两点对应的数互为相反数，即两数之和为0，据此可列出关于x的分式方程；再按照分式方程的求解步骤去分母、解整式方程，最后检验所得的解是否使原分式的分母不为0，确保分式有意义，即可得到正确结果。
【解析】
∵点A、B关于原点对称
∴两点对应的数互为相反数，可得：
$\frac{2}{3-x} + \frac{3}{x+1} = 0$
方程两边同乘最简公分母$(3-x)(x+1)$（此时需满足$x≠3$且$x≠-1$，保证分母不为0），得：
$2(x+1) + 3(3-x) = 0$
展开括号：$2x + 2 + 9 - 3x = 0$
合并同类项：$-x + 11 = 0$
解得：$x = 11$
检验：当$x=11$时，$3-x=3-11=-8≠0$，$x+1=11+1=12≠0$，因此$x=11$是原分式方程的解。
【答案】
D
【知识点】
相反数的性质；分式方程的解法；分式有意义的条件
【点评】
本题将数轴的对称性质和分式方程的求解结合起来考察，难度适中，解题时需注意分式方程求出整式解后，必须检验解是否使原分式的分母不为0，避免出现增根的错误。
【难度系数】
0.7
10. 若关于x的分式方程$\frac{x+a}{x-1}+\frac{x}{x-1}=3$无解，则a的值为.
答案
$\boldsymbol{-2}$
解析
【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先回忆分式方程无解的两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的未知数的值）。本题先将分式方程去分母转化为整式方程，观察可知得到的整式方程是一元一次方程，必然有解，因此只需考虑第二种情况：整式方程的解为增根。先确定原方程的增根，再代入整式方程的解即可求出a的值。
【解析】
解：给原分式方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$（此时要求$x≠1$），去分母得：
$x + a + x = 3(x - 1)$
整理等式：
$2x + a = 3x - 3$
移项合并同类项得：
$x = a + 3$
因为原分式方程无解，所以$x = a + 3$是原方程的增根，即使原方程分母为0的解，即：
$x - 1 = 0$，解得增根$x=1$
将$x=1$代入$x = a + 3$得：
$1 = a + 3$
解得$a = -2$
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的条件；解分式方程
【点评】
本题核心考点是分式方程无解的判定，解题时要先区分整式方程无解和增根两种情况，本题中去分母得到的是一元一次方程，不存在无解的情况，因此只需代入增根计算参数即可，解题时注意不要忽略增根的验证。
【难度系数】
0.6
要解决分式方程无解求参数的问题，首先回忆分式方程无解的两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的未知数的值）。本题先将分式方程去分母转化为整式方程，观察可知得到的整式方程是一元一次方程，必然有解，因此只需考虑第二种情况：整式方程的解为增根。先确定原方程的增根，再代入整式方程的解即可求出a的值。
【解析】
解：给原分式方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$（此时要求$x≠1$），去分母得：
$x + a + x = 3(x - 1)$
整理等式：
$2x + a = 3x - 3$
移项合并同类项得：
$x = a + 3$
因为原分式方程无解，所以$x = a + 3$是原方程的增根，即使原方程分母为0的解，即：
$x - 1 = 0$，解得增根$x=1$
将$x=1$代入$x = a + 3$得：
$1 = a + 3$
解得$a = -2$
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的条件；解分式方程
【点评】
本题核心考点是分式方程无解的判定，解题时要先区分整式方程无解和增根两种情况，本题中去分母得到的是一元一次方程，不存在无解的情况，因此只需代入增根计算参数即可，解题时注意不要忽略增根的验证。
【难度系数】
0.6
11. 若关于x的一元一次不等式组$\begin{cases}4x - 1 ＞ 3(x + 2), \\ a - 2x ≤ 5\end{cases}$的解集为$x＞7$，且关于y的分式方程$\frac{y + 2a}{y - 1} + \frac{3y - 8}{1 - y} = 2$的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ______ .
