4. 如图，若$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$∠ A=54°$，则$∠ BOC$的度数是。

4. 117°

【分析】
首先明确⊙O是△ABC的内切圆，可知点O是△ABC的内心，而内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此OB平分∠ABC，OC平分∠ACB。解题时先根据三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的度数和，再推导∠OBC与∠OCB的度数和，最后在△BOC中再次利用三角形内角和定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ A=54°$，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-54°=126°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×126°=63°$。
在△BOC中，再次利用三角形内角和定理：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-63°=117°$。
【答案】
$117°$
【知识点】
三角形内心的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础角度计算题，解题的核心是牢记三角形内心是角平分线交点的性质，结合内角和定理逐步推导即可，掌握该类题型的推导逻辑后很容易得分。
【难度系数】
0.8

5. 如图，已知$△ ABC$.
（1）尺规作图：求作$△ ABC$的内切圆$\odot O$（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，且$AB＝5\ \mathrm{cm}$，$BC＝7\ \mathrm{cm}$，$CA＝6\ \mathrm{cm}$，求$AF$的长.

解（1）如图，$\odot O$即为所求。
（2）因为$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，
所以$AE=AF$，$BF=BD$，$CD=CE$。
因为$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BC=7\ \mathrm{cm}$，$CA=6\ \mathrm{cm}$，
所以$BF=BD=(5-AF)\ \mathrm{cm}$。
所以$CD=CE=[7-(5-AF)]=(2+AF)\ \mathrm{cm}$。
所以$AE=AF=[6-(2+AF)]=(4-AF)\ \mathrm{cm}$。
解得$AF=2\ \mathrm{cm}$。

【分析】
（1）作三角形内切圆需先确定圆心和半径：三角形内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线交点（即内心），半径是内心到三角形任意一边的垂线段长度。因此只需作出△ABC任意两个内角的角平分线，交点即为圆心O，过O作任意一边的垂线段，以O为圆心、该垂线段长为半径画圆即可得到所求内切圆。
（2）求AF的长度可利用切线长定理解题：从圆外一点引圆的两条切线，两条切线长相等。由此可得AF=AE、BF=BD、CD=CE，我们可以设AF的长为未知数，将其余切线段用含未知数的式子表示，再结合AC的边长列方程求解即可。
【解析】
（1）按上述方法作图，得到的⊙O即为所求，作图痕迹如下：
（2）
∵△ABC的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，
∴根据切线长定理可得$AE=AF$，$BF=BD$，$CD=CE$。
设$AF=x\ \mathrm{cm}$，则$AE=x\ \mathrm{cm}$，
$BF=AB-AF=(5-x)\ \mathrm{cm}$，因此$BD=BF=(5-x)\ \mathrm{cm}$，
$CD=BC-BD=7-(5-x)=(2+x)\ \mathrm{cm}$，因此$CE=CD=(2+x)\ \mathrm{cm}$，
又
∵$AC=AE+CE=6\ \mathrm{cm}$，
代入得$x+(2+x)=6$，
解得$x=2$，即$AF=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
（1）$\odot O$即为所求，作图如下：
（2）$AF$的长为$2\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1. 三角形内切圆作图
2. 切线长定理
3. 方程法求线段长
【点评】
本题分为作图和计算两部分，作图部分考查对三角形内心定义的掌握，计算部分结合切线长定理，通过方程思想求解线段长度，属于圆的基础应用题型，需要熟练掌握切线长定理的运用方法。
【难度系数】
0.7