登录
2.某商场出售茶壶和茶杯，茶壶每只15元，茶杯每只3元，商场规定买一只茶壶赠一只茶杯，某人共付款171元得茶壶、茶杯共36只（含赠品在内），其中茶壶
7
只，茶杯29
只.答案
2.7 29
解析
【分析】
本题是一元一次方程的实际应用类题目，解题时先找到两个核心等量关系：①茶壶数量+茶杯总数量（含赠品）=36只；②购买茶壶的费用+购买非赠送茶杯的费用=171元。我们可以设茶壶的数量为x只，根据“买1只茶壶赠1只茶杯”的规则，可知赠送的茶杯数量等于茶壶数量x只，进而表示出需要付费的茶杯数量，再代入费用等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设茶壶有x只，则赠送的茶杯有x只。
茶杯总数量为(36 - x)只，其中需要付费购买的茶杯数量为：(36 - x) - x = 36 - 2x（只）
根据总付款金额列方程：
$15x + 3(36 - 2x) = 171$
展开计算：
$15x + 108 - 6x = 171$
合并同类项：
$9x = 171 - 108$
$9x = 63$
解得：$x = 7$
则茶杯总数量为：$36 - 7 = 29$（只）
检验：7只茶壶费用为$7×15=105$元，赠送7只茶杯，需额外购买$29-7=22$只茶杯，费用为$22×3=66$元，总费用$105+66=171$元，符合题意。
【答案】
7；29
【知识点】
一元一次方程应用；购物方案问题
【点评】
本题解题的关键是理清付费商品的范围，不要误将赠送的茶杯计入付费部分，只要准确抓住总数量和总费用两个等量关系列方程，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题是一元一次方程的实际应用类题目，解题时先找到两个核心等量关系：①茶壶数量+茶杯总数量（含赠品）=36只；②购买茶壶的费用+购买非赠送茶杯的费用=171元。我们可以设茶壶的数量为x只，根据“买1只茶壶赠1只茶杯”的规则，可知赠送的茶杯数量等于茶壶数量x只，进而表示出需要付费的茶杯数量，再代入费用等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设茶壶有x只，则赠送的茶杯有x只。
茶杯总数量为(36 - x)只，其中需要付费购买的茶杯数量为：(36 - x) - x = 36 - 2x（只）
根据总付款金额列方程：
$15x + 3(36 - 2x) = 171$
展开计算：
$15x + 108 - 6x = 171$
合并同类项：
$9x = 171 - 108$
$9x = 63$
解得：$x = 7$
则茶杯总数量为：$36 - 7 = 29$（只）
检验：7只茶壶费用为$7×15=105$元，赠送7只茶杯，需额外购买$29-7=22$只茶杯，费用为$22×3=66$元，总费用$105+66=171$元，符合题意。
【答案】
7；29
【知识点】
一元一次方程应用；购物方案问题
【点评】
本题解题的关键是理清付费商品的范围，不要误将赠送的茶杯计入付费部分，只要准确抓住总数量和总费用两个等量关系列方程，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
3.一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这道题的意思是：
一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官有
一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官有
200
名，士兵有800
名。答案
3.200 800
解析
【分析】
这是一道典型的一元一次方程实际应用题，解题时首先要从题目中提取两个核心等量关系：一是军官和士兵的总人数为1000名，二是分出去的布总长度为1000尺。我们可以设军官人数为未知数，用总人数表示出士兵人数，再根据布的总长度建立方程求解即可。
【解析】
解：设军官有$x$名，则士兵有$(1000 - x)$名。
已知1名军官分4尺布，4名士兵分1尺布（即每名士兵分$\frac{1}{4}$尺布），根据布的总长度为1000尺，列方程：
$4x + \frac{1}{4}(1000 - x) = 1000$
方程两边同时乘4消去分母，得：
$16x + 1000 - x = 4000$
合并同类项：
$15x = 3000$
解得：$x = 200$
则士兵人数为：$1000 - 200 = 800$（名）
【答案】
200；800
【知识点】
一元一次方程的实际应用；等量关系构建
【点评】
本题属于古代数学中的分配类问题，解题核心是准确提取题干中的等量关系，合理设未知数列方程求解，计算过程中注意消分母时不要漏乘常数项即可。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的一元一次方程实际应用题，解题时首先要从题目中提取两个核心等量关系：一是军官和士兵的总人数为1000名，二是分出去的布总长度为1000尺。我们可以设军官人数为未知数，用总人数表示出士兵人数，再根据布的总长度建立方程求解即可。
【解析】
解：设军官有$x$名，则士兵有$(1000 - x)$名。
已知1名军官分4尺布，4名士兵分1尺布（即每名士兵分$\frac{1}{4}$尺布），根据布的总长度为1000尺，列方程：
$4x + \frac{1}{4}(1000 - x) = 1000$
方程两边同时乘4消去分母，得：
$16x + 1000 - x = 4000$
合并同类项：
$15x = 3000$
解得：$x = 200$
则士兵人数为：$1000 - 200 = 800$（名）
【答案】
200；800
【知识点】
一元一次方程的实际应用；等量关系构建
【点评】
本题属于古代数学中的分配类问题，解题核心是准确提取题干中的等量关系，合理设未知数列方程求解，计算过程中注意消分母时不要漏乘常数项即可。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1.某校准备组织七年级340名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105名；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110名（每辆车都坐满）。
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金8000元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金。
1.某校准备组织七年级340名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105名；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110名（每辆车都坐满）。
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金8000元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金。
答案
1.(1)每辆小客车能坐20名学生,每辆大客车能坐45名学生.
