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3.(2025昆明官渡区期末)如图,射线OC是∠AOB的平分线,D为射线OC上一点,DP⊥OA于点P,PD=3.若Q是射线OB上一点,OQ=5,则阴影部分的面积为().
A.15
B.5
C.3
D.$\frac{15}{2}$
A.15
B.5
C.3
D.$\frac{15}{2}$
答案
D
解析
【分析】
要求阴影部分△ODQ的面积，已知底OQ=5，只需先求出该底边上的高即可。已知OC是∠AOB的平分线，D在OC上且DP⊥OA，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可以过点D作OB的垂线，得到的垂线段长度就等于PD=3，也就是△ODQ的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：过点D作DE⊥OB于点E。
∵ OC是∠AOB的角平分线，点D在OC上，DP⊥OA，DE⊥OB，
∴ 根据角平分线的性质可得：$DE = PD = 3$。
阴影部分为△ODQ，其底OQ=5，底边上的高为DE=3，
∴ $S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ ODQ} = \frac{1}{2} × OQ × DE = \frac{1}{2} × 5 × 3 = \frac{15}{2}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题属于角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是结合已知条件作辅助线得到阴影三角形的高，熟练掌握角平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.75
要求阴影部分△ODQ的面积，已知底OQ=5，只需先求出该底边上的高即可。已知OC是∠AOB的平分线，D在OC上且DP⊥OA，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可以过点D作OB的垂线，得到的垂线段长度就等于PD=3，也就是△ODQ的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：过点D作DE⊥OB于点E。
∵ OC是∠AOB的角平分线，点D在OC上，DP⊥OA，DE⊥OB，
∴ 根据角平分线的性质可得：$DE = PD = 3$。
阴影部分为△ODQ，其底OQ=5，底边上的高为DE=3，
∴ $S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ ODQ} = \frac{1}{2} × OQ × DE = \frac{1}{2} × 5 × 3 = \frac{15}{2}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题属于角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是结合已知条件作辅助线得到阴影三角形的高，熟练掌握角平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.75
4. (2024昆明期中)如图,D是∠BAC内一点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,点M,N分别在∠BAC的两边上,且AM=AN,DM=DN.求证:DE=DF.
答案
证明：连接AD。
在△AMD和△AND中，
$\{\begin{array}{l}AM=AN,\\DM=DN,\\AD=AD,\end{array} $
∴△AMD≌△AND（SSS）。
∴∠MAD=∠NAD，即AD平分∠BAC。
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=DF。
在△AMD和△AND中，
$\{\begin{array}{l}AM=AN,\\DM=DN,\\AD=AD,\end{array} $
∴△AMD≌△AND（SSS）。
∴∠MAD=∠NAD，即AD平分∠BAC。
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=DF。
解析
【分析】
要证明DE=DF，根据角平分线的性质，只需证点D在∠BAC的角平分线上，即AD平分∠BAC。观察已知条件，有AM=AN、DM=DN，且AD是两个三角形的公共边，因此可先连接AD，通过SSS判定△AMD≌△AND，利用全等三角形对应角相等得到∠MAD=∠NAD，推出AD是∠BAC的角平分线，最后结合DE⊥AB、DF⊥AC的条件，即可证得DE=DF。
【解析】
证明：连接AD。
在$△ AMD$和$△ AND$中：
$\begin{cases} AM=AN \\ DM=DN \\ AD=AD \end{cases}$
$\therefore △ AMD ≌ △ AND \ (\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ MAD=∠ NAD$，即AD平分$∠ BAC$，
又$\because DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE=DF$。
【答案】
证明：连接AD。
在△AMD和△AND中，
$\{\begin{array}{l}AM=AN,\\DM=DN,\\AD=AD,\end{array} $
∴△AMD≌△AND（SSS）。
∴∠MAD=∠NAD，即AD平分∠BAC。
又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=DF。
【知识点】
全等三角形SSS判定，角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是添加辅助线AD构造全等三角形，将线段相等的证明转化为角相等的证明，考查学生对全等三角形判定和角平分线性质的应用能力，是角平分线性质相关的典型考法。
【难度系数】
0.8
要证明DE=DF，根据角平分线的性质，只需证点D在∠BAC的角平分线上，即AD平分∠BAC。观察已知条件，有AM=AN、DM=DN，且AD是两个三角形的公共边，因此可先连接AD，通过SSS判定△AMD≌△AND，利用全等三角形对应角相等得到∠MAD=∠NAD，推出AD是∠BAC的角平分线，最后结合DE⊥AB、DF⊥AC的条件，即可证得DE=DF。
【解析】
证明：连接AD。
在$△ AMD$和$△ AND$中：
$\begin{cases} AM=AN \\ DM=DN \\ AD=AD \end{cases}$
$\therefore △ AMD ≌ △ AND \ (\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ MAD=∠ NAD$，即AD平分$∠ BAC$，
又$\because DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE=DF$。
【答案】
证明：连接AD。
在△AMD和△AND中，
$\{\begin{array}{l}AM=AN,\\DM=DN,\\AD=AD,\end{array} $
∴△AMD≌△AND（SSS）。
∴∠MAD=∠NAD，即AD平分∠BAC。
又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=DF。
【知识点】
全等三角形SSS判定，角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是添加辅助线AD构造全等三角形，将线段相等的证明转化为角相等的证明，考查学生对全等三角形判定和角平分线性质的应用能力，是角平分线性质相关的典型考法。
【难度系数】
0.8
5. 证明命题:全等三角形对应边上的高相等.
