23.(22分)作图与证明题.
(1)(8分)请把满足下列条件的△ABC分成两个三角形,恰好都是等腰三角形,再结合图形分别猜想∠A与∠B有怎样的数量关系,最后举例验证猜想所得结论是正确的.
①如图6-7-10,在△ABC中,∠C=90°,∠A=24°.
利用尺规作图:
在图6-7-10中作出符合要求的图形,保留作图痕迹,不写作法.
猜想结论: ∠A与∠B的关系是.
举例验证:

②如图6-7-11,在△ABC中,∠C=84°,∠A=24°.
利用尺规作图:
在图6-7-11中作出符合要求的图形,保留作图痕迹,不写作法.
猜想结论: ∠A与∠B的关系是.
举例验证:
(2)(7分)如图6-7-12,在△ABC中,已知AB=AC,D是BC边的中点,以AC为腰向外作等腰直角△ACE,∠EAC=90°,连结BE,交AD于点F,交AC于点G.
①如果∠BAC=50°,那么∠AEB=.
②求证:∠AEB=∠ACF.

③如果AB=3,求$EF^2 + BF^2$的值.
(3)(7分)①如图6-7-13,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.过点C在△ABC外作直线l,AM⊥l,垂足为点M,BN⊥l,垂足为点N.试探索线段AM,BN,MN三者之间的数量关系,并说明理由.

②如图6-7-14,将直线l绕点C旋转,使直线l交AB于点D,且AD＞BD,此时(1)中的结论是否仍然成立?若不成立,它们之间有什么数量关系?请给予证明.

23. (1) ① 提示: 作 $∠ ACD = ∠ A$；或作 $∠ BCD = ∠ B$；或作线段 $AB$(或 $AC$,或 $BC$) 的垂直平分线。所求点 $D$ 是 $AB$ 边的中点。猜想结论: $∠ A + ∠ B = 90°$。如 $∠ A = 32°, ∠ B = 58°$, 则 $∠ A + ∠ B = 90°$。可以把 $△ ABC$ 分成两个等腰三角形。
② 提示: 作 $∠ ABD = ∠ A$；或在 $AC$ 上截取 $CD = CB$；或作线段 $AB$ 的垂直平分线。所求点 $D$ 在 $AC$ 边上。猜想结论: $∠ B = 3∠ A$。如 $∠ A = 20°, ∠ B = 60°$, 有 $∠ B = 3∠ A$, 可以把 $△ ABC$ 恰好分成两个等腰三角形。
(2) 解: ① $20°$。
② 由 $AB = AC$, $D$ 为 $BC$ 的中点可得 $∠ ABC = ∠ ACB$, $AD$ 垂直平分 $BC$。$\therefore BF = CF$。$\therefore ∠ FBC = ∠ FCB$。$\therefore ∠ ABF = ∠ ACF$。又 $\because AE = AB$，$\therefore ∠ AEB = ∠ ABE$。$\therefore ∠ AEB = ∠ ACF$。
③ $\because ∠ AEB = ∠ ACF$, $∠ AGE = ∠ CGF$，$\therefore ∠ CFE = ∠ CAE = 90°$。$\because CE^2 = AC^2 + AE^2 = 2AB^2 = 18$，$\therefore EF^2 + BF^2 = EF^2 + CF^2 = CE^2 = 18$。
(3) ① 解: $\because ∠ ACB = 90°$，$\therefore ∠ ACM + ∠ BCN = 90°$。$\because ∠ AMC = ∠ BNC = 90°$，$\therefore ∠ CAM + ∠ ACM = 90°$。$\therefore ∠ CAM = ∠ BCN$。$\because AC = BC$，$\therefore △ ACM ≌ △ CBN (\mathrm{AAS})$。$\therefore AM = CN, BN = CM$。$\therefore MN = CM + CN = AM + BN$。
② 仿照(1), 先证 $△ ACM ≌ △ CBN$, 可得 $AM = CN, BN = CM$。$\therefore MN = CN - CM = AM - BN$。