8. (2025·江苏盐城期末)如图,在$△ ABC$中,D是BC的中点,E是AD上一点,$BE=AC$.若$∠ACB=70°,∠DAC=50°$,则$∠EBD$的度数是________°.

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9. (2025·江苏盐城期中)如图,在$△ ABC$中,D为边BC上一点,$BD=BA$,EF垂直平分AC,交AC于点E,交BC于点F,连接AF,AD.当$∠B=30°,∠BAF=90°$时,$∠DAC$的度数为$\_\_\_\_\_\_°$.

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10. 新素养 推理能力 如图, 在$△ ABC$中, $AC=BC, ∠ ACB=90°$, 将$△ ABC$绕点$C$按逆时针方向旋转$α(0°＜α＜90°)$, 得到$△ A_1B_1C$, 连接$BB_1$, 设$CB_1$交$AB$于点$D$,$A_1B_1$分别交$AB,AC$于$E,F$两点.
(1) 求证: $△ CBD ≌ △ CA_1F$;
(2) 试用含$α$的代数式表示$∠ B_1BD$;
(3) 当$α$等于多少度时,$△ BB_1D$是等腰三角形?

​$(1)$​证明：∵​$AC = BC，$​∴​$∠A=∠ABC$​由旋转的性质，得​$∠A_{1}=∠A，$​​$A_{1}C = AC，$​​$∠ACA_{1}=∠B_{1}CB=α$​∴​$∠A_{1}=∠ABC，$​​$A_{1}C = BC$​在​$\triangle CBD$​和​$\triangle CA_{1}F $​中​$\begin {cases}∠CBD=∠A_{1}\\BC = A_{1}C\\∠BCD=∠A_{1}CF\end {cases}$​∴​$\triangle CBD≌\triangle CA_{1}F(\mathrm {ASA})$​解：​$(2)$​由题意得​$\triangle ABC$​是等腰直角三角形∴​$∠BAC=∠ABC = 45°$​由旋转的性质，得​$BC = B_{1}C，$​​$∠BCB_{1}=α$​则​$∠CB_{1}B=∠CBB_{1}$​又​$∠BCB_{1}+∠CB_{1}B+∠CBB_{1}=180°$​∴​$∠CB_{1}B=∠CBB_{1}=\frac 12(180°-∠BCB_{1}) $​​$= 90°-\frac {α}2$​∴​$∠B_{1}BD=∠CBB_{1}-∠ABC = 45°-\frac {α}2$​​$(3)$​由​$(2)$​得​$∠CB_{1}B = 90°-\frac {α}2，$​​$∠B_{1}BD = 45°-\frac {α}2，$​​$∠BCB_{1}=α，$​​$∠ABC = 45°$​∴​$∠CB_{1}B＞∠B_{1}BD，$​即​$BD\neq B_{1}D$​又​$∠BDB_{1}=∠BCB_{1}+∠ABC$​∴​$∠BDB_{1}=45°+α$​又​$0°＜α＜90°，$​∴​$∠BDB_{1}＞∠B_{1}BD，$​即​$BB_{1}\neq B_{1}D$​又​$\triangle BB_{1}D$​是等腰三角形，∴​$BD = BB_{1}$​∴​$∠BDB_{1}=∠BB_{1}D，$​即​$45°+α= 90°-\frac {α}2$​解得​$α= 30°$​则当​$α= 30°$​时，​$\triangle BB_{1}D$​是等腰三角形

11. 新素养 应用意识 定义:顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫作对顶三角形.
（1）如图①，$△ OAB$与$△ OCD$是对顶三角形，且$A,O,C$三点共线，请判断$AB$与$CD$之间的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，$△ OAB$与$△ OCD$是对顶三角形，$∠ AOB = ∠ COD = 90°$，连接$AC,BD$，试探究线段$AC,BD$之间的关系，并说明理由；
（3）如图③，$△ OAB$与$△ OCD$是对顶三角形，$∠ AOB = ∠ COD = 90°$，连接$AD,BC$，取$AD$的中点$E$，连接$EO$并延长，交$BC$于点$F$，延长$OE$至点$G$，使$EG = OE$，连接$AG$.求证：$EF ⊥ BC$.

类题精讲

; 解：​$(1)AB//CD，$​理由如下：由题意得​$OA = OB，$​​$OC = OD，$​​$∠AOB=∠COD$​∴​$∠OAB=∠OBA，$​​$∠OCD=∠ODC$​又​$∠OAB+∠OBA+∠AOB = 180°，$​​$∠OCD+∠ODC+∠COD = 180°$​∴​$∠OCD=∠ODC=\frac 12(180°-∠COD)，$​​$∠OAB=∠OBA=\frac 12(180°-∠AOB)$​即​$∠OCD=∠OAB$​∵​$A，$​​$O，$​​$C$​三点共线，∴​$AB//CD$​​$(2)AC = BD，$​​$AC\perp BD，$​理由如下：设​$BD$​交​$AC$​于点​$M，$​交​$OC$​于点​$J$​由题意，得​$OA = OB，$​​$OC = OD$​∵​$∠AOB=∠COD = 90°$​∴​$∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，$​即​$∠AOC=∠BOD$​在​$\triangle AOC$​和​$\triangle BOD$​中​$\begin {cases}OA = OB\\∠AOC=∠BOD\\OC = OD\end {cases}$​∴​$\triangle AOC≌\triangle BOD(S AS)$​∴​$AC = BD，$​​$∠OCA=∠ODB$​∵​$∠DJO=∠CJM，$​​$∠CMJ+∠OCA+∠CJM = 180°$​​$∠COD+∠ODB+∠DJO = 180°$​∴​$∠CMJ=∠COD = 90°，$​即​$AC\perp BD$​​$(3)$​证明：由题意，得​$OA = OB，$​​$OC = OD$​∵​$E$​为​$AD$​的中点，∴​$AE = DE$​在​$\triangle AEG $​和​$\triangle DEO$​中​$\begin {cases}AE = DE\\∠AEG=∠DEO\\EG = EO\end {cases}$​∴​$\triangle AEG≌\triangle DEO(S AS)$​∴​$AG = DO，$​​$∠G=∠DOE，$​即​$AG//OD$​∴​$∠OAG+∠AOD = 180°$​∵​$∠COD=∠AOB = 90°，$​​$∠COD+∠AOB+∠AOD+∠BOC = 360°$​∴​$∠AOD+∠BOC = 360°-∠AOB-∠COD = 180°，$​即​$∠OAG=∠BOC$​∵​$OD = OC，$​∴​$AG = OC$​在​$\triangle G AO$​和​$\triangle COB$​中​$\begin {cases}AG = OC\\∠OAG=∠BOC\\AO = OB\end {cases}$​∴​$\triangle G AO≌\triangle COB(S AS)$​∴​$∠AOG=∠OBC$​∵​$∠AOG+∠BOF = 180°-∠AOB = 90°$​∴​$∠OBC+∠BOF = 90°$​又​$∠OF C=∠OBC+∠BOF$​∴​$∠OF C = 90°，$​即​$EF\perp BC$​