三、动手操作。
1. (1)在方格纸上画直线c，使直线c与直线a互相平行。
(2)在方格纸上画直线d，使直线d与直线b互相垂直。

(1) 画法不唯一：在方格纸上任选两个格点，两点横向相差2格、纵向相差2格，过这两个点向两端延长画出直线c，直线c与直线a互相平行。
(2) 画法不唯一：直线b为竖直方向，沿方格的水平格线任意画一条直线d，使直线d与直线b相交成直角，直线d与直线b互相垂直。

【分析】
做这道题我们可以结合平行和垂直的特征，借助方格纸的特点来思考：
（1）要画和直线a平行的直线，首先观察直线a的倾斜规律：数直线a两个端点的位置，从上端点到下端点，向右走了3格，同时向下也走了3格，说明它的倾斜程度是“右移几格就下移几格”。只要画的直线和a的倾斜程度完全一样，两条直线就互相平行，所以只需要找两个符合这个倾斜规律的格点，连线延长就能得到直线c。
（2）要画和直线b垂直的直线，首先看直线b是竖直方向的，我们知道竖直的线和水平的线相交会形成直角，也就是互相垂直，所以只要沿着方格的水平格线画一条和b相交的直线d即可。
【解析】
（1）①先观察直线a的走向，数它两端点的位置差，能发现它横向移动的格数和纵向移动的格数相等，倾斜方向为左上到右下。②在方格纸上任选一个格点作为第一个点，再向右数2格、向下数2格找到第二个格点（也可以选择其他横向差、纵向差相等的两个格点）。③过这两个点向两端延长画直线，得到的直线c就和直线a互相平行，画法不唯一。
（2）①先观察直线b的走向，它是沿着方格竖线的竖直直线。②任选一条水平方格线，沿着这条线画直线d，让直线d和直线b相交，此时两条线的夹角是直角，所以直线d和直线b互相垂直，水平格线可任意选择，画法不唯一。
【答案】
(1) 画法不唯一：在方格纸上任选两个格点，两点横向相差2格、纵向相差2格，过这两个点向两端延长画出直线c，直线c与直线a互相平行。
(2) 画法不唯一：直线b为竖直方向，沿方格的水平格线任意画一条直线d，使直线d与直线b相交成直角，直线d与直线b互相垂直。
【知识点】
1.平行的特征
2.垂直的特征
3.方格纸作图
【点评】
这道题属于基础操作类题目，通过观察已知直线的特点结合方格的规整性，就能快速画出符合要求的直线，需要注意平行和垂直的判断标准，画法多样，只要满足对应定义即为正确。
【难度系数】
0.8

2. 孟良崮(gù)战役时，战士们无桥渡河，32名妇女毅然用身体和门板搭起一座人桥，帮助战士们过河。

军部
(1)画出解放军从军部最快到达河岸崔家庄的行军路线，依据是。
(2)画出在崔家庄怎样搭桥才能最快通过汶河，依据是。

(1) 用直线段连接