答案
$\boldsymbol{94}$
解析
【分析】
解题需分两步走：①先求解一元一次不等式组，分别解出两个不等式的解集，结合已知解集$x＞7$，根据“同大取大”的原则确定$a$的取值上限；②再求解分式方程，将解用含$a$的式子表示，结合“解是非负整数”和“分式分母不为0”的条件，确定$a$的取值范围和限制要求，最后找出所有符合条件的整数$a$，求和即可。
【解析】
1. 解一元一次不等式组：
解不等式$4x - 1 ＞ 3(x + 2)$：
去括号得：$4x - 1 ＞ 3x + 6$
移项合并得：$x ＞ 7$
解不等式$a - 2x ≤ 5$：
移项得：$-2x ≤ 5 - a$
两边同除以$-2$（不等号方向改变）得：$x ≥ \frac{a - 5}{2}$
∵ 不等式组的解集为$x ＞ 7$，根据“同大取大”原则，得：
$\frac{a - 5}{2} ≤ 7$
解得：$a ≤ 19$
2. 解分式方程$\frac{y + 2a}{y - 1} + \frac{3y - 8}{1 - y} = 2$：
先将分式变形为同分母：$\frac{y + 2a}{y - 1} - \frac{3y - 8}{y - 1} = 2$
两边同乘最简公分母$(y-1)$（注意$y≠1$）去分母得：
$y + 2a - (3y - 8) = 2(y - 1)$
去括号整理得：$-2y + 2a + 8 = 2y - 2$
移项合并得：$-4y = -2a - 10$
系数化为1得：$y = \frac{a + 5}{2}$
∵ 分式方程的解是非负整数：
① 解非负：$\frac{a + 5}{2} ≥ 0$，解得$a ≥ -5$
② 分母不为0：$\frac{a + 5}{2} ≠ 1$，解得$a ≠ -3$
③ 解为整数：$a + 5$为偶数，即$a$为奇数
结合之前得到的$a ≤ 19$，符合条件的整数$a$为：$-5, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19$
求和：$-5 + (-1) + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 94$
【答案】
$\boldsymbol{94}$
【知识点】
一元一次不等式组的解集；分式方程的解法；整数解问题
【点评】
本题属于不等式与分式方程的综合题，解题时要特别注意分式方程分母不为0的隐含限制，避免出现增根导致多算不符合条件的$a$值，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题需分两步走：①先求解一元一次不等式组，分别解出两个不等式的解集，结合已知解集$x＞7$，根据“同大取大”的原则确定$a$的取值上限；②再求解分式方程，将解用含$a$的式子表示，结合“解是非负整数”和“分式分母不为0”的条件，确定$a$的取值范围和限制要求，最后找出所有符合条件的整数$a$，求和即可。
【解析】
1. 解一元一次不等式组：
解不等式$4x - 1 ＞ 3(x + 2)$：
去括号得：$4x - 1 ＞ 3x + 6$
移项合并得：$x ＞ 7$
解不等式$a - 2x ≤ 5$：
移项得：$-2x ≤ 5 - a$
两边同除以$-2$（不等号方向改变）得：$x ≥ \frac{a - 5}{2}$
∵ 不等式组的解集为$x ＞ 7$，根据“同大取大”原则，得：
$\frac{a - 5}{2} ≤ 7$
解得：$a ≤ 19$
2. 解分式方程$\frac{y + 2a}{y - 1} + \frac{3y - 8}{1 - y} = 2$：
先将分式变形为同分母：$\frac{y + 2a}{y - 1} - \frac{3y - 8}{y - 1} = 2$
两边同乘最简公分母$(y-1)$（注意$y≠1$）去分母得：
$y + 2a - (3y - 8) = 2(y - 1)$
去括号整理得：$-2y + 2a + 8 = 2y - 2$
移项合并得：$-4y = -2a - 10$
系数化为1得：$y = \frac{a + 5}{2}$
∵ 分式方程的解是非负整数：
① 解非负：$\frac{a + 5}{2} ≥ 0$，解得$a ≥ -5$
② 分母不为0：$\frac{a + 5}{2} ≠ 1$，解得$a ≠ -3$
③ 解为整数：$a + 5$为偶数，即$a$为奇数
结合之前得到的$a ≤ 19$，符合条件的整数$a$为：$-5, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19$
求和：$-5 + (-1) + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 94$
【答案】
$\boldsymbol{94}$
【知识点】
一元一次不等式组的解集；分式方程的解法；整数解问题
【点评】
本题属于不等式与分式方程的综合题，解题时要特别注意分式方程分母不为0的隐含限制，避免出现增根导致多算不符合条件的$a$值，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
12. (运算能力、应用意识)数学的美无处不在.数学家们研究发现,弹拨琴弦时,琴弦发出声音的音调高低,取决于弦的长度,如,三根弦长度之比是$15:12:10$,把它们绷得一样紧,用同样的力弹拨,它们将分别发出很调和的乐声do,mi,sol,研究15,12,10这三个数的倒数发现:$\frac{1}{12}-\frac{1}{15}=\frac{1}{10}-\frac{1}{12}$,我们称15,12,10这三个数为一组调和数.现有一组调和数是由4,6,x三个数组成,则x的值为.
