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【例1】如图是2025年11月的月历，一个长方形框住了四个数字，我们作如下计算：$4×12=48$，$5×11=55$，$55-48=7$.请你用一个长方形另圈4个数字，按相同方法计算，你有什么发现？
答案
解：举例，选取长方形框住2、3、9、10四个数：
计算得$2×10=20$，$3×9=27$，$27-20=7$。
设框中左上角的数为$x$，则其余三个数依次为$x+1$，$x+7$，$x+8$。
按题中方法计算：
$\begin{aligned}&(x+1)(x+7)-x(x+8)\\=&x^2+7x+x+7-x^2-8x\\=&7\end{aligned}$
发现：任意用这样的2行2列长方形框住月历中的4个数字，将两组对角的数字分别相乘，得到的两个乘积的差恒等于7。
计算得$2×10=20$，$3×9=27$，$27-20=7$。
设框中左上角的数为$x$，则其余三个数依次为$x+1$，$x+7$，$x+8$。
按题中方法计算：
$\begin{aligned}&(x+1)(x+7)-x(x+8)\\=&x^2+7x+x+7-x^2-8x\\=&7\end{aligned}$
发现：任意用这样的2行2列长方形框住月历中的4个数字，将两组对角的数字分别相乘，得到的两个乘积的差恒等于7。
解析
【分析】解题时可以遵循“特殊举例验证→一般推导总结”的思路：首先先按照题目给出的计算规则，再选取一组2行2列的4个数计算差值，初步感知规律；再结合月历的数字排列特点（同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7），设方框左上角的数为x，用含x的代数式表示出其余三个数，再按照规则计算对角乘积的差，化简代数式后即可得到普遍规律。
【解析】
1. 举例验证：选取长方形框住2、3、9、10四个数
计算：$2×10=20$，$3×9=27$，则$27-20=7$。
2. 代数推导：设框中左上角的数为$x$，根据月历数字排列规律，其余三个数依次为$x+1$（同行右侧），$x+7$（同列下一行），$x+8$（右下角）。
按题中方法计算对角乘积的差：
$\begin{aligned}&(x+1)(x+7)-x(x+8)\\=&x^2+7x+x+7-x^2-8x\\=&7\end{aligned}$
【答案】任意用2行2列的长方形框住该月历中的4个数字，将两组对角的数字分别相乘，得到的两个乘积的差恒等于7。
【知识点】整式乘法运算，数字规律探究，代数式化简
【点评】本题结合生活中常见的月历设计问题，通过从特殊到一般的探究过程，既考查了整式运算的基础能力，也培养了归纳推理的思维，能让学生感受到数学在生活中的实用性。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 举例验证：选取长方形框住2、3、9、10四个数
计算：$2×10=20$，$3×9=27$，则$27-20=7$。
2. 代数推导：设框中左上角的数为$x$，根据月历数字排列规律，其余三个数依次为$x+1$（同行右侧），$x+7$（同列下一行），$x+8$（右下角）。
按题中方法计算对角乘积的差：
$\begin{aligned}&(x+1)(x+7)-x(x+8)\\=&x^2+7x+x+7-x^2-8x\\=&7\end{aligned}$
【答案】任意用2行2列的长方形框住该月历中的4个数字，将两组对角的数字分别相乘，得到的两个乘积的差恒等于7。
【知识点】整式乘法运算，数字规律探究，代数式化简
【点评】本题结合生活中常见的月历设计问题，通过从特殊到一般的探究过程，既考查了整式运算的基础能力，也培养了归纳推理的思维，能让学生感受到数学在生活中的实用性。
【难度系数】0.7
【变式训练】
1. 请用整式的运算证明例1中的规律(提示：可设最小的一个数是n).你还能发现对角线上的这两对数有其他规律吗？