已知:如图,△ABC ≌ △A'B'C',AD 和 A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的边 BC 和 B'C'上的高. 求证:AD=A'D'.
已知:如图,△ABC ≌ △A'B'C',AD 和 A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的边 BC 和 B'C'上的高. 求证:AD=A'D'.
答案
证明：
∵ △ABC ≌ △A'B'C'，
∴ AB = A'B'，∠B = ∠B'。
∵ AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的边BC、B'C'上的高，
∴ ∠ADB = ∠A'D'B' = 90°。
在△ABD和△A'B'D'中，
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠A'D'B' \\∠B = ∠B' \\AB = A'B'\end{array} $
∴ △ABD ≌ △A'B'D'（AAS），
∴ AD = A'D'。
∵ △ABC ≌ △A'B'C'，
∴ AB = A'B'，∠B = ∠B'。
∵ AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的边BC、B'C'上的高，
∴ ∠ADB = ∠A'D'B' = 90°。
在△ABD和△A'B'D'中，
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠A'D'B' \\∠B = ∠B' \\AB = A'B'\end{array} $
∴ △ABD ≌ △A'B'D'（AAS），
∴ AD = A'D'。
解析
【分析】
要证明全等三角形对应边上的高相等，首先从已知的△ABC≌△A'B'C'出发，利用全等三角形的性质可以得到对应边AB=A'B'、对应角∠B=∠B'；再结合AD、A'D'是对应边上的高的条件，可推出两个高和底边的夹角都是90°，即∠ADB=∠A'D'B'；此时△ABD和△A'B'D'满足两角及其中一角的对边对应相等，符合AAS全等判定的条件，证明这两个小三角形全等后，根据全等三角形对应边相等，就能得出AD=A'D'的结论。
【解析】
证明：
∵ △ABC ≌ △A'B'C'，
∴ AB = A'B'，∠B = ∠B'。
∵ AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的边BC、B'C'上的高，
∴ ∠ADB = ∠A'D'B' = 90°。
在△ABD和△A'B'D'中，
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠A'D'B' \\∠B = ∠B' \\AB = A'B'\end{array} $
∴ △ABD ≌ △A'B'D'（AAS），
∴ AD = A'D'。
【答案】
证明过程如上所述，可证得AD=A'D'。
【知识点】
1.全等三角形的性质
2.全等三角形的AAS判定
3.三角形高的定义
【点评】
本题是全等三角形性质与判定的基础应用，解题核心是从已知全等的大三角形中提取所需的边角相等条件，结合高的定义构造全等的小三角形，进而证明对应线段相等，这类思路在几何线段相等的证明中十分常用。
【难度系数】
0.8
要证明全等三角形对应边上的高相等，首先从已知的△ABC≌△A'B'C'出发，利用全等三角形的性质可以得到对应边AB=A'B'、对应角∠B=∠B'；再结合AD、A'D'是对应边上的高的条件，可推出两个高和底边的夹角都是90°，即∠ADB=∠A'D'B'；此时△ABD和△A'B'D'满足两角及其中一角的对边对应相等，符合AAS全等判定的条件，证明这两个小三角形全等后，根据全等三角形对应边相等，就能得出AD=A'D'的结论。
【解析】
证明：
∵ △ABC ≌ △A'B'C'，
∴ AB = A'B'，∠B = ∠B'。
∵ AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的边BC、B'C'上的高，
∴ ∠ADB = ∠A'D'B' = 90°。
在△ABD和△A'B'D'中，
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠A'D'B' \\∠B = ∠B' \\AB = A'B'\end{array} $
∴ △ABD ≌ △A'B'D'（AAS），
∴ AD = A'D'。
【答案】
证明过程如上所述，可证得AD=A'D'。
【知识点】
1.全等三角形的性质
2.全等三角形的AAS判定
3.三角形高的定义
【点评】
本题是全等三角形性质与判定的基础应用，解题核心是从已知全等的大三角形中提取所需的边角相等条件，结合高的定义构造全等的小三角形，进而证明对应线段相等，这类思路在几何线段相等的证明中十分常用。
【难度系数】
0.8
6. 如图是一块三角形草坪,现要在草坪上建一座凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在().