(2)最省钱的方案是租用8辆小客车,4辆大客车,租金为64 000元.
(2)最省钱的方案是租用8辆小客车,4辆大客车,租金为64 000元.
解析
【分析】
（1）第一问属于二元一次方程组的实际应用问题，可分别设每辆小客车、大客车的载客量为未知数，根据题干给出的两种载客情况的等量关系列方程组，求解即可得到两种车型的载客量。
（2）第二问为最优方案选择问题，结合“每辆车都坐满”的限定条件，根据总人数列关于租车数量的二元一次方程，求出所有符合要求的非负整数解，再分别计算各方案的租金，对比选出租金最少的方案即可。
【解析】
（1）设每辆小客车能坐$x$名学生，每辆大客车能坐$y$名学生。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x + y = 105 \\x + 2y = 110\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得：$6x + 2y = 210$，用该式减去第二个方程：
$6x + 2y - (x + 2y) = 210 - 110$，化简得$5x=100$，解得$x=20$。
把$x=20$代入$3x + y =105$，得$3×20 + y =105$，解得$y=45$。
（2）设租用小客车$m$辆，大客车$n$辆，根据总人数340名且每辆车坐满，可得：
$20m + 45n = 340$，两边同时除以5化简得$4m + 9n = 68$，其中$m、n$均为非负整数。
对$n$有序取值验证：
当$n=0$时，$4m=68$，解得$m=17$，租金为$17×4000=68000$元；
当$n=1、2、3、5、6、7$时，$m$均不为整数，不符合要求，舍去；
当$n=4$时，$4m=68-36=32$，解得$m=8$，租金为$8×4000 + 4×8000=64000$元；
当$n≥8$时，$9n≥72＞68$，不符合要求。
对比可得64000元＜68000元，因此租用8辆小客车、4辆大客车最省钱。
【答案】
(1)每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生；
(2)最省钱的方案是租用8辆小客车，4辆大客车，最少租金为64000元。
【知识点】
二元一次方程组应用，最优方案选择，整数解求解
【点评】
本题结合实际租车场景命题，既考查了利用方程组转化实际等量关系的能力，也要求在求解整数解时做到有序枚举、不重不漏，解题时需注意题干“每辆车都坐满”的限定条件，避免出现不符合要求的方案。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于二元一次方程组的实际应用问题，可分别设每辆小客车、大客车的载客量为未知数，根据题干给出的两种载客情况的等量关系列方程组，求解即可得到两种车型的载客量。
（2）第二问为最优方案选择问题，结合“每辆车都坐满”的限定条件，根据总人数列关于租车数量的二元一次方程，求出所有符合要求的非负整数解，再分别计算各方案的租金，对比选出租金最少的方案即可。
【解析】
（1）设每辆小客车能坐$x$名学生，每辆大客车能坐$y$名学生。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x + y = 105 \\x + 2y = 110\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得：$6x + 2y = 210$，用该式减去第二个方程：
$6x + 2y - (x + 2y) = 210 - 110$，化简得$5x=100$，解得$x=20$。
把$x=20$代入$3x + y =105$，得$3×20 + y =105$，解得$y=45$。
（2）设租用小客车$m$辆，大客车$n$辆，根据总人数340名且每辆车坐满，可得：
$20m + 45n = 340$，两边同时除以5化简得$4m + 9n = 68$，其中$m、n$均为非负整数。
对$n$有序取值验证：
当$n=0$时，$4m=68$，解得$m=17$，租金为$17×4000=68000$元；
当$n=1、2、3、5、6、7$时，$m$均不为整数，不符合要求，舍去；
当$n=4$时，$4m=68-36=32$，解得$m=8$，租金为$8×4000 + 4×8000=64000$元；
