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9.(易错题)已知$∠ AOB=60°$,以点$O$为圆心,任意长为半径作弧,分别交$OA$,$OB$于点$M$,$N$,分别以点$M$,$N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径作弧,两弧在$∠ AOB$内交于点$P$,以$OP$为边作$∠ POC=15°$,则$∠ BOC$的度数为.
答案
解：由作图步骤可知，OP是∠AOB的角平分线，
∵ ∠AOB=60°，
∴ ∠BOP = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°。
分两种情况讨论：
① 当OC在∠BOP内部时，
∠BOC = ∠BOP - ∠POC = 30° - 15° = 15°；
② 当OC在∠AOP内部时，
∠BOC = ∠BOP + ∠POC = 30° + 15° = 45°。
综上，∠BOC的度数为15°或45°。
∵ ∠AOB=60°，
∴ ∠BOP = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°。
分两种情况讨论：
① 当OC在∠BOP内部时，
∠BOC = ∠BOP - ∠POC = 30° - 15° = 15°；
② 当OC在∠AOP内部时，
∠BOC = ∠BOP + ∠POC = 30° + 15° = 45°。
综上，∠BOC的度数为15°或45°。
解析
【分析】
首先根据题目给出的尺规作图步骤，可判断出OP是∠AOB的角平分线，先求出∠BOP的度数；其次，题目仅说明以OP为边作∠POC=15°，未明确OC的位置，因此需要分两种情况讨论：OC在∠BOP内部，以及OC在∠AOP内部，分别结合角的和差关系计算∠BOC的度数即可。
【解析】
由作图步骤可知，OP是∠AOB的角平分线，
∵ ∠AOB=60°，
∴ ∠BOP = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°。
分两种情况讨论：
① 当OC在∠BOP内部时，
∠BOC = ∠BOP - ∠POC = 30° - 15° = 15°；
② 当OC在∠AOP内部时，
∠BOC = ∠BOP + ∠POC = 30° + 15° = 45°。
综上，∠BOC的度数为15°或45°。
【答案】
15°或45°
【知识点】
角平分线尺规作图，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题时容易因忽略∠POC的位置不确定性导致漏解，遇到未明确角的位置的题目时，要全面考虑所有可能的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先根据题目给出的尺规作图步骤，可判断出OP是∠AOB的角平分线，先求出∠BOP的度数；其次，题目仅说明以OP为边作∠POC=15°，未明确OC的位置，因此需要分两种情况讨论：OC在∠BOP内部，以及OC在∠AOP内部，分别结合角的和差关系计算∠BOC的度数即可。
【解析】
由作图步骤可知，OP是∠AOB的角平分线，
∵ ∠AOB=60°，
∴ ∠BOP = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°。
分两种情况讨论：
① 当OC在∠BOP内部时，
∠BOC = ∠BOP - ∠POC = 30° - 15° = 15°；
② 当OC在∠AOP内部时，
∠BOC = ∠BOP + ∠POC = 30° + 15° = 45°。
综上，∠BOC的度数为15°或45°。
【答案】
15°或45°
【知识点】
角平分线尺规作图，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题时容易因忽略∠POC的位置不确定性导致漏解，遇到未明确角的位置的题目时，要全面考虑所有可能的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC$的平分线$AD$交$BC$于点$D$,$DE ⊥ AB$于点$E$,$DF ⊥ AC$于点$F$.
(1)若$∠ BAD=42°$,$∠ ABC=2∠ C$,求$∠ C$的度数;
(2)若$S_{△ ABC}=21$,$DE=3$,$AB=5$,求$AC$的长.
(1)若$∠ BAD=42°$,$∠ ABC=2∠ C$,求$∠ C$的度数;
(2)若$S_{△ ABC}=21$,$DE=3$,$AB=5$,求$AC$的长.