A.$△ ABC$ 的三条中线的交点
B.$△ ABC$ 的三条角平分线的交点
C.$△ ABC$ 的三条高所在直线的交点
D.以上都不对
第6题图 第7题图
A.$△ ABC$ 的三条中线的交点
B.$△ ABC$ 的三条角平分线的交点
C.$△ ABC$ 的三条高所在直线的交点
D.以上都不对
第6题图 第7题图
答案
B
解析
【分析】
首先明确题目的核心要求：找到三角形内部到三条边距离都相等的点。结合已学的角平分线的性质思考：角平分线上的点到角两边的距离相等，若某点到三角形三条边距离都相等，说明该点同时在三个内角的角平分线上，也就是三角形三条角平分线的交点，再逐一判断选项即可。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
若要使凉亭到△ABC三条边的距离相等，则该点需要同时在∠A、∠B、∠C三个内角的角平分线上，也就是△ABC三条角平分线的交点。
对各选项逐一判断：
A选项：三角形三条中线的交点是重心，重心的性质是到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，不满足到三边距离相等的要求，不符合题意；
B选项：三角形三条角平分线的交点，到三条边的距离相等，符合题意；
C选项：三角形三条高所在直线的交点是垂心，不具备到三边距离相等的性质，不符合题意。
综上，应选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 三角形特殊线段交点的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查角平分线性质的实际应用，只要熟记角平分线的性质以及三角形各特殊线段交点的特征，结合题干要求就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
首先明确题目的核心要求：找到三角形内部到三条边距离都相等的点。结合已学的角平分线的性质思考：角平分线上的点到角两边的距离相等，若某点到三角形三条边距离都相等，说明该点同时在三个内角的角平分线上，也就是三角形三条角平分线的交点，再逐一判断选项即可。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
若要使凉亭到△ABC三条边的距离相等，则该点需要同时在∠A、∠B、∠C三个内角的角平分线上，也就是△ABC三条角平分线的交点。
对各选项逐一判断：
A选项：三角形三条中线的交点是重心，重心的性质是到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，不满足到三边距离相等的要求，不符合题意；
B选项：三角形三条角平分线的交点，到三条边的距离相等，符合题意；
C选项：三角形三条高所在直线的交点是垂心，不具备到三边距离相等的性质，不符合题意。
综上，应选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 三角形特殊线段交点的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查角平分线性质的实际应用，只要熟记角平分线的性质以及三角形各特殊线段交点的特征，结合题干要求就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=BC$,$AD$平分$∠ CAB$,交$BC$于点$D$,$DE ⊥ AB$于点$E$,且$AB=6\ \mathrm{cm}$,则$△ DEB$的周长为().
A.4 cm
B.6 cm
C.10 cm
D.不能确定
A.4 cm
B.6 cm
C.10 cm
D.不能确定
答案
B
解析
【分析】
解题时先结合已知条件联想相关性质：看到角平分线和角两边的垂线，优先用角平分线的性质得到相等线段；再通过全等三角形得到对应边相等，最后对△DEB的周长的各边做等量代换，将其转化为已知长度的线段即可求解。具体思路：①根据角平分线性质得CD=DE；②证Rt△ACD≌Rt△AED得AC=AE；③结合AC=BC，把△DEB的周长DE+DB+EB逐步代换为AE+EB，也就是AB的长度，直接代入数值即可。
【解析】
解：
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等），
在Rt△ACD和Rt△AED中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DC=DE\end{array} $
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
又
∵AC=BC，
∴AE=BC，
△DEB的周长为：
$C_{△DEB}=DE+DB+EB$
将DE替换为DC可得：
$C_{△DEB}=DC+DB+EB=BC+EB$
再将BC替换为AE可得：
$C_{△DEB}=AE+EB=AB$
∵AB=6cm，
∴$C_{△DEB}=6\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、线段等量代换
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题核心是通过角平分线性质和全等三角形得到相等线段，利用等量代换将未知三角形的周长转化为已知边长的线段，无需分别计算各边长度即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件联想相关性质：看到角平分线和角两边的垂线，优先用角平分线的性质得到相等线段；再通过全等三角形得到对应边相等，最后对△DEB的周长的各边做等量代换，将其转化为已知长度的线段即可求解。具体思路：①根据角平分线性质得CD=DE；②证Rt△ACD≌Rt△AED得AC=AE；③结合AC=BC，把△DEB的周长DE+DB+EB逐步代换为AE+EB，也就是AB的长度，直接代入数值即可。
【解析】
解：
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等），
在Rt△ACD和Rt△AED中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DC=DE\end{array} $
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
又
∵AC=BC，
∴AE=BC，
△DEB的周长为：
$C_{△DEB}=DE+DB+EB$
将DE替换为DC可得：
$C_{△DEB}=DC+DB+EB=BC+EB$
再将BC替换为AE可得：
$C_{△DEB}=AE+EB=AB$
∵AB=6cm，
∴$C_{△DEB}=6\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、线段等量代换
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题核心是通过角平分线性质和全等三角形得到相等线段，利用等量代换将未知三角形的周长转化为已知边长的线段，无需分别计算各边长度即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8. 如图，E是BC的中点，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，AE平分∠BAD，下列结论：
①∠AED=90°；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④AD=AB+CD. 其中成立的是（）.
