2. 如图，已知PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是直径，∠BAC=35°，则∠P的度数为。

$\boldsymbol{70°}$

【分析】
解题时可按以下步骤思考：第一步，根据切线的性质，切线与过切点的半径垂直，可得PA⊥AC，据此结合已知的∠BAC的度数求出∠PAB的度数；第二步，根据切线长定理可知PA=PB，即△PAB为等腰三角形，可得∠PAB=∠PBA；第三步，利用三角形内角和为180°，即可求出∠P的度数。
【解析】
解：
∵PA是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，
∴PA⊥AC，即∠PAC=90°，
∵∠BAC=35°，
∴∠PAB=∠PAC - ∠BAC = 90° - 35° = 55°，
又
∵PA、PB都是⊙O的切线，A、B为切点，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=55°，
在△PAB中，∠P=180° - ∠PAB - ∠PBA = 180° - 55° - 55° = 70°。
【答案】
$\boldsymbol{70°}$
【知识点】
切线的性质、切线长定理、三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的切线相关的基础计算题，核心是熟练运用切线的性质和切线长定理，结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可求解，是圆章节的常见考点。
【难度系数】
0.8

3. 如图，在$△ OAB$中，以点O为圆心，OA为半径作$\odot O$，作$OC⊥ OB$交$\odot O$于点C，垂足为O，连接AC交OB于点D，$AB=BD$。
（1）判断AB与$\odot O$的位置关系，并证明你的结论；
（2）若$OA=2$，$∠ DAB=70°$，则$\overset{\frown}{AC}$的长是（结果保留$π$）。

$\boldsymbol{\frac{14π}{9}}$

【分析】
（1）判断直线与圆的位置关系，若直线经过圆上一点，只需证明直线与过该点的半径垂直即可。本题中OA是$\odot O$半径，故只需证明$OA⊥ AB$。可利用等腰三角形等边对等角、对顶角相等、直角三角形两锐角互余的性质，通过角的等量代换推导$∠ OAB=90°$。
（2）求弧长需要先确定弧对应的圆心角度数和圆的半径。本题已知半径$OA=2$，先结合等腰三角形性质和三角形内角和求出$∠ B$的度数，再在$Rt△ OAB$中求出$∠ AOB$的度数，结合$OC⊥ OB$可得圆心角$∠ AOC$的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
（1）AB与$\odot O$相切，证明如下：
∵ $OA=OC$（$\odot O$的半径相等），
∴ $∠ OAC=∠ OCA$。
∵ $OC⊥ OB$，
∴ $∠ COD=90°$，可得$∠ OCA+∠ ODC=90°$。
∵ $AB=BD$，
∴ $∠ BAD=∠ BDA$。
又
∵ $∠ BDA=∠ ODC$（对顶角相等），
∴ $∠ OAC+∠ BAD=∠ OCA+∠ ODC=90°$，即$∠ OAB=90°$，
∴ $OA⊥ AB$，又$OA$是$\odot O$的半径，故AB与$\odot O$相切。
（2）解：
∵ $AB=BD$，$∠ DAB=70°$，
∴ $∠ BDA=∠ DAB=70°$。
在$△ ABD$中，$∠ B=180°-∠ DAB-∠ BDA=180°-70°-70°=40°$。
由（1）知$∠ OAB=90°$，在$Rt△ OAB$中，$∠ AOB=90°-∠ B=90°-40°=50°$。
∵ $OC⊥ OB$，
∴ $∠ COB=90°$，
∴ $∠ AOC=∠ AOB+∠ COB=50°+90°=140°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入$n=140$，$r=OA=2$：
$\overset{\frown}{AC}$的长$=\frac{140π×2}{180}=\frac{14π}{9}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{14π}{9}}$
【知识点】
切线的判定；弧长的计算；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，涉及的知识点都是几何部分的核心内容，解题的关键是理清角之间的等量关系，熟练运用切线判定方法和弧长公式，能够有效考查学生的逻辑推理能力和基本公式的应用能力。
【难度系数】
0.65

