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1.下列方程是三元一次方程的是 （
A.$x + y - z = 1$
B.$4xy + 3z = 7$
C.$\frac{2}{x} + y - 7z = 0$
D.$6x + 4y - 3 = 0$
A
）A.$x + y - z = 1$
B.$4xy + 3z = 7$
C.$\frac{2}{x} + y - 7z = 0$
D.$6x + 4y - 3 = 0$
答案
1.A
解析
【分析】
解答本题首先要明确三元一次方程的判定标准，需同时满足三个条件：一是含有3个不同的未知数；二是所有含未知数的项的次数都为1；三是属于整式方程（分母中不含未知数）。解题时只需将每个选项依次对照这三个条件，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先明确三元一次方程的定义：含有3个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程。我们逐个分析选项：
选项A：含有x、y、z共3个未知数，每个含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，满足三元一次方程的全部要求；
选项B：含未知数的项4xy的次数是2（x的次数1加y的次数1），不符合“含未知数的项的次数为1”的要求，不是三元一次方程；
选项C：分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
选项D：仅含有x、y共2个未知数，是二元一次方程，不满足“3个未知数”的要求。
综上，只有A选项符合三元一次方程的定义。
【答案】
A
【知识点】
三元一次方程的定义；整式方程的识别；单项式次数的判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对三元一次方程定义的掌握，解题时要注意三个判定条件缺一不可，需逐一对每个选项的三个要素进行排查，避免因遗漏某一条件而出错。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要明确三元一次方程的判定标准，需同时满足三个条件：一是含有3个不同的未知数；二是所有含未知数的项的次数都为1；三是属于整式方程（分母中不含未知数）。解题时只需将每个选项依次对照这三个条件，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先明确三元一次方程的定义：含有3个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程。我们逐个分析选项：
选项A：含有x、y、z共3个未知数，每个含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，满足三元一次方程的全部要求；
选项B：含未知数的项4xy的次数是2（x的次数1加y的次数1），不符合“含未知数的项的次数为1”的要求，不是三元一次方程；
选项C：分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
选项D：仅含有x、y共2个未知数，是二元一次方程，不满足“3个未知数”的要求。
综上，只有A选项符合三元一次方程的定义。
【答案】
A
【知识点】
三元一次方程的定义；整式方程的识别；单项式次数的判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对三元一次方程定义的掌握，解题时要注意三个判定条件缺一不可，需逐一对每个选项的三个要素进行排查，避免因遗漏某一条件而出错。
【难度系数】
0.8
2.解方程组$\begin{cases}3x + z = 6, \\4x - y + 2z = 11, \\5x + 2y - 3z = 4\end{cases}$时，要使解法较为简便，应（ ）
A.先消去x
B.先消去y
C.先消去z
D.先消去常数
A.先消去x
B.先消去y
C.先消去z
D.先消去常数
答案
2.B
解析
【分析】
解三元一次方程组的核心思路是消元，先把三元转化为二元再求解，要选择最简便的消元方法，需先观察三个方程中各未知数的系数特点：如果某个未知数仅在两个方程中出现，或者系数存在明显的整数倍关系，先消去这个未知数计算量最小。观察本题的三个方程：第一个方程不含y，第二个方程y的系数为-1，第三个方程y的系数为2，刚好是整数倍，消去y的操作最简便，不需要复杂的乘除计算。
【解析】
我们将三个方程依次标记为：
①$3x + z = 6$
②$4x - y + 2z = 11$
③$5x + 2y - 3z = 4$
观察未知数系数特征：
若消去x或z，需要给多个方程乘不同系数凑公倍数，计算较繁琐；
若消去y：仅需将②×2，再和③相加，即可直接消去y，得到只含x、z的方程，再和①联立成二元一次方程组即可求解，步骤最少，计算最简便。
因此应先消去y。
【答案】
B
【知识点】
三元一次方程组解法，消元思想
【点评】
本题考查三元一次方程组的消元技巧，解题时优先观察未知数的系数特征，选择某个方程不含、或系数为±1、有整数倍关系的未知数先消去，能大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解三元一次方程组的核心思路是消元，先把三元转化为二元再求解，要选择最简便的消元方法，需先观察三个方程中各未知数的系数特点：如果某个未知数仅在两个方程中出现，或者系数存在明显的整数倍关系，先消去这个未知数计算量最小。观察本题的三个方程：第一个方程不含y，第二个方程y的系数为-1，第三个方程y的系数为2，刚好是整数倍，消去y的操作最简便，不需要复杂的乘除计算。
【解析】
我们将三个方程依次标记为：
①$3x + z = 6$
②$4x - y + 2z = 11$
③$5x + 2y - 3z = 4$
观察未知数系数特征：
若消去x或z，需要给多个方程乘不同系数凑公倍数，计算较繁琐；
