12.「2026山东烟台招远期末」若有理数$a≠1$，则我们把$\frac{1}{1-a}$称为$a$的差倒数。例如：2的差倒数是$\frac{1}{1-2}=-1$，-1的差倒数是$\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$。如果$a_1=\frac{1}{4}$，$a_2$是$a_1$的差倒数，$a_3$是$a_2$的差倒数，$a_4$是$a_3$的差倒数，……，以此类推，那么$a_1·a_2·…·a_{2026}$的值为（）

A.$-\frac{1}{4}$
B.$-1$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{3}$

因为$a_1=\frac{1}{4}$,
所以$a_2=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3},a_3=\frac{1}{1-\frac{4}{3}}=-3,a_4=\frac{1}{1-(-3)}=\frac{1}{4},\dots\dots$,
由此可见,这列数以$\frac{1}{4},\frac{4}{3},-3$循环出现.
因为$2\ 026÷3=675······1$,
所以$a_1· a_2· \dots · a_{2026}=[\frac{1}{4}×\frac{4}{3}×(-3)]^{675}×\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$.
故选A.

13.「2026山东淄博淄川期末」如图所示的图案均由长度相等的小棒按一定的规律拼搭而成，第1个图案需要7根小棒，第2个图案需要13根小棒，第3个图案需要18根小棒，……，依此规律摆放.

(1)第5个图案需要根小棒.
(2)第n(n大于或等于2，且n为整数)个图案需要小棒的根数为.(用含n的代数式表示)
(3)按上面的规律，第137个图案中有多少根小棒？

(1)由所给图形可知,
第1个图案需要的小棒根数为7,
第2个图案需要的小棒根数为$13=2×5+3$,
第3个图案需要的小棒根数为$18=3×5+3$,
第4个图案需要的小棒根数为$23=4×5+3$,
……
所以第$n$个图案需要的小棒根数为$5n+3$($n$大于或等于2,且$n$为整数).
当$n=5$时,$5n+3=5×5+3=28$,
即第5个图案需要的小棒根数为28.故答案为28.
(2)由(1)知,
第$n$($n$大于或等于2,且$n$为整数)个图案需要的小棒根数为$5n+3$.故答案为$5n+3$.
(3)由上述规律可知,
当$n=137$时,$5n+3=5×137+3=688$,
即第137个图案中有688根小棒.

14.「2026 山东青岛崂山期末」
(1)观察图形,猜想图⑤中共有个圆,其中有个“○”.

(2)根据(1)中的规律,第n个图中共有个圆,第100个图中共有个“○”.
(3)广场计划铺设如图所示的图案,由内而外分别为:第1层(中心)有1块白色瓷砖,第2层有8块灰色瓷砖,第3层有16块白色瓷砖,第4层有24块灰色瓷砖,……(依次白色灰色相间),若铺10层,总共需多少块瓷砖?其中有多少块白色瓷砖?

(1)第1个图中有$1^2=1$个圆;
第2个图中有$2^2=4$个圆;
第3个图中有$3^2=9$个圆;
第4个图中有$4^2=16$个圆;
第5个图中有$5^2=25$个圆.
“○”的个数,可以画图得出,
第5个图如下:

其中有15个“○”.故答案为25;15.
(2)根据(1)中的规律,第$n$个图中共有$n^2$个圆,第99个图与第100个图中“○”的个数相同,第99个图中的“○”共$1+2+\dots+99=\frac{99×(1+99)}{2}=4\ 950$个,
故答案为$n^2$;4 950.
(3)铺1层有1块瓷砖;
铺2层,共有$3×3=3^2=9$块瓷砖;
铺3层,共有$5×5=5^2=25$块瓷砖;
……
铺$n$层,共有$(2n-1)^2$块瓷砖,
$\therefore$ 铺10层共有$(2×10-1)^2=19^2=361$块瓷砖.
$\because$ 白色瓷砖只出现在奇数层(第1,3,5,7,9层),
第1层白色瓷砖有$1×1=1$块,
第3层白色瓷砖有$5^2-3^2=25-9=16$块,
第5层白色瓷砖有$9^2-7^2=81-49=32$块,
第7层白色瓷砖有$13^2-11^2=169-121=48$块,
第9层白色瓷砖有$17^2-15^2=289-225=64$块,
$\therefore$ 共有$1+16+32+48+64=161$块白色瓷砖.