等边三角形
(1)定义:三边都相等的三角形是等边三角形.
(2)性质:
①等边三角形的三条边都;
②等边三角形的三个角都,并且每一个角都等于.
(3)判定:
①定义;
②三个角都的三角形是等边三角形;
③有一个角是的等腰三角形是等边三角形.

解：
(2)①相等
②相等；60°
(3)②相等
③60°

【分析】
本题考查等边三角形性质与判定的基础概念，解题时只需回忆对应知识点逐一填空即可。首先回忆性质：等边三角形是特殊的等腰三角形，首先三条边都相等；结合已学的三角形内角和为180°，三个角相等时每个角的度数可通过180°÷3计算得出。再回忆判定：除定义外，三个角都相等的三角形对应三条边也相等，符合等边三角形定义；等腰三角形本身已有两条边相等、两个底角相等，若再有一个角是60°，可推得三个角均为60°，因此也属于等边三角形。
【解析】
(2)①根据等边三角形的性质，三条边都相等，故填相等；
②等边三角形的三个角都相等，结合三角形内角和180°，每一个角的度数为$180°÷3=60°$，故依次填相等、$60°$；
(3)②根据等边三角形的判定定理，三个角都相等的三角形是等边三角形，故填相等；
③根据等边三角形的判定定理，有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形，故填$60°$。
【答案】
(2)①相等；②相等；$60°$；(3)②相等；③$60°$
【知识点】
等边三角形的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念识记题，直接考察等边三角形核心的性质与判定定理，熟练掌握相关基础定义和定理即可快速作答，是学习等边三角形相关计算、证明题的必备基础。
【难度系数】
0.9

【例1】如图,已知D,E分别是等边三角形ABC的两边AB,AC上的点,且$AD=CE$,猜测$∠DFB$的度数,并说明理由.

解：猜测$∠ DFB=60°$，理由如下：
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore AC=BC$，$∠ A=∠ ACB=60°$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}AD=CE \\∠ A=∠ ECB \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ ACD=∠ CBE$。
$\because ∠ DFB$是$△ BFC$的外角，
$\therefore ∠ DFB=∠ FBC+∠ FCB=∠ ACD+∠ FCB=∠ ACB=60°$。

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是等边三角形，可联想到等边三角形三边相等、三个内角均为60°的性质；结合给出的AD=CE，可找到分别包含这两组边和对应夹角的△ADC和△CEB，尝试证明两三角形全等。全等后可得到对应角相等，再观察∠DFB的位置，它是△BFC的外角，借助三角形外角的性质对角度进行转化，即可求出∠DFB的度数。
【解析】
猜测$∠ DFB=60°$，理由如下：
$\because △ABC$是等边三角形，
$\therefore AC=BC$，$∠A=∠ACB=60°$。
在$△ADC$和$△CEB$中，
$\begin{cases}AD=CE \\∠ A=∠ ECB \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ ACD=∠ CBE$。
$\because ∠ DFB$是$△ BFC$的外角，
$\therefore ∠ DFB=∠ FBC+∠ FCB=∠ ACD+∠ FCB=∠ ACB=60°$。
【答案】
$∠ DFB=60°$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是等边三角形相关的基础典型题，解题关键是先利用等边三角形的性质构造全等三角形得到等角，再通过三角形外角的性质完成角度转化，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

【变式1】如图，$△ ABC$是等边三角形，AD是角平分线，$△ ADE$是等边三角形，下列结论：①$AD ⊥ BC$；②$EF = FD$；③$BE = BD$中正确的有（）.


A.3个
B.2个
C.1个
D.0个

A

【分析】
解题时先回忆等边三角形“三线合一”的性质，先判断结论①：等边三角形的角平分线同时是边上的高，可直接证①成立；接下来分析两个等边三角形的角的关系，得到∠EAB=∠DAB，结合AE=AD、公共边AB，可证△AEB≌△ADB，即可得BE=BD，判断③成立；最后由AB平分等边△ADE的顶角∠EAD，结合三线合一可知AB垂直平分DE，即可得EF=FD，判断②成立。
【解析】
1. 证明结论①：
∵△ABC是等边三角形，AD是角平分线，根据等边三角形三线合一的性质，AD也是BC边上的高，
∴AD⊥BC，故①正确。
2. 推导角的关系：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，∠EAD=60°，
∴∠EAB=∠EAD - ∠BAD = 60° - 30° = 30°，即∠EAB=∠BAD=30°。
3. 证明结论③：
在△AEB和△ADB中：
$\{\begin{array}{l}AE=AD \\∠EAB=∠DAB \\AB=AB\end{array} $
∴△AEB≌△ADB（SAS），
∴BE=BD，故③正确。
4. 证明结论②：
∵∠EAB=∠BAD=30°，即AB平分∠EAD，且AE=AD，
根据等腰三角形三线合一的性质，AB垂直平分线段DE，
∴EF=FD，故②正确。
综上，①②③3个结论都正确。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形性质；全等三角形判定；三线合一
【点评】
本题侧重考查等边三角形与全等三角形的综合应用，解题突破口是利用等边三角形的角的度数得到相等角，结合三线合一、全等判定即可逐一验证结论，是等边三角形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7

【例2】如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$∠ BAC = 120°$，$AD ⊥ AB$交$BC$于点$D$，$AE ⊥ AC$交$BC$于点$E$. 求证：$△ ADE$是等边三角形.

证明：
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
∴ $∠ B=∠ C=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$，
∵ $AD⊥ AB$，$AE⊥ AC$，
∴ $∠ BAD=∠ CAE=90°$，
∴ $∠ ADB=90°-∠ B=90°-30°=60°$，
$∠ AED=90°-∠ C=90°-30°=60°$，
在$△ ADE$中，
$∠ DAE=180°-∠ ADB-∠ AED=180°-60°-60°=60°$，
∴ $∠ ADB=∠ AED=∠ DAE=60°$，
∴ $△ ADE$是等边三角形。

【分析】
要证明△ADE是等边三角形，可通过证明其三个内角均为60°的判定思路解题。首先根据等腰三角形AB=AC、顶角∠BAC=120°，可先求出两个底角∠B、∠C的度数；再结合AD⊥AB、AE⊥AC的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余，求出∠ADB和∠AED的度数；最后利用三角形内角和求出∠DAE的度数，若三个内角均为60°，即可判定△ADE为等边三角形。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
∴ $∠ B=∠ C=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$，
∵ $AD⊥ AB$，$AE⊥ AC$，
∴ $∠ BAD=∠ CAE=90°$，
∴ $∠ ADB=90°-∠ B=90°-30°=60°$，
$∠ AED=90°-∠ C=90°-30°=60°$，
在$△ ADE$中，
$∠ DAE=180°-∠ ADB-∠ AED=180°-60°-60°=60°$，
∴ $∠ ADB=∠ AED=∠ DAE=60°$，
∴ $△ ADE$是等边三角形。
【答案】
$△ ADE$是等边三角形
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 等边三角形的判定
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是特殊三角形性质与判定的基础应用，解题核心是通过角度推导得到目标三角形的三个内角均为60°，只要熟练掌握等腰三角形角度计算、等边三角形的判定方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8