【例1】如图,在公路$l$上修建一个公共汽车站点,$A,B$是路边两个新建小区,这个公共汽车站点建在什么位置,能使两个小区到车站的路程一样长？

解：
作法：
1. 连接点A、B；
2. 分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于C、D两点；
3. 作直线CD，交公路$l$于点$P$。
点$P$就是所求的公共汽车站点的位置，此时$PA=PB$，两个小区到车站的路程一样长。

【分析】
要确定公共汽车站的位置，首先明确所求点需同时满足两个要求：①在公路$l$上；②到点$A$、点$B$的距离相等。根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此所有到$A$、$B$距离相等的点都在线段$AB$的垂直平分线上。我们只需作出线段$AB$的垂直平分线，它与直线$l$的交点就同时满足两个条件，该点就是所求的站点位置，后续按照尺规作线段垂直平分线的规范步骤操作即可。
【解析】
作法：
1. 连接点$A$、$B$，得到线段$AB$；
2. 分别以点$A$、$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于$C$、$D$两点；
3. 作直线$CD$，交公路$l$于点$P$。
因为直线$CD$是线段$AB$的垂直平分线，点$P$在$CD$上，因此$PA=PB$，符合两个小区到车站路程一样长的要求。
【答案】
公共汽车站点应建在线段$AB$的垂直平分线与公路$l$的交点$P$处，具体作法：
1. 连接点$A$、$B$；
2. 分别以点$A$、$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于$C$、$D$两点；
3. 作直线$CD$，交公路$l$于点$P$。点$P$就是所求位置，此时$PA=PB$，两个小区到车站的路程一样长。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定
2. 尺规作垂直平分线
【点评】
本题属于几何知识的实际应用类题目，需要将生活中“到两地路程相等”的要求转化为数学中“点在线段垂直平分线上”的条件，结合站点需在公路上的限制，将问题转化为两条直线求交点的问题，既考查了基础尺规作图的掌握程度，也锻炼了将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.8

【变式1】如图,已知线段AB=2 cm,其垂直平分线CD的作法如下:

(1)分别以点A和点B为圆心,b cm长为半径作弧,两弧相交于C,D两点;
(2)作直线CD.
上述作法中,b满足的条件为b1.(选填“＞”“＜”或“=”)

$\boldsymbol{＞}$

【分析】
要解决这个问题，我们需要结合尺规作线段垂直平分线的原理思考：要作出线段AB的垂直平分线，需要先找到两个到A、B距离相等的点C、D，再连接两点得到直线CD。要让分别以A、B为圆心的两弧能交于C、D两个点，所取的半径长度必须大于线段AB长度的一半，否则两弧要么没有交点，要么交点在线段AB上，无法得到两个不同的交点来确定垂直平分线。已知AB=2cm，一半是1cm，据此即可判断b的取值范围。
【解析】
已知线段AB=2cm，那么AB长度的一半为$\frac{1}{2}AB=1$cm。
根据尺规作线段垂直平分线的要求，只有当半径$b＞1$cm时，分别以A、B为圆心作弧，两弧才能得到C、D两个不在线段AB上的交点；若$b=1$cm，两弧仅在线段AB的中点处有1个交点；若$b＜1$cm，两弧没有交点，都无法作出符合要求的垂直平分线CD。
因此b满足的条件是$b＞1$。
【答案】
$\boldsymbol{＞}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的尺规作法
2. 两弧相交的条件
【点评】
本题属于基础作图类题目，考查对尺规作线段垂直平分线操作要求的理解，牢记作图时半径需大于线段长度的一半是解题的关键，这类考点通常以填空、选择的形式出现，难度较低。
【难度系数】
0.9

探究点2 作对称轴
【例2】请你作出下列图形的对称轴,并写出作法.

解：
作法：
(1) 连接$AA'$；
(2) 分别以点$A$、$A'$为圆心，大于$\frac{1}{2}AA'$的长为半径画弧，两弧交于两点，记为$M$、$N$；
(3) 作直线$MN$。
直线$MN$即为所求的对称轴。

