1.如图,已知线段 AB 和 CD 的公共部分 $BD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{4}CD$,线段 AB,CD 的中点 E,F 之间距离是 10cm,求 AB,CD 的长.

解:设 BD=xcm,则 AB=3xcm,CD=4xcm,所以 AC=AB+CD−BD=3x+4x−x=6x(cm).因为点 E,F 分别为 AB,CD 的中点,所以 AE=$\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}x$cm,CF=$\frac{1}{2}CD=2x$cm,所以 EF=AC−AE−CF=$6x-\frac{3}{2}x-2x=\frac{5}{2}x$(cm),因为 EF=10cm,所以$\frac{5}{2}x=10$.解得 x=4,所以 AB=12cm,CD=16cm.

2.已知线段$AB=12\mathrm{cm}$，点C是线段AB的中点，点D在直线AB上，且$AB=4BD$，则线段CD的长度为（）

A.6cm
B.3cm或6cm
C.6cm或9cm
D.3cm或9cm

D

3.已知线段$AB=12\mathrm{cm}$，直线$AB$上有一点$C$，且$BC=6\mathrm{cm}$，$M$是线段$AC$的中点，则线段$AM$的长为（）

A.9cm
B.3cm
C.9cm或3cm
D.9cm或15cm

C

4.(1)如图,点C在线段AB上,AC=8cm,CB=6cm,点M,N分别是AC,BC的中点.求线段MN的长;
(2)若C为线段AB上任意一点,满足AC+CB=a cm,其他条件不变,你能猜想出MN的长度吗?并说明理由;
(3)【变式】若C在线段AB的延长线上,且满足AC−CB=b cm,M,N分别为AC,BC的中点,你能猜想出MN的长度吗?请画出图形,写出你的结论,并说明理由.

(1)解:因为点 M、N 分别是 AC、BC 的中点,所以 MC=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$(cm),NC=$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$(cm),所以 MN=MC+NC=4+3=7(cm).
(2)MN=$\frac{1}{2}a$cm.理由如下:因为点 M,N 分别是 AC,BC 的中点,所以 MC=$\frac{1}{2}AC$,NC=$\frac{1}{2}BC$,所以 MN=MC+NC=$\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$cm.
(3)如图,因为点 M、N 分别是 AC,BC 的中点.所以 MC=$\frac{1}{2}AC$,NC=$\frac{1}{2}BC$,所以 MN=MC−NC=$\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}b$cm.