答案
解：(1)
∵ AD平分∠BAC，∠BAD=42°
∴ ∠BAC=2∠BAD=84°
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠BAC + ∠ABC + ∠C = 180°
又∵ ∠ABC=2∠C
∴ 84° + 2∠C + ∠C = 180°
即3∠C=96°
解得∠C=32°
(2)
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴ DF=DE=3（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
∵ $S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}$
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE=\frac{1}{2}×5×3=7.5$
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DF$
代入$S_{△ABC}=21$得：
$21=7.5+\frac{1}{2}×AC×3$
整理得$1.5AC=13.5$
解得$AC=9$
综上，(1) $\boldsymbol{∠C=32°}$；(2) $\boldsymbol{AC=9}$。
∵ AD平分∠BAC，∠BAD=42°
∴ ∠BAC=2∠BAD=84°
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠BAC + ∠ABC + ∠C = 180°
又∵ ∠ABC=2∠C
∴ 84° + 2∠C + ∠C = 180°
即3∠C=96°
解得∠C=32°
(2)
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴ DF=DE=3（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
∵ $S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}$
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE=\frac{1}{2}×5×3=7.5$
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DF$
代入$S_{△ABC}=21$得：
$21=7.5+\frac{1}{2}×AC×3$
整理得$1.5AC=13.5$
解得$AC=9$
综上，(1) $\boldsymbol{∠C=32°}$；(2) $\boldsymbol{AC=9}$。
解析
【分析】
(1) 求解∠C的度数时，首先根据角平分线的定义，由已知的∠BAD度数算出∠BAC的总度数；再结合三角形内角和为180°的定理，以及题目给出的∠ABC=2∠C的数量关系，代入后列方程即可求解。
(2) 求解AC的长度时，首先利用角平分线的性质得到DF=DE，再将△ABC的面积拆分为△ABD和△ACD的面积之和，分别用底乘高除以2表示两个小三角形的面积，代入已知的面积、AB、DE的数值，即可求出AC的长度。
【解析】
(1)
∵ AD平分∠BAC，∠BAD=42°
∴ ∠BAC=2∠BAD=84°
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠BAC + ∠ABC + ∠C = 180°
又
∵ ∠ABC=2∠C
∴ 84° + 2∠C + ∠C = 180°
即3∠C=96°
解得∠C=32°
(2)
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴ DF=DE=3（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
∵ $S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}$
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE=\frac{1}{2}×5×3=7.5$
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DF$
代入$S_{△ABC}=21$得：
$21=7.5+\frac{1}{2}×AC×3$
整理得$1.5AC=13.5$
解得$AC=9$
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠C=32°}$；(2) $\boldsymbol{AC=9}$
【知识点】
角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形面积计算
【点评】
本题属于角平分线性质的基础应用题，涵盖角度计算和线段求解两类考点，侧重考查基础定理的应用能力，其中第二小问用到的面积拆分法是几何计算中常用的技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
(1) 求解∠C的度数时，首先根据角平分线的定义，由已知的∠BAD度数算出∠BAC的总度数；再结合三角形内角和为180°的定理，以及题目给出的∠ABC=2∠C的数量关系，代入后列方程即可求解。
(2) 求解AC的长度时，首先利用角平分线的性质得到DF=DE，再将△ABC的面积拆分为△ABD和△ACD的面积之和，分别用底乘高除以2表示两个小三角形的面积，代入已知的面积、AB、DE的数值，即可求出AC的长度。
【解析】
(1)
∵ AD平分∠BAC，∠BAD=42°
∴ ∠BAC=2∠BAD=84°
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠BAC + ∠ABC + ∠C = 180°
又
∵ ∠ABC=2∠C
∴ 84° + 2∠C + ∠C = 180°
即3∠C=96°
解得∠C=32°
(2)
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴ DF=DE=3（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
∵ $S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}$
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE=\frac{1}{2}×5×3=7.5$
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DF$
代入$S_{△ABC}=21$得：
$21=7.5+\frac{1}{2}×AC×3$
整理得$1.5AC=13.5$
解得$AC=9$
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠C=32°}$；(2) $\boldsymbol{AC=9}$
【知识点】
角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形面积计算
【点评】
本题属于角平分线性质的基础应用题，涵盖角度计算和线段求解两类考点，侧重考查基础定理的应用能力，其中第二小问用到的面积拆分法是几何计算中常用的技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
11.（推理能力）如图(1),在$△ ABC$中,AD是它的角平分线,P是AD上一点,$PE // AB$交BC于点E,$PF // AC$交BC于点F.
(1)求证:点D到PE的距离与点D到PF的距离相等；
(2)如图(2),若点P在AD的延长线上,其他条件不变,试猜想(1)中的结论还成立吗？请证明你的猜想.
(1)求证:点D到PE的距离与点D到PF的距离相等；
(2)如图(2),若点P在AD的延长线上,其他条件不变,试猜想(1)中的结论还成立吗？请证明你的猜想.
