1. 请阅读下面的解题过程,感受从特殊到一般的数学思想,类比推理解决以下问题.
例 化简:$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)$.
解:原式$=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)$
$=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)$
$=(2^4-1)(2^4+1)$
$=2^8-1$.
(1)填空:$· (b+a)=a^2-b^2$.
(2)化简:$(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)$.
(3)运用上面所学内容直接写出下面两题的答案.
①$(5-1)(5^2+1)(5^4+1)×···×(5^{128}+1)=$;
②若$m(m≠1),n$均为正整数,则$(m+1)(m^2+1)(m^4+1)·····(m^{2n}+1)=$.

1.(1) $(a-b)$
(2) $\frac{3^{32}-1}{2}$
(3) ①$\frac{5^{256}-1}{6}$ ②$\frac{m^{4n}-1}{m-1}$

2.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作,他在第二卷“几何与代数”中阐述了数与形是一家,即通过“以数解形”和“以形助数”,可以把代数公式与几何图形相互转化.

(1)观察图①,它所对应的公式为.(填写对应公式的序号)
①$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$;
②$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$;
③$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$.
(2)如图②,长、宽分别为$a,b$的长方形,它的周长为16,面积为6,求$(a+1)(b+1)$的值.
(3)将正方形$ABCD$与正方形$AEFG$按图③所示的方式摆放,当正方形$ABCD$与正方形$AEFG$的面积之和为40,$BE=4$时,求图中阴影部分的面积.

2.(1)①
(2)
∵ 长方形的周长为16,
∴ $2(a+b)=16$.
∴ $a+b=8$.
∵ 长方形的面积为6,
∴ $ab=6$.
∴ $(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=6+8+1=15$.
(3)设正方形$ABCD$与正方形$AEFG$的边长分别为$a,b$.
∵ 两个正方形的面积之和为40,$BE=4$,
∴ $a^2+b^2=40,a-b=4$.
∴ $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=16$.
∴ $ab=12$.
∴ $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=40+2×12=64$.
∴ $a+b=8$(负值已舍去).
∴ 阴影部分的面积为$a^2-\frac{1}{2}a(a-b)-\frac{1}{2}(a+b)b$
$=a^2-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^2$
$=\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b^2$
$=\frac{1}{2}(a-b)(a+b)$
$=\frac{1}{2}×4×8$
$=16$.