1. 请用整式的运算证明例1中的规律(提示：可设最小的一个数是n).你还能发现对角线上的这两对数有其他规律吗？
答案
解：设方框中最小的数为n，则其余三个数分别为n+1，n+7，n+8。
证明例1的规律（日历2×2方框内，两组对角数的乘积差为定值7）：
$\begin{aligned}(n+1)(n+7) - n(n+8)&=n^2 +7n +n +7 - (n^2 +8n)\\&=n^2 +8n +7 -n^2 -8n\\&=7\end{aligned}$
由此可得，任意符合要求的2×2方框中，右上与左下两数的乘积减去左上与右下两数的乘积，结果恒为7，规律得证。
额外规律：两条对角线上的两数之和相等：
左上+右下 = n + (n+8) = 2n+8，
右上+左下 = (n+1) + (n+7) = 2n+8，
即方框对角两数的和恒相等。
证明例1的规律（日历2×2方框内，两组对角数的乘积差为定值7）：
$\begin{aligned}(n+1)(n+7) - n(n+8)&=n^2 +7n +n +7 - (n^2 +8n)\\&=n^2 +8n +7 -n^2 -8n\\&=7\end{aligned}$
由此可得，任意符合要求的2×2方框中，右上与左下两数的乘积减去左上与右下两数的乘积，结果恒为7，规律得证。
额外规律：两条对角线上的两数之和相等：
左上+右下 = n + (n+8) = 2n+8，
右上+左下 = (n+1) + (n+7) = 2n+8，
即方框对角两数的和恒相等。
解析
【分析】
解决本题首先要明确日历的数字排布规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。首先设方框内最小的数为n，根据排布规律表示出其余三个数；要证明2×2方框内两组对角数的乘积差为定值，只需将两组对角的乘积分别用含n的代数式表示，再相减后化简，若结果为不含n的常数即可证明规律成立；探究其他规律时，可尝试对对角两数做和、差等运算，观察结果是否为定值即可。
【解析】
解：设方框中最小的数为n，根据日历数字排布规律，其余三个数分别为n+1、n+7、n+8。
1. 证明例1规律（2×2方框内两组对角数的乘积差为定值7）：
先分别写出两组对角的乘积，再计算二者的差：
$\begin{aligned}(n+1)(n+7) - n(n+8)&=n^2 +7n +n +7 - (n^2 +8n)\\&=n^2 +8n +7 -n^2 -8n\\&=7\end{aligned}$
化简后结果为常数7，与n的取值无关，因此规律成立。
2. 探究对角两数的其他规律：
计算两条对角线上两数的和：
左上+右下：$n + (n+8) = 2n+8$
右上+左下：$(n+1) + (n+7) = 2n+8$
二者结果相等，可得新规律。
【答案】
设方框中最小的数为n，则其余三个数分别为n+1，n+7，n+8。
证明规律过程：
$\begin{aligned}(n+1)(n+7) - n(n+8)&=n^2 +7n +n +7 - (n^2 +8n)\\&=n^2 +8n +7 -n^2 -8n\\&=7\end{aligned}$
由此可得，任意符合要求的2×2方框中，右上与左下两数的乘积减去左上与右下两数的乘积，结果恒为7，规律得证。
额外规律：两条对角线上的两数之和相等，即方框对角两数的和恒相等。
【知识点】
列代数式、整式乘法运算、整式加减运算
【点评】
本题结合常见的日历场景考查整式运算的实际应用，需要先准确挖掘数字间的隐含数量关系，再通过规范的整式运算验证规律，能够有效锻炼规律探究能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确日历的数字排布规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。首先设方框内最小的数为n，根据排布规律表示出其余三个数；要证明2×2方框内两组对角数的乘积差为定值，只需将两组对角的乘积分别用含n的代数式表示，再相减后化简，若结果为不含n的常数即可证明规律成立；探究其他规律时，可尝试对对角两数做和、差等运算，观察结果是否为定值即可。