答案
(1) 证明：
∵ AD 是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ PE // AB，
∴ ∠EPD = ∠BAD。
∵ PF // AC，
∴ ∠FPD = ∠CAD。
∴ ∠EPD = ∠FPD，即 PD 平分∠EPF。
根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可得点D到PE的距离与点D到PF的距离相等。
---
(2) 解：(1)中的结论仍然成立，证明如下：
∵ AD 是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ PE // AB，
∴ ∠EPD = ∠BAD。
∵ PF // AC，
∴ ∠FPD = ∠CAD。
∴ ∠EPD = ∠FPD，即 PD 平分∠EPF。
根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可得点D到PE的距离与点D到PF的距离相等。
∵ AD 是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ PE // AB，
∴ ∠EPD = ∠BAD。
∵ PF // AC，
∴ ∠FPD = ∠CAD。
∴ ∠EPD = ∠FPD，即 PD 平分∠EPF。
根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可得点D到PE的距离与点D到PF的距离相等。
---
(2) 解：(1)中的结论仍然成立，证明如下：
∵ AD 是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ PE // AB，
∴ ∠EPD = ∠BAD。
∵ PF // AC，
∴ ∠FPD = ∠CAD。
∴ ∠EPD = ∠FPD，即 PD 平分∠EPF。
根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可得点D到PE的距离与点D到PF的距离相等。
解析
【分析】
要证明点D到PE、PF的距离相等，根据角平分线的性质，只需先证明PD是∠EPF的角平分线即可。首先利用AD是△ABC的角平分线可得∠BAD=∠CAD，再结合PE//AB、PF//AC的条件，通过平行线的内错角相等性质做等量代换，就能推出∠EPD=∠FPD，进而得证。第二问中，即使点P在AD的延长线上，平行线的内错角相等关系依然成立，推理思路与第一问完全一致，可类比证明结论仍然成立。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ PE // AB，
∴ ∠EPD = ∠BAD（两直线平行，内错角相等）。
∵ PF // AC，
∴ ∠FPD = ∠CAD（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠EPD = ∠FPD，即PD平分∠EPF。
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点D到PE的距离与点D到PF的距离相等。
(2) 解：(1)中的结论仍然成立，证明如下：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ PE // AB，
∴ ∠EPD = ∠BAD（两直线平行，内错角相等）。
∵ PF // AC，
∴ ∠FPD = ∠CAD（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠EPD = ∠FPD，即PD平分∠EPF。
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点D到PE的距离与点D到PF的距离相等。
【答案】
(1) 点D到PE的距离与点D到PF的距离相等，证明成立；
(2) (1)中的结论仍然成立。
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是将“点到两条直线距离相等”的问题转化为证明“射线为对应角的角平分线”的问题，通过平行线性质和角平分线定义完成角的等量代换即可求解，两小问推理逻辑一致，能帮助学生理解几何转化思想。
【难度系数】
0.8
要证明点D到PE、PF的距离相等，根据角平分线的性质，只需先证明PD是∠EPF的角平分线即可。首先利用AD是△ABC的角平分线可得∠BAD=∠CAD，再结合PE//AB、PF//AC的条件，通过平行线的内错角相等性质做等量代换，就能推出∠EPD=∠FPD，进而得证。第二问中，即使点P在AD的延长线上，平行线的内错角相等关系依然成立，推理思路与第一问完全一致，可类比证明结论仍然成立。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ PE // AB，
∴ ∠EPD = ∠BAD（两直线平行，内错角相等）。
∵ PF // AC，
∴ ∠FPD = ∠CAD（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠EPD = ∠FPD，即PD平分∠EPF。
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点D到PE的距离与点D到PF的距离相等。
(2) 解：(1)中的结论仍然成立，证明如下：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ PE // AB，
∴ ∠EPD = ∠BAD（两直线平行，内错角相等）。
∵ PF // AC，
∴ ∠FPD = ∠CAD（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠EPD = ∠FPD，即PD平分∠EPF。
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点D到PE的距离与点D到PF的距离相等。
【答案】
(1) 点D到PE的距离与点D到PF的距离相等，证明成立；
(2) (1)中的结论仍然成立。
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是将“点到两条直线距离相等”的问题转化为证明“射线为对应角的角平分线”的问题，通过平行线性质和角平分线定义完成角的等量代换即可求解，两小问推理逻辑一致，能帮助学生理解几何转化思想。
【难度系数】
0.8