当$n≥8$时，$9n≥72＞68$，不符合要求。
对比可得64000元＜68000元，因此租用8辆小客车、4辆大客车最省钱。
【答案】
(1)每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生；
(2)最省钱的方案是租用8辆小客车，4辆大客车，最少租金为64000元。
【知识点】
二元一次方程组应用，最优方案选择，整数解求解
【点评】
本题结合实际租车场景命题，既考查了利用方程组转化实际等量关系的能力，也要求在求解整数解时做到有序枚举、不重不漏，解题时需注意题干“每辆车都坐满”的限定条件，避免出现不符合要求的方案。
【难度系数】
0.7
2.用1块A型钢板可制成2块C型钢板、3块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板、4块D型钢板.某工厂现需14块C型钢板、36块D型钢板，可恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？
答案
2.用A型钢板4块,B型钢板6块.
解析
【分析】
本题存在两个未知量：所需A型钢板的数量、B型钢板的数量，适合用二元一次方程组求解。首先明确数量关系：1块A型钢板产2块C型、3块D型钢板，1块B型钢板产1块C型、4块D型钢板。可得两个等量关系：①A型钢板产出的C型钢板总数+B型钢板产出的C型钢板总数=14；②A型钢板产出的D型钢板总数+B型钢板产出的D型钢板总数=36。根据等量关系设未知数列方程组求解即可。
【解析】
解：设恰好用A型钢板$x$块，B型钢板$y$块。
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases}2x + y = 14 \quad \mathrm{(1)} \\ 3x + 4y = 36 \quad \mathrm{(2)} \end{cases}$
由①得：$y = 14 - 2x$ ③
将③代入②得：
$3x + 4(14 - 2x) = 36$
$3x + 56 - 8x = 36$
$-5x = -20$
解得 $x = 4$
将$x=4$代入③得：$y = 14 - 2×4 = 6$
检验：当$x=4$、$y=6$时，产出C型钢板$2×4+6=14$块，产出D型钢板$3×4+4×6=36$块，符合题意。
【答案】
用A型钢板4块，B型钢板6块。
【知识点】
二元一次方程组的应用；代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题是实际应用类的基础题，解题核心是找准题目中的等量关系，正确列出方程组，求解后可代入原题验证结果是否满足需求，确保答案正确。
【难度系数】
0.7
本题存在两个未知量：所需A型钢板的数量、B型钢板的数量，适合用二元一次方程组求解。首先明确数量关系：1块A型钢板产2块C型、3块D型钢板，1块B型钢板产1块C型、4块D型钢板。可得两个等量关系：①A型钢板产出的C型钢板总数+B型钢板产出的C型钢板总数=14；②A型钢板产出的D型钢板总数+B型钢板产出的D型钢板总数=36。根据等量关系设未知数列方程组求解即可。
【解析】
解：设恰好用A型钢板$x$块，B型钢板$y$块。
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases}2x + y = 14 \quad \mathrm{(1)} \\ 3x + 4y = 36 \quad \mathrm{(2)} \end{cases}$
由①得：$y = 14 - 2x$ ③
将③代入②得：
$3x + 4(14 - 2x) = 36$
$3x + 56 - 8x = 36$
$-5x = -20$
解得 $x = 4$
将$x=4$代入③得：$y = 14 - 2×4 = 6$
检验：当$x=4$、$y=6$时，产出C型钢板$2×4+6=14$块，产出D型钢板$3×4+4×6=36$块，符合题意。
【答案】
用A型钢板4块，B型钢板6块。
【知识点】
二元一次方程组的应用；代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题是实际应用类的基础题，解题核心是找准题目中的等量关系，正确列出方程组，求解后可代入原题验证结果是否满足需求，确保答案正确。
【难度系数】
0.7