【解析】
解：设方框中最小的数为n，根据日历数字排布规律，其余三个数分别为n+1、n+7、n+8。
1. 证明例1规律（2×2方框内两组对角数的乘积差为定值7）：
先分别写出两组对角的乘积，再计算二者的差：
$\begin{aligned}(n+1)(n+7) - n(n+8)&=n^2 +7n +n +7 - (n^2 +8n)\\&=n^2 +8n +7 -n^2 -8n\\&=7\end{aligned}$
化简后结果为常数7，与n的取值无关，因此规律成立。
2. 探究对角两数的其他规律：
计算两条对角线上两数的和：
左上+右下：$n + (n+8) = 2n+8$
右上+左下：$(n+1) + (n+7) = 2n+8$
二者结果相等，可得新规律。
【答案】
设方框中最小的数为n，则其余三个数分别为n+1，n+7，n+8。
证明规律过程：
$\begin{aligned}(n+1)(n+7) - n(n+8)&=n^2 +7n +n +7 - (n^2 +8n)\\&=n^2 +8n +7 -n^2 -8n\\&=7\end{aligned}$
由此可得，任意符合要求的2×2方框中，右上与左下两数的乘积减去左上与右下两数的乘积，结果恒为7，规律得证。
额外规律：两条对角线上的两数之和相等，即方框对角两数的和恒相等。
【知识点】
列代数式、整式乘法运算、整式加减运算
【点评】
本题结合常见的日历场景考查整式运算的实际应用，需要先准确挖掘数字间的隐含数量关系，再通过规范的整式运算验证规律，能够有效锻炼规律探究能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
活动2 和为定值的两数积的规律
【例2】计算下列两组乘法算式的结果(每组算式中两个因数的和为定值),你发现结果有什么规律?
①$50×50,53×47,74×26,91×9$;
②$30×30,35×25,43×17,52×8$.
【变式训练】
2.若两数的和为定值$2n$,你能用整式的运算说明例2中的这一规律吗?
3.请用上面发现的规律解决问题:用10 m长的绳子围成一个长方形,该长方形的最大面积是多少?此时长方形的两条邻边长有什么关系?你能得出更一般的结论吗?
【例2】计算下列两组乘法算式的结果(每组算式中两个因数的和为定值),你发现结果有什么规律?
①$50×50,53×47,74×26,91×9$;
②$30×30,35×25,43×17,52×8$.
【变式训练】
2.若两数的和为定值$2n$,你能用整式的运算说明例2中的这一规律吗?
3.请用上面发现的规律解决问题:用10 m长的绳子围成一个长方形,该长方形的最大面积是多少?此时长方形的两条邻边长有什么关系?你能得出更一般的结论吗?
答案
解：
例2计算与规律总结
①
$50×50=2500$
$53×47=(50+3)(50-3)=2500-9=2491$
$74×26=(50+24)(50-24)=2500-576=1924$
$91×9=(50+41)(50-41)=2500-1681=819$
②
$30×30=900$
$35×25=(30+5)(30-5)=900-25=875$
$43×17=(30+13)(30-13)=900-169=731$
$52×8=(30+22)(30-22)=900-484=416$
规律：当两个数的和为定值时，两数的差越小，它们的乘积越大；当两数相等时，乘积取得最大值。
---
变式训练2
设两数的和为$2n$，令其中一个数为$n+a$，则另一个数为$2n-(n+a)=n-a$，两数的乘积为：
$(n+a)(n-a)=n^2-a^2$
因为$a^2\ge0$，所以当$a=0$时，两数都等于$n$，此时乘积为$n^2$，是最大值；$|a|$越大，即两数的差$|(n+a)-(n-a)|=2|a|$越大，$a^2$的值越大，乘积$n^2-a^2$就越小，符合例2总结的规律。
---
变式训练3
