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知识点 生活中的优化问题
现实生活中我们经常会遇到距离最短、角度最大、用料最省、成本最小、利润最大等问题. 从数学角度看，它们均涉及数量的大小，这类求最大（小）值的问题常常被称为优化问题.
例 某快递公司在甲站和乙站之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站）. 一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个. 在整个行程中，快递货车装载的货包最多有几个？
解 设这辆快递货车从甲站到乙站的各服务驿站出发时，车上装载的货包数量分别为$y_1$，$y_2$，$···$，$y_{29}$.
由题意，得当快递货车停靠在第$n$（$n=1$，$2$，$···$，$29$）个服务驿站时，需要卸下前面（$n-1$）个服务驿站发往该站的货包，共（$n-1$）个；装上该站发往后面（$29-n$）个服务驿站的货包，共（$29-n$）个.
所以 $y_1=29-1$，$y_2=(29-1)+(29-2)-1=2×(29-2)$，$y_3=2×(29-2)+(29-3)-2=3×(29-3)$，$···$. 所以 $y_n=n(29-n)=-n^2+29n=-(n-14.5)^2+210.25$. 所以当$n=14$或$n=15$时，即$y_{14}$或$y_{15}$最大，$y_{14}=y_{15}=210$.
所以快递货车装载的货包最多有210个.
—解题要点
根据题意，先分析题目中的等量关系，从中找出规律，建立货包数关于站点序号的函数解析式，再根据二次函数最值的求法，求出货包数最多的站. 本题是规律型探究问题，考查了二次函数的性质在实际问题中的应用.
现实生活中我们经常会遇到距离最短、角度最大、用料最省、成本最小、利润最大等问题. 从数学角度看，它们均涉及数量的大小，这类求最大（小）值的问题常常被称为优化问题.
例 某快递公司在甲站和乙站之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站）. 一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个. 在整个行程中，快递货车装载的货包最多有几个？
解 设这辆快递货车从甲站到乙站的各服务驿站出发时，车上装载的货包数量分别为$y_1$，$y_2$，$···$，$y_{29}$.
由题意，得当快递货车停靠在第$n$（$n=1$，$2$，$···$，$29$）个服务驿站时，需要卸下前面（$n-1$）个服务驿站发往该站的货包，共（$n-1$）个；装上该站发往后面（$29-n$）个服务驿站的货包，共（$29-n$）个.
所以 $y_1=29-1$，$y_2=(29-1)+(29-2)-1=2×(29-2)$，$y_3=2×(29-2)+(29-3)-2=3×(29-3)$，$···$. 所以 $y_n=n(29-n)=-n^2+29n=-(n-14.5)^2+210.25$. 所以当$n=14$或$n=15$时，即$y_{14}$或$y_{15}$最大，$y_{14}=y_{15}=210$.
所以快递货车装载的货包最多有210个.
—解题要点
根据题意，先分析题目中的等量关系，从中找出规律，建立货包数关于站点序号的函数解析式，再根据二次函数最值的求法，求出货包数最多的站. 本题是规律型探究问题，考查了二次函数的性质在实际问题中的应用.
答案
解 设这辆快递货车从甲站到乙站的各服务驿站出发时，车上装载的货包数量分别为$y_1$，$y_2$，$···$，$y_{29}$.
由题意，得当快递货车停靠在第$n$（$n=1$，$2$，$···$，$29$）个服务驿站时，需要卸下前面（$n-1$）个服务驿站发往该站的货包，共（$n-1$）个；装上该站发往后面（$29-n$）个服务驿站的货包，共（$29-n$）个.
所以 $y_1=29-1$，$y_2=(29-1)+(29-2)-1=2×(29-2)$，$y_3=2×(29-2)+(29-3)-2=3×(29-3)$，$···$. 所以 $y_n=n(29-n)=-n^2+29n=-(n-14.5)^2+210.25$. 所以当$n=14$或$n=15$时，即$y_{14}$或$y_{15}$最大，$y_{14}=y_{15}=210$.
所以快递货车装载的货包最多有210个.
—解题要点
根据题意，先分析题目中的等量关系，从中找出规律，建立货包数关于站点序号的函数解析式，再根据二次函数最值的求法，求出货包数最多的站. 本题是规律型探究问题，考查了二次函数的性质在实际问题中的应用.
