一、填空题
1. 在平面直角坐标系$xOy$内有一点$A(2,4)$，连接$OA$，则$OA$与$x$轴正半轴的夹角$α$的正弦值为________。

1. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

2. 如果等腰三角形三边之比为$3:3:4$,那么底角的正弦值为.

2. $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$D$在$AC$上.已知$∠ BDC=45°$,$BD=10\sqrt{2}$,$AB=20$,则$∠ ABD=$.

3. $15°$

4. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,D是AB的中点,过点D作AB的垂线,交AC的延长线于点E,$AC=12$,$\cos A=\dfrac{3}{5}$,则AE的长为.

4. $\dfrac{50}{3}$

5. 已知直线$ l_1 // l_2 // l_3 $，且相邻的两条平行直线间的距离均相等。将一块含$ 45° $角的三角尺按如图所示的方式放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则$ \cos α $的值是。

5. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

二、解答题
6. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，点D在BC的延长线上，且满足$∠ CAD = ∠ B$。
(1) 求证：AD是$\odot O$的切线；
(2) 若AC是$∠ BAD$的平分线，$\sin B = \dfrac{3}{5}$，$BC=4$，求$\odot O$的半径。

6. (1) 连接 $OA,OC,OC$ 与 $AB$ 相交于点 $E$.
$\because OA=OC,\therefore ∠ OAC = ∠ OCA. \because ∠ B = \dfrac{1}{2}∠ AOC$,
$∠ CAD = ∠ B, \therefore ∠ AOC = 2∠ CAD. \because ∠ OCA + ∠ CAO+ ∠ AOC = 180°, \therefore 2∠ CAO + 2∠ CAD = 180°.$
$\therefore ∠ CAO + ∠ CAD = 90°. \therefore ∠ OAD = 90°, 即 OA ⊥ AD. \because OA 是 \odot O 的半径, \therefore AD 是 \odot O 的切线$
(2) $\because AC 是 ∠ BAD 的平分线, \therefore ∠ BAC = ∠ DAC.$
$\because ∠ CAD= ∠ B, \therefore ∠ BAC = ∠ B. \therefore OC ⊥ AB, BE = AE. 在 Rt △ BEC 中, \because BC = 4, \sin B = \dfrac{CE}{BC} = \dfrac{3}{5},$
$\therefore CE=\dfrac{12}{5}. \therefore BE = \sqrt{BC^2 - CE^2} = \dfrac{16}{5}. 设 \odot O 的半径为 r, 则 OE = OC - CE = r - \dfrac{12}{5}. 在 Rt △ AOE 中, OA^2 = OE^2 + AE^2, r^2 = (r-\dfrac{12}{5})^2 + (\dfrac{16}{5})^2, 解得 r = \dfrac{10}{3}$