若消去y：仅需将②×2，再和③相加，即可直接消去y，得到只含x、z的方程，再和①联立成二元一次方程组即可求解，步骤最少，计算最简便。
因此应先消去y。
【答案】
B
【知识点】
三元一次方程组解法，消元思想
【点评】
本题考查三元一次方程组的消元技巧，解题时优先观察未知数的系数特征，选择某个方程不含、或系数为±1、有整数倍关系的未知数先消去，能大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
3.若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+(a-1)y=6, \\4x+3y=14\end{cases}$的解中$x$与$y$的值相等，则$a$的值为 （ ）
A.$-4$
B.$4$
C.$2$
D.$1$
A.$-4$
B.$4$
C.$2$
D.$1$
答案
3.C
解析
【分析】
解题的突破口是题目给出的“x与y的值相等”这一关键条件。我们可以先将y=x代入不含参数a的方程4x+3y=14，求出x和y的具体数值，再把x、y的值代入含参数a的方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
解：
∵ 方程组的解中x与y的值相等，
∴ y = x，
将y=x代入方程$4x+3y=14$，得：
$4x + 3x = 14$，
合并同类项得$7x=14$，
解得$x=2$，
∴ $y = x = 2$，
把$x=2$，$y=2$代入方程$ax+(a-1)y=6$，得：
$2a + 2(a-1) = 6$，
去括号得$2a + 2a - 2 =6$，
移项、合并同类项得$4a=8$，
解得$a=2$。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解，代入消元法，解一元一次方程
【点评】
本题重点考察对二元一次方程组解的概念的理解和代入法的运用，解题核心是利用x=y的条件简化计算，先通过不含参数的方程求出未知数值，再代入含参数的方程求解参数，思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题的突破口是题目给出的“x与y的值相等”这一关键条件。我们可以先将y=x代入不含参数a的方程4x+3y=14，求出x和y的具体数值，再把x、y的值代入含参数a的方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
解：
∵ 方程组的解中x与y的值相等，
∴ y = x，
将y=x代入方程$4x+3y=14$，得：
$4x + 3x = 14$，
合并同类项得$7x=14$，
解得$x=2$，
∴ $y = x = 2$，
把$x=2$，$y=2$代入方程$ax+(a-1)y=6$，得：
$2a + 2(a-1) = 6$，
去括号得$2a + 2a - 2 =6$，
移项、合并同类项得$4a=8$，
解得$a=2$。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解，代入消元法，解一元一次方程
【点评】
本题重点考察对二元一次方程组解的概念的理解和代入法的运用，解题核心是利用x=y的条件简化计算，先通过不含参数的方程求出未知数值，再代入含参数的方程求解参数，思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
1.若$\begin{cases}x=-1, \\ y=2, \\ z=1\end{cases}$是关于$x,y,z$的方程$3x+2y+mz=0$的解，则$m=$ ______ 。
答案
1.$-1$
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。因此我们可以把题目给出的x、y、z的取值直接代入原方程，代入后原方程就会转化为只含有未知数m的一元一次方程，再按照一元一次方程的解法求出m的值即可。
【解析】
已知$\begin{cases}x=-1, \\ y=2, \\ z=1\end{cases}$是方程$3x+2y+mz=0$的解，将x、y、z的值代入方程可得：
$3×(-1)+2×2+m×1=0$
计算左边的常数项：
$-3 + 4 + m = 0$
化简得：
$1 + m = 0$
移项解得：
$m = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
三元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的概念的应用，只要掌握“方程的解代入原方程等式成立”这一要点，结合简单的一元一次方程求解即可得到结果。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：首先明确方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。因此我们可以把题目给出的x、y、z的取值直接代入原方程，代入后原方程就会转化为只含有未知数m的一元一次方程，再按照一元一次方程的解法求出m的值即可。
【解析】
已知$\begin{cases}x=-1, \\ y=2, \\ z=1\end{cases}$是方程$3x+2y+mz=0$的解，将x、y、z的值代入方程可得：
$3×(-1)+2×2+m×1=0$
计算左边的常数项：
$-3 + 4 + m = 0$
化简得：
$1 + m = 0$
移项解得：
$m = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
三元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的概念的应用，只要掌握“方程的解代入原方程等式成立”这一要点，结合简单的一元一次方程求解即可得到结果。
【难度系数】
0.9
2.学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2:3，三种球共41个.设篮球有x个，排球有y个，足球有z个，则列出的方程组是.
