9 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1,0)，(0,−3)，点C在x轴上，且点C在点A右侧，连结AB，BC.若$\tan∠ ABC=\dfrac{1}{3}$，则点C的坐标为.

9. $(\frac{9}{4},0)$ 解析: 因为$A(1,0)$，$B(0,-3)$，所以$OA=1$，$OB=3$，$\tan∠ABO=\frac{OA}{OB}=\frac{1}{3}$。因为$\tan∠ABC=\frac{1}{3}$，所以$∠ABO=∠ABC$。如图，过点A作$AD⊥BC$于点D。因为$AO⊥BO$，$AD⊥BC$，BA是$∠OBC$的平分线，所以$AD=AO=1$。因为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·OB=\frac{1}{2}BC·AD$，所以$AC·OB=BC·AD$。设$C(m,0)$，则$AC=m-1$，$BC=\sqrt{3^2+m^2}$。所以$(m-1)×3=\sqrt{3^2+m^2}×1$。因为点C在点A右侧，所以$m＞0$。所以$m=\frac{9}{4}$。所以点C的坐标为$(\frac{9}{4},0)$。

10 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ BAC=30°$，$BC=1$.求：
(1) $AB$与$AC$的长；
(2) $\tan 15°$的值.

10. (1) 因为$∠C=90°$，$∠BAC=30°$，$BC=1$，所以$AB=2$。由勾股定理，得$AC=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$ (2) 如图，将$Rt△ABC$沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，则$DE=DC$，$∠EAD=∠CAD=15°$，$AE=AC=\sqrt{3}$，$∠AED=∠C=90°$。所以$BE=2-\sqrt{3}$，$∠BED=90°$。设$DE=DC=x$，则$BD=1-x$。在$Rt△BED$中，由勾股定理，得$BD^2=BE^2+DE^2$，即$(1-x)^2=(2-\sqrt{3})^2+x^2$，解得$x=2\sqrt{3}-3$。所以$\tan15°=\tan∠EAD=\frac{DE}{AE}=\frac{2\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$。

11 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC:AB=5:13$，则$\tan A$的值为 （）

A.$\dfrac{12}{13}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$\dfrac{5}{12}$
D.$\dfrac{13}{5}$

11. B

12 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$\cos A=\frac{2}{3}$，则$\tan B$的值是（）

A.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{3}$

12. A

13 在Rt△ABC中，AC：BC=1：2，则sinB=

13. $\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{1}{2}$

14 如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，$CD ⊥ AB$ 于点 $D$.若 $BD:AD = 1:3$，求 $\cos ∠ BCD$ 的值.

14. 因为$∠ACB=90°$，$CD⊥AB$，所以$∠BDC=∠CDA=90°$，$∠BCD+∠ACD=90°$，$∠ACD+∠A=90°$。所以$∠BCD=∠A$。所以$△BCD∽△CAD$。所以$\frac{BD}{CD}=\frac{CD}{AD}$。设$BD=k$，则$AD=3k$。所以$CD^2=BD·AD=3k^2$。所以$CD=\sqrt{3}k$。在$Rt△BCD$中，$BD=k$，$CD=\sqrt{3}k$，所以$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=2k$。所以$\cos∠BCD=\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{3}k}{2k}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

15 如图，$△ ABC$ 是等边三角形，点 $D,E$ 在边 $BC$ 上. 若 $∠ DAE=30°$，$\tan ∠ CAE=\dfrac{1}{3}$，求 $\dfrac{CD}{BC}$ 的值.

15. 过点A作$AF⊥BC$，垂足为F。因为$△ABC$是等边三角形，所以$∠BAC=60°$，$AC=BC$，$BF=CF$，$∠BAF=∠CAF=30°$。又因为$∠DAE=30°$，所以$∠DAE-∠EAF=∠CAF-∠EAF$，即$∠DAF=∠CAE$。所以$\tan∠DAF=\tan∠CAE=\frac{1}{3}$。设$△ABC$的边长为$a$，则$AC=BC=a$，$BF=CF=\frac{a}{2}$，所以$AF=\sqrt{AC^2-CF^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。在$Rt△ADF$中，$\tan∠DAF=\frac{DF}{AF}=\frac{1}{3}$，即$\frac{DF}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}=\frac{1}{3}$，所以$DF=\frac{\sqrt{3}}{6}a$。所以$CD=CF+DF=\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}a=\frac{3+\sqrt{3}}{6}a$。所以$\frac{CD}{BC}=\frac{3+\sqrt{3}}{6}$