5. 为了测量一条两岸平行的河流的宽度(跨河测量困难),三个数学小组开展了课题研究. 他们在河西岸的点B处,利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点B的正东方向,进而设计出了不同的测量方案,具体如表:
| 课题 | 测量河流宽度 |
| --- | --- |
| 工具 | 测量角度的仪器(仪器的高度忽略不计)、标杆、皮尺 |
| 小组 | 第一小组 | 第二小组 | 第三小组 |
| 测量方案 | 如图①,从点B向正南方向走到点C,此时恰好测得$∠ ACB=45°$. | 如图②,观测者从点B向正北走到点C,使用测量角度的仪器测得$∠ BCD=∠ BCA=65°$,CD交AB的延长线于点D. | 如图③,从点B向正南方向走到点D,O是BD的中点,继续从点D沿垂直于BD的DE方向走,直到点A,O,E在同一条直线上. |
| 测量方案示意图 | ① | | ③ |
(1)由第一小组的方案可知,河流宽度AB的长度就是线段的长度.
(2)第二小组设计的测量方案,只要测出哪条线段的长度,就能推算出河流宽度AB的长度?请说明理由.
(3)第三小组在实际测量中,从点D走到点F处时发现前方有大石头挡路(如图④),他们商议后决定改变路线,向右转一个等于$2∠ AOB$的角度,继续前行至点H,满足点A,O,H在一条直线上且点H在BD的左侧. 他们认为只要测得DF和FH的长就可求出河流宽度AB的长度,你认为他们的方案是否可行. 如果可行,请给出证明;如果不可行,请说明理由.

(1)$BC$
(2)线段$BD$的长度就是河流宽度$AB$的长度. 理由如下:
由题意,$AB⊥ BC$,
$\therefore\quad ∠ ABC=∠ DBC=90°$.
在$△ ABC$和$△ DBC$中,
$\begin{cases}∠ ABC=∠ DBC=90°,\\BC=BC,\\∠ BCA=∠ BCD,\end{cases}$
$\therefore\quad △ ABC≌△ DBC(\mathrm{ASA})$.
$\therefore\quad AB=DB$.
$\therefore\quad$ 线段$BD$的长度就是河流宽度$AB$的长度.
(3)可行. 理由如下:
如图,延长$AH$交$DF$的延长线于点$E$.
$\because\quad O$是$BD$的中点,$AB⊥ BD,DE⊥ BD$,
$\therefore\quad OB=OD,∠ ABO=∠ EDO=90°$.
在$△ ABO$和$△ EDO$中,
$\begin{cases}∠ ABO=∠ EDO,\\OB=OD,\\∠ AOB=∠ EOD,\end{cases}$
$\therefore\quad △ ABO≌△ EDO(\mathrm{ASA})$.
$\therefore\quad AB=DE,∠ BAO=∠ E$.
设$∠ AOB=α$,则$∠ BAO=∠ E=90°-α$.
又$\because\quad ∠ EFH=2∠ AOB=2α$,
$\therefore\quad$ 在$△ EFH$中,$∠ FHE=180°-(∠ E+∠ EFH)=180°-(90°-α+2α)=90°-α$.
$\therefore\quad ∠ FHE=∠ E=90°-α$.
$\therefore\quad EF=FH$.
$\therefore\quad DE=DF+EF=DF+FH$.
$\therefore\quad AB=DF+FH$.
故第三小组的方案可行.