由题意，长方形的周长为10 m，因此长方形一组邻边的和为$\frac{10}{2}=5\ \mathrm{m}$，是定值。
根据上述规律，当两条邻边长度相等，即都为$\frac{5}{2}=2.5\ \mathrm{m}$时，乘积最大，此时最大面积为$2.5×2.5=6.25\ \mathrm{m}^2$。
此时长方形的两条邻边长度相等，该图形为正方形。
一般结论：周长固定的长方形，当它为正方形时，面积取得最大值。
答：该长方形的最大面积是$6.25\ \mathrm{m}^2$，此时两条邻边长度相等，周长固定的长方形中正方形的面积最大。
例2计算与规律总结
①
$50×50=2500$
$53×47=(50+3)(50-3)=2500-9=2491$
$74×26=(50+24)(50-24)=2500-576=1924$
$91×9=(50+41)(50-41)=2500-1681=819$
②
$30×30=900$
$35×25=(30+5)(30-5)=900-25=875$
$43×17=(30+13)(30-13)=900-169=731$
$52×8=(30+22)(30-22)=900-484=416$
规律：当两个数的和为定值时，两数的差越小，它们的乘积越大；当两数相等时，乘积取得最大值。
---
变式训练2
设两数的和为$2n$，令其中一个数为$n+a$，则另一个数为$2n-(n+a)=n-a$，两数的乘积为：
$(n+a)(n-a)=n^2-a^2$
因为$a^2\ge0$，所以当$a=0$时，两数都等于$n$，此时乘积为$n^2$，是最大值；$|a|$越大，即两数的差$|(n+a)-(n-a)|=2|a|$越大，$a^2$的值越大，乘积$n^2-a^2$就越小，符合例2总结的规律。
---
变式训练3
由题意，长方形的周长为10 m，因此长方形一组邻边的和为$\frac{10}{2}=5\ \mathrm{m}$，是定值。
根据上述规律，当两条邻边长度相等，即都为$\frac{5}{2}=2.5\ \mathrm{m}$时，乘积最大，此时最大面积为$2.5×2.5=6.25\ \mathrm{m}^2$。
此时长方形的两条邻边长度相等，该图形为正方形。
一般结论：周长固定的长方形，当它为正方形时，面积取得最大值。
答：该长方形的最大面积是$6.25\ \mathrm{m}^2$，此时两条邻边长度相等，周长固定的长方形中正方形的面积最大。
解析
【分析】
解题时分三步推进：1. 先计算两组算式的乘积，观察每组算式中两个因数的和固定时，两数的差与乘积大小的变化关系，总结出直观规律；2. 对于变式2，设和为2n的两个数分别为n+a和n-a，利用平方差公式展开乘积，结合平方的非负性即可从代数层面验证规律；3. 对于变式3，先根据长方形周长算出邻边之和为定值，再套用前面得到的规律，即可求出最大面积，推导一般结论。
【解析】
例2计算与规律总结
①组算式两个因数的和均为100，计算结果：
$50×50=2500$
$53×47=(50+3)(50-3)=2500-9=2491$
$74×26=(50+24)(50-24)=2500-576=1924$
$91×9=(50+41)(50-41)=2500-1681=819$
②组算式两个因数的和均为60，计算结果：
$30×30=900$
$35×25=(30+5)(30-5)=900-25=875$
$43×17=(30+13)(30-13)=900-169=731$
$52×8=(30+22)(30-22)=900-484=416$
规律：当两个数的和为定值时，两数的差越小，它们的乘积越大；当两数相等时，乘积取得最大值。
变式训练2
设两数的和为$2n$，令其中一个数为$n+a$，则另一个数为$2n-(n+a)=n-a$，两数的乘积为：
$(n+a)(n-a)=n^2-a^2$
因为$a^2\ge0$，所以当$a=0$时，两数都等于$n$，此时乘积为$n^2$，是最大值；$|a|$越大，即两数的差$|(n+a)-(n-a)|=2|a|$越大，$a^2$的值越大，乘积$n^2-a^2$就越小，可验证上述规律。