【分析】
要作出两个成轴对称图形的对称轴，首先回忆轴对称的性质：成轴对称的两个图形的对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。因此我们可以先选取一组对应点，如图中的A和A'，再用尺规作图作出这组对应点连线的垂直平分线，就能得到图形的对称轴。作线段垂直平分线时，要注意以两个端点为圆心画弧的半径必须大于线段长度的一半，否则两弧没有交点，无法作出垂直平分线。
【解析】
选取对应点A和A'，按线段垂直平分线的尺规作图步骤操作：
(1) 连接$AA'$；
(2) 分别以点$A$、$A'$为圆心，大于$\frac{1}{2}AA'$的长为半径画弧，两弧交于两点，记为$M$、$N$；
(3) 作直线$MN$。
直线$MN$就是该图形的对称轴。
【答案】
作法：
(1) 连接$AA'$；
(2) 分别以点$A$、$A'$为圆心，大于$\frac{1}{2}AA'$的长为半径画弧，两弧交于两点，记为$M$、$N$；
(3) 作直线$MN$。
直线$MN$即为所求的对称轴。
【知识点】
轴对称的性质；线段垂直平分线的尺规作图
【点评】
本题属于基础作图题，核心是利用轴对称的性质确定对称轴的本质是对应点连线的垂直平分线，只要熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法就能顺利解题，作图时要注意半径的取值要求，避免出现两弧无交点的问题。
【难度系数】
0.8

【变式2】画出下列轴对称图形的所有对称轴.

解：
图(1)共有2条对称轴：分别是过正方形上下对边中点的竖直直线、过正方形左右对边中点的水平直线，用虚线画出这两条直线，即为图(1)的所有对称轴。
图(2)共有1条对称轴：是沿图形水平方向、穿过左右两端小正方形中心的水平直线，用虚线画出该直线，即为图(2)的所有对称轴。

【分析】
解决本题的核心是依据轴对称图形的定义找对称轴：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，这条直线就是该图形的对称轴。解题时可按水平直线、竖直直线、斜向直线的顺序逐一验证：
对图(1)，先验证竖直方向：沿过正方形上下对边中点的直线对折，两侧完全重合，是对称轴；再验证水平方向：沿过正方形左右对边中点的直线对折，两侧完全重合，是对称轴；沿正方形对角线对折时，两侧的弧形部分无法重合，不属于对称轴。
对图(2)，验证水平方向：沿穿过图形左右两端小正方形中心的水平直线对折，上下部分完全重合，是对称轴；其余方向的直线对折后，两侧都无法完全重合，不属于对称轴。最后将确定的对称轴用虚线画出即可。
【解析】
1. 绘制图(1)的对称轴：
用虚线画出过正方形上下对边中点的竖直直线，再用虚线画出过正方形左右对边中点的水平直线即可。
2. 绘制图(2)的对称轴：
用虚线画出沿水平方向、穿过图形左右两端小正方形中心的水平直线即可。
【答案】
图(1)共有2条对称轴：分别是过正方形上下对边中点的竖直直线、过正方形左右对边中点的水平直线，用虚线画出这两条直线，即为图(1)的所有对称轴。
图(2)共有1条对称轴：是沿图形水平方向、穿过左右两端小正方形中心的水平直线，用虚线画出该直线，即为图(2)的所有对称轴。
【知识点】
轴对称图形的定义，对称轴的画法
【点评】
本题考查轴对称图形对称轴的识别与绘制，解题的关键是牢记轴对称图形的特征，通过对折验证的方法排查所有可能的直线，避免多找或漏找对称轴，绘制时注意对称轴需使用虚线。
【难度系数】
0.7

1. 观察图中的尺规作图痕迹,下列结论错误的是().

A.$PQ$是直线$l$的垂线
B.$PA=PB$
C.$∠ AQP=∠ BQP$
D.点$A,B$到$PQ$的距离不相等

D

【分析】
首先识别尺规作图的类型：图中是作线段AB的垂直平分线的作图痕迹，因此PQ是线段AB的垂直平分线。接下来结合线段垂直平分线的性质、轴对称的性质，逐一分析四个选项的正误，选出错误的结论即可。
【解析】
由尺规作图痕迹可得：PQ是线段AB的垂直平分线。
A选项：
∵PQ垂直平分AB，AB在直线l上，
∴PQ⊥l，该结论正确，不符合题意；
B选项：
∵点P在AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得PA=PB，该结论正确，不符合题意；
C选项：
∵PQ垂直平分AB，
∴AQ=BQ，△AQB是等腰三角形，PQ是等腰△AQB的顶角平分线，因此∠AQP=∠BQP，该结论正确，不符合题意；
D选项：
∵点A、B关于直线PQ对称，对称点到对称轴的距离相等，因此点A、B到PQ的距离相等，该结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质
【点评】
本题考查尺规作图的识别与线段垂直平分线的相关性质，解题的关键是先判断出PQ为线段AB的垂直平分线，再结合对应性质逐一判断选项，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8