答案
解：根据调和数的定义，分三种情况讨论：
1. 当三个数排序为$x＜4＜6$时，满足$\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{x}-\frac{1}{4}$
整理得：$\frac{1}{x}=\frac{1}{3}$
解得$x=3$。
检验：当$x=3$时，各分母均不为0，$x=3$是原方程的解。
2. 当三个数排序为$4＜x＜6$时，满足$\frac{1}{x}-\frac{1}{6}=\frac{1}{4}-\frac{1}{x}$
整理得：$\frac{2}{x}=\frac{5}{12}$
解得$x=\frac{24}{5}$。
检验：当$x=\frac{24}{5}$时，各分母均不为0，$x=\frac{24}{5}$是原方程的解。
3. 当三个数排序为$4＜6＜x$时，满足$\frac{1}{6}-\frac{1}{x}=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$
整理得：$\frac{1}{x}=\frac{1}{12}$
解得$x=12$。
检验：当$x=12$时，各分母均不为0，$x=12$是原方程的解。
综上，$x$的值为$3$或$\frac{24}{5}$或$12$。
1. 当三个数排序为$x＜4＜6$时，满足$\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{x}-\frac{1}{4}$
整理得：$\frac{1}{x}=\frac{1}{3}$
解得$x=3$。
检验：当$x=3$时，各分母均不为0，$x=3$是原方程的解。
2. 当三个数排序为$4＜x＜6$时，满足$\frac{1}{x}-\frac{1}{6}=\frac{1}{4}-\frac{1}{x}$
整理得：$\frac{2}{x}=\frac{5}{12}$
解得$x=\frac{24}{5}$。
检验：当$x=\frac{24}{5}$时，各分母均不为0，$x=\frac{24}{5}$是原方程的解。
3. 当三个数排序为$4＜6＜x$时，满足$\frac{1}{6}-\frac{1}{x}=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$
整理得：$\frac{1}{x}=\frac{1}{12}$
解得$x=12$。
检验：当$x=12$时，各分母均不为0，$x=12$是原方程的解。
综上，$x$的值为$3$或$\frac{24}{5}$或$12$。
解析
【分析】
首先明确调和数的定义：若三个数按从小到大排列为$a＜b＜c$，则满足$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}$，即中间数的倒数减较小数的倒数等于较大数的倒数减中间数的倒数。本题中$x$的大小未知，无法确定它在三个数中的排序，因此需要分三种情况讨论：$x$为最小数、$x$为中间数、$x$为最大数，分别列出分式方程求解，解完后需检验分母不为0，且符合对应排序的前提。
【解析】
根据调和数的定义，分三种情况讨论：
1. 当三个数排序为$x＜4＜6$时，满足$\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{x}-\frac{1}{4}$
整理得：$\frac{1}{x}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$
解得$x=3$。
检验：当$x=3$时，各分母均不为0，且满足$3＜4＜6$，符合题意，$x=3$是原方程的解。
2. 当三个数排序为$4＜x＜6$时，满足$\frac{1}{x}-\frac{1}{6}=\frac{1}{4}-\frac{1}{x}$
移项合并得：$\frac{2}{x}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}$
交叉相乘得$5x=24$，解得$x=\frac{24}{5}$。
检验：当$x=\frac{24}{5}$时，各分母均不为0，且满足$4＜\frac{24}{5}＜6$，符合题意，$x=\frac{24}{5}$是原方程的解。
3. 当三个数排序为$4＜6＜x$时，满足$\frac{1}{6}-\frac{1}{x}=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$
整理得：$\frac{1}{x}=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$
解得$x=12$。
检验：当$x=12$时，各分母均不为0，且满足$4＜6＜12$，符合题意，$x=12$是原方程的解。
综上，$x$的值为$3$或$\frac{24}{5}$或$12$。
【答案】
$3$或$\frac{24}{5}$或$12$
【知识点】
分式方程求解，新定义应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查分式方程的应用，解题关键是准确理解调和数的运算规则，注意根据未知数的大小位置分类讨论，求解分式方程后不要忘记检验，避免出现增根或不符合排序要求的解。
【难度系数】
0.5
首先明确调和数的定义：若三个数按从小到大排列为$a＜b＜c$，则满足$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}$，即中间数的倒数减较小数的倒数等于较大数的倒数减中间数的倒数。本题中$x$的大小未知，无法确定它在三个数中的排序，因此需要分三种情况讨论：$x$为最小数、$x$为中间数、$x$为最大数，分别列出分式方程求解，解完后需检验分母不为0，且符合对应排序的前提。
【解析】
根据调和数的定义，分三种情况讨论：
1. 当三个数排序为$x＜4＜6$时，满足$\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{x}-\frac{1}{4}$
整理得：$\frac{1}{x}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$
解得$x=3$。
检验：当$x=3$时，各分母均不为0，且满足$3＜4＜6$，符合题意，$x=3$是原方程的解。
2. 当三个数排序为$4＜x＜6$时，满足$\frac{1}{x}-\frac{1}{6}=\frac{1}{4}-\frac{1}{x}$
移项合并得：$\frac{2}{x}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}$
交叉相乘得$5x=24$，解得$x=\frac{24}{5}$。
检验：当$x=\frac{24}{5}$时，各分母均不为0，且满足$4＜\frac{24}{5}＜6$，符合题意，$x=\frac{24}{5}$是原方程的解。
3. 当三个数排序为$4＜6＜x$时，满足$\frac{1}{6}-\frac{1}{x}=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$
整理得：$\frac{1}{x}=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$
解得$x=12$。
检验：当$x=12$时，各分母均不为0，且满足$4＜6＜12$，符合题意，$x=12$是原方程的解。
综上，$x$的值为$3$或$\frac{24}{5}$或$12$。
【答案】
$3$或$\frac{24}{5}$或$12$
【知识点】
分式方程求解，新定义应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查分式方程的应用，解题关键是准确理解调和数的运算规则，注意根据未知数的大小位置分类讨论，求解分式方程后不要忘记检验，避免出现增根或不符合排序要求的解。
【难度系数】
0.5