变式训练3
由题意，长方形的周长为10 m，因此长方形一组邻边的和为$\frac{10}{2}=5\ \mathrm{m}$，是定值。
根据上述规律，当两条邻边长度相等，即都为$\frac{5}{2}=2.5\ \mathrm{m}$时，邻边的乘积（即长方形面积）最大，此时最大面积为$2.5×2.5=6.25\ \mathrm{m}^2$。
此时长方形的两条邻边长度相等，图形为正方形。
一般结论：周长固定的长方形，当它为正方形时，面积取得最大值。
【答案】
例2规律：和为定值的两个数，差越小乘积越大，两数相等时乘积最大；
变式2规律推导见解析；
变式3：长方形最大面积是$6.25\ \mathrm{m}^2$，此时两条邻边长度相等，一般结论为周长固定的长方形中正方形的面积最大。
【知识点】
平方差公式，平方的非负性，长方形周长与面积计算
【点评】
本题从具体数值计算入手，引导学生自主探索规律，再通过代数推导验证规律，最终应用规律解决实际几何问题，能有效锻炼计算能力、逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时分三步推进：1. 先计算两组算式的乘积，观察每组算式中两个因数的和固定时，两数的差与乘积大小的变化关系，总结出直观规律；2. 对于变式2，设和为2n的两个数分别为n+a和n-a，利用平方差公式展开乘积，结合平方的非负性即可从代数层面验证规律；3. 对于变式3，先根据长方形周长算出邻边之和为定值，再套用前面得到的规律，即可求出最大面积，推导一般结论。
【解析】
例2计算与规律总结
①组算式两个因数的和均为100，计算结果：
$50×50=2500$
$53×47=(50+3)(50-3)=2500-9=2491$
$74×26=(50+24)(50-24)=2500-576=1924$
$91×9=(50+41)(50-41)=2500-1681=819$
②组算式两个因数的和均为60，计算结果：
$30×30=900$
$35×25=(30+5)(30-5)=900-25=875$
$43×17=(30+13)(30-13)=900-169=731$
$52×8=(30+22)(30-22)=900-484=416$
规律：当两个数的和为定值时，两数的差越小，它们的乘积越大；当两数相等时，乘积取得最大值。
变式训练2
设两数的和为$2n$，令其中一个数为$n+a$，则另一个数为$2n-(n+a)=n-a$，两数的乘积为：
$(n+a)(n-a)=n^2-a^2$
因为$a^2\ge0$，所以当$a=0$时，两数都等于$n$，此时乘积为$n^2$，是最大值；$|a|$越大，即两数的差$|(n+a)-(n-a)|=2|a|$越大，$a^2$的值越大，乘积$n^2-a^2$就越小，可验证上述规律。
变式训练3
由题意，长方形的周长为10 m，因此长方形一组邻边的和为$\frac{10}{2}=5\ \mathrm{m}$，是定值。
根据上述规律，当两条邻边长度相等，即都为$\frac{5}{2}=2.5\ \mathrm{m}$时，邻边的乘积（即长方形面积）最大，此时最大面积为$2.5×2.5=6.25\ \mathrm{m}^2$。
此时长方形的两条邻边长度相等，图形为正方形。
一般结论：周长固定的长方形，当它为正方形时，面积取得最大值。
【答案】
例2规律：和为定值的两个数，差越小乘积越大，两数相等时乘积最大；
变式2规律推导见解析；
变式3：长方形最大面积是$6.25\ \mathrm{m}^2$，此时两条邻边长度相等，一般结论为周长固定的长方形中正方形的面积最大。
【知识点】
平方差公式，平方的非负性，长方形周长与面积计算
【点评】
本题从具体数值计算入手，引导学生自主探索规律，再通过代数推导验证规律，最终应用规律解决实际几何问题，能有效锻炼计算能力、逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