如图，$\odot O$ 是 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的内切圆，$∠ C=90°$，$AC=3$，$AB=5$，则 $∠ AOB$ 的大小是，$\odot O$ 的半径是。

解析 因为 $∠ C=90°$，
所以 $∠ CAB+∠ CBA=90°$。
因为 $\odot O$ 是 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的内切圆，
所以 $∠ OAB=\dfrac{1}{2}∠ CAB$，$∠ OBA=\dfrac{1}{2}∠ CBA$。
所以 $∠ OAB+∠ OBA=\dfrac{1}{2}×90°=45°$。
所以 $∠ AOB=180°-(∠ OAB+∠ OBA)=180°-45°=135°$。
如图，设 $AB$，$AC$，$BC$ 与 $\odot O$ 的切点分别为 $F$，$D$，$E$，连接 $OD$，$OE$。

因为 $∠ C=90°$，$AC=3$，$AB=5$，
所以 $BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=4$。
因为 $\odot O$ 为 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的内切圆，
所以 $BF=BE$，$AD=AF$，$CD=CE$。
设 $CE=CD=x$。
则 $AD=AF=3-x$，
$BF=BE=4-x$。
因为 $AB=AF+BF=5$，
所以 $3-x+4-x=5$。所以 $x=1$。
所以 $CE=CD=1$。
因为 $OD⊥ AC$，$OE⊥ BC$，
所以 $∠ OEC=∠ C=∠ ODC=90°$。
所以四边形 $OECD$ 是矩形。
所以 $OE=CD=1$。
所以 $\odot O$ 的半径长为 $1$。
答案 $135°$ $1$

135° 1

【分析】
本题分为两小问求解，解题思路如下：
1. 求∠AOB的度数：首先明确三角形内切圆的圆心是三个内角角平分线的交点，因此OA、OB分别平分∠CAB、∠CBA；再结合直角三角形两锐角和为90°，可求出∠OAB与∠OBA的和，最后利用三角形内角和定理即可算出∠AOB的度数。
2. 求内切圆半径：首先用勾股定理求出BC的长度；再根据切线长定理，设内切圆半径为r，用含r的式子表示出AF、BF的长度，结合AF+BF=AB列方程求解即可。
【解析】
首先计算∠AOB的度数：
∵ $∠ C=90°$，
∴ $∠ CAB + ∠ CBA = 180° - ∠ C = 90°$，
∵ $\odot O$是$\mathrm{Rt}△ABC$的内切圆，
∴ OA平分$∠ CAB$，OB平分$∠ CBA$，即$∠ OAB=\frac{1}{2}∠ CAB$，$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ CBA$，
∴ $∠ OAB + ∠ OBA = \frac{1}{2}(∠ CAB + ∠ CBA) = \frac{1}{2}×90° = 45°$，
在$△ AOB$中，$∠ AOB = 180° - (∠ OAB + ∠ OBA) = 180° - 45° = 135°$。
接下来计算$\odot O$的半径：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
设$AB$、$AC$、$BC$与$\odot O$的切点分别为$F$、$D$、$E$，连接$OD$、$OE$，
根据切线的性质，$OD⊥ AC$，$OE⊥ BC$，又$∠ C=90°$，因此四边形$ODCE$是矩形，
又$\because OD=OE$（都是圆的半径），$\therefore$矩形$ODCE$是正方形，即$CD=CE=r$（$r$为内切圆半径）。
根据切线长定理：$AD=AF=AC - CD = 3 - r$，$BE=BF=BC - CE = 4 - r$，
$\because AF + BF = AB = 5$，
$\therefore (3 - r) + (4 - r) = 5$，
解得$r=1$，即$\odot O$的半径是1。
【答案】
$135°$；$1$
【知识点】
三角形内切圆性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，核心考查内切圆的性质和切线长定理的应用，解题时熟练运用角平分线性质、直角三角形的相关性质，理清线段或角度之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8