答案
2.$\begin{cases}x=2y-3,\\2y=3z,\\x+y+z=41\end{cases}$
解析
【分析】
解题时我们需要逐个匹配题目给出的三个等量关系，分别转化为对应的方程：①先找篮球和排球的数量关系，题目明确说篮球数比排球数的2倍少3个，直接把未知数代入就能得到第一个方程；②再处理足球和排球的比例关系，足球数:排球数=2:3，根据七年级学过的比例基本性质（两内项之积等于两外项之积），可以把比例式转化为整式方程；③最后根据三种球的总数量，把三个未知数相加等于总数量得到第三个方程，把三个方程联立就是所求方程组。
【解析】
1. 根据“篮球数比排球数的2倍少3个”，可得等量关系：篮球数=排球数×2 - 3，代入未知数得：$x=2y-3$；
2. 根据“足球数与排球数的比是2:3”，可得$z:y=2:3$，由比例的基本性质，内项积等于外项积，得：$2y=3z$；
3. 根据“三种球共41个”，可得三种球数量之和为41，即：$x+y+z=41$；
将上述三个方程联立，即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases}x=2y-3,\\2y=3z,\\x+y+z=41\end{cases}$
【知识点】
列三元一次方程组，比例的基本性质
【点评】
本题是方程组应用的基础题型，解题核心是准确提取题目中的等量关系，注意将比例式转化为整式方程时不要混淆内项和外项，避免列错方程。
【难度系数】
0.8
解题时我们需要逐个匹配题目给出的三个等量关系，分别转化为对应的方程：①先找篮球和排球的数量关系，题目明确说篮球数比排球数的2倍少3个，直接把未知数代入就能得到第一个方程；②再处理足球和排球的比例关系，足球数:排球数=2:3，根据七年级学过的比例基本性质（两内项之积等于两外项之积），可以把比例式转化为整式方程；③最后根据三种球的总数量，把三个未知数相加等于总数量得到第三个方程，把三个方程联立就是所求方程组。
【解析】
1. 根据“篮球数比排球数的2倍少3个”，可得等量关系：篮球数=排球数×2 - 3，代入未知数得：$x=2y-3$；
2. 根据“足球数与排球数的比是2:3”，可得$z:y=2:3$，由比例的基本性质，内项积等于外项积，得：$2y=3z$；
3. 根据“三种球共41个”，可得三种球数量之和为41，即：$x+y+z=41$；
将上述三个方程联立，即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases}x=2y-3,\\2y=3z,\\x+y+z=41\end{cases}$
【知识点】
列三元一次方程组，比例的基本性质
【点评】
本题是方程组应用的基础题型，解题核心是准确提取题目中的等量关系，注意将比例式转化为整式方程时不要混淆内项和外项，避免列错方程。
【难度系数】
0.8
3.解方程组$\begin{cases}3x + y = 11, & ① \\4x + 3y + z = 18, & ② \\x + y + z = 1, & ③\end{cases}$若用代入消元法解方程组，第一步应把________化为________，代入________中，消去________，组成二元一次方程组；如果用加减消元法解这个方程组，第一步应用________，消去________，与①组成二元一次方程组。
答案
3.① $y=11-3x$ ②③ $y$ ②$-$③ $z$
解析
【分析】
解三元一次方程组的核心思路是消元，先把三元转化为二元，再进一步求解。代入消元法的思考逻辑：首先观察三个方程，只有方程①不含未知数z，仅含x和y，因此优先变形这个方程，用其中一个未知数表示另一个，再代入剩余两个含z的方程，就能消去被表示的未知数，得到二元一次方程组。加减消元法的思考逻辑：因为方程①不含z，所以第一步优先消去z，让得到的新方程仅含x和y，即可和①组成二元一次方程组，观察②和③中z的系数都是1，直接作差就能消去z。
【解析】
1. 代入消元法第一步：选取仅含x、y的方程①，将其变形为用x表示y的形式，可得$y=11-3x$；将该式代入同时含y的方程②和③中，即可消去未知数y，得到只含x、z的二元一次方程组。
2. 加减消元法第一步：由于方程①不含z，因此先消去z，观察方程②和③中z的系数均为1，用②减去③，z项可直接抵消，得到仅含x、y的新方程，即可和①组成二元一次方程组。
【答案】
①；$y=11-3x$；②③；$y$；②$-$③；$z$
【知识点】
三元一次方程组的解法；代入消元法；加减消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组消元的基础逻辑，解题关键是明确消元目标，结合方程的特征选择合适的消元方式，逐步降低未知数的个数即可。
【难度系数】
0.8
解三元一次方程组的核心思路是消元，先把三元转化为二元，再进一步求解。代入消元法的思考逻辑：首先观察三个方程，只有方程①不含未知数z，仅含x和y，因此优先变形这个方程，用其中一个未知数表示另一个，再代入剩余两个含z的方程，就能消去被表示的未知数，得到二元一次方程组。加减消元法的思考逻辑：因为方程①不含z，所以第一步优先消去z，让得到的新方程仅含x和y，即可和①组成二元一次方程组，观察②和③中z的系数都是1，直接作差就能消去z。
【解析】
1. 代入消元法第一步：选取仅含x、y的方程①，将其变形为用x表示y的形式，可得$y=11-3x$；将该式代入同时含y的方程②和③中，即可消去未知数y，得到只含x、z的二元一次方程组。
2. 加减消元法第一步：由于方程①不含z，因此先消去z，观察方程②和③中z的系数均为1，用②减去③，z项可直接抵消，得到仅含x、y的新方程，即可和①组成二元一次方程组。
【答案】
①；$y=11-3x$；②③；$y$；②$-$③；$z$
【知识点】
三元一次方程组的解法；代入消元法；加减消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组消元的基础逻辑，解题关键是明确消元目标，结合方程的特征选择合适的消元方式，逐步降低未知数的个数即可。
【难度系数】
0.8