由题意，得当快递货车停靠在第$n$（$n=1$，$2$，$···$，$29$）个服务驿站时，需要卸下前面（$n-1$）个服务驿站发往该站的货包，共（$n-1$）个；装上该站发往后面（$29-n$）个服务驿站的货包，共（$29-n$）个.
所以 $y_1=29-1$，$y_2=(29-1)+(29-2)-1=2×(29-2)$，$y_3=2×(29-2)+(29-3)-2=3×(29-3)$，$···$. 所以 $y_n=n(29-n)=-n^2+29n=-(n-14.5)^2+210.25$. 所以当$n=14$或$n=15$时，即$y_{14}$或$y_{15}$最大，$y_{14}=y_{15}=210$.
所以快递货车装载的货包最多有210个.
—解题要点
根据题意，先分析题目中的等量关系，从中找出规律，建立货包数关于站点序号的函数解析式，再根据二次函数最值的求法，求出货包数最多的站. 本题是规律型探究问题，考查了二次函数的性质在实际问题中的应用.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确快递货车在每个站点的装卸货规律：到达第n个站时，要卸下前面n-1个站发往本站的共n-1个货包，同时装上本站发往后面29-n个站的共29-n个货包。我们可以先计算前几个站出发时的货包数量，从中归纳出第n个站出发时货包数量的表达式，发现其为关于n的二次函数，再结合二次函数求最值的方法，同时考虑n为正整数的限制，就能求出货包的最大数量。
【解析】
设这辆快递货车从甲站到乙站的各服务驿站出发时，车上装载的货包数量分别为$y_1$，$y_2$，$···$，$y_{29}$。
由题意，得当快递货车停靠在第$n$（$n=1$，$2$，$···$，$29$）个服务驿站时，需要卸下前面（$n-1$）个服务驿站发往该站的货包，共（$n-1$）个；装上该站发往后面（$29-n$）个服务驿站的货包，共（$29-n$）个。
所以 $y_1=29-1$，$y_2=(29-1)+(29-2)-1=2×(29-2)$，$y_3=2×(29-2)+(29-3)-2=3×(29-3)$，$···$。
所以 $y_n=n(29-n)=-n^2+29n=-(n-14.5)^2+210.25$。
因为n为正整数，所以当$n=14$或$n=15$时，$y_n$取得最大值，$y_{14}=y_{15}=210$。
【答案】
快递货车装载的货包最多有210个。
【知识点】
二次函数最值，规律探究，实际问题建模
【点评】
本题是结合生活场景的优化探究题，解题核心是先梳理站点装卸货的数量关系，归纳得到货包数量和站点序号的函数关系，再利用二次函数性质求解最值，解题时要注意自变量为正整数，需结合实际意义取整得到最终结果。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先需明确快递货车在每个站点的装卸货规律：到达第n个站时，要卸下前面n-1个站发往本站的共n-1个货包，同时装上本站发往后面29-n个站的共29-n个货包。我们可以先计算前几个站出发时的货包数量，从中归纳出第n个站出发时货包数量的表达式，发现其为关于n的二次函数，再结合二次函数求最值的方法，同时考虑n为正整数的限制，就能求出货包的最大数量。
【解析】
设这辆快递货车从甲站到乙站的各服务驿站出发时，车上装载的货包数量分别为$y_1$，$y_2$，$···$，$y_{29}$。
由题意，得当快递货车停靠在第$n$（$n=1$，$2$，$···$，$29$）个服务驿站时，需要卸下前面（$n-1$）个服务驿站发往该站的货包，共（$n-1$）个；装上该站发往后面（$29-n$）个服务驿站的货包，共（$29-n$）个。
所以 $y_1=29-1$，$y_2=(29-1)+(29-2)-1=2×(29-2)$，$y_3=2×(29-2)+(29-3)-2=3×(29-3)$，$···$。
所以 $y_n=n(29-n)=-n^2+29n=-(n-14.5)^2+210.25$。
因为n为正整数，所以当$n=14$或$n=15$时，$y_n$取得最大值，$y_{14}=y_{15}=210$。
【答案】
快递货车装载的货包最多有210个。
【知识点】
二次函数最值，规律探究，实际问题建模
【点评】
本题是结合生活场景的优化探究题，解题核心是先梳理站点装卸货的数量关系，归纳得到货包数量和站点序号的函数关系，再利用二次函数性质求解最值，解题时要注意自变量为正整数，需结合实际意义取整得到最终结果。
【难度系数】
0.5