A.①②④
B.①②③
C.②③④
D.①③
①∠AED=90°；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④AD=AB+CD. 其中成立的是（）.
A.①②④
B.①②③
C.②③④
D.①③
答案
A
解析
【分析】
解题时可先过点E作EF⊥AD于F，利用角平分线的性质可得BE=EF，结合E是BC中点推出EF=EC，再通过证明直角三角形全等，依次验证四个结论是否成立即可。
【解析】
过点E作EF⊥AD，垂足为F。
1. 验证结论②：
∵AE平分∠BAD，AB⊥BC，EF⊥AD，
∴根据角平分线的性质，得BE=EF。
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∴EF=EC。
又
∵DC⊥BC，EF⊥AD，
∴DE平分∠ADC，即∠ADE=∠CDE，故②正确。
2. 验证结论③：
在Rt△DCE中，DE是斜边，EC是直角边，
∴DE＞EC，
∵EC=BE，
∴DE＞BE，故③错误。
3. 验证结论①：
在Rt△ABE和Rt△AFE中，$\{\begin{array}{l}AE=AE\\ BE=EF\end{array} $
∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），
∴∠AEB=∠AEF。
同理可证Rt△DCE≌Rt△DFE（HL），
∴∠DEC=∠DEF。
∵∠AEB+∠AEF+∠DEF+∠DEC=180°，
∴2(∠AEF+∠DEF)=180°，即∠AED=∠AEF+∠DEF=90°，故①正确。
4. 验证结论④：
由Rt△ABE≌Rt△AFE得AB=AF，由Rt△DCE≌Rt△DFE得CD=DF，
∴AD=AF+DF=AB+CD，故④正确。
综上，①②④成立。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形的综合应用题，作辅助线构造垂直得到相等线段、进而证明全等是解题的突破口，解题时需逐个验证结论，避免错判。
【难度系数】
0.7
解题时可先过点E作EF⊥AD于F，利用角平分线的性质可得BE=EF，结合E是BC中点推出EF=EC，再通过证明直角三角形全等，依次验证四个结论是否成立即可。
【解析】
过点E作EF⊥AD，垂足为F。
1. 验证结论②：
∵AE平分∠BAD，AB⊥BC，EF⊥AD，
∴根据角平分线的性质，得BE=EF。
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∴EF=EC。
又
∵DC⊥BC，EF⊥AD，
∴DE平分∠ADC，即∠ADE=∠CDE，故②正确。
2. 验证结论③：
在Rt△DCE中，DE是斜边，EC是直角边，
∴DE＞EC，
∵EC=BE，
∴DE＞BE，故③错误。
3. 验证结论①：
在Rt△ABE和Rt△AFE中，$\{\begin{array}{l}AE=AE\\ BE=EF\end{array} $
∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），
∴∠AEB=∠AEF。
同理可证Rt△DCE≌Rt△DFE（HL），
∴∠DEC=∠DEF。
∵∠AEB+∠AEF+∠DEF+∠DEC=180°，
∴2(∠AEF+∠DEF)=180°，即∠AED=∠AEF+∠DEF=90°，故①正确。
4. 验证结论④：
由Rt△ABE≌Rt△AFE得AB=AF，由Rt△DCE≌Rt△DFE得CD=DF，
∴AD=AF+DF=AB+CD，故④正确。
综上，①②④成立。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形的综合应用题，作辅助线构造垂直得到相等线段、进而证明全等是解题的突破口，解题时需逐个验证结论，避免错判。
【难度系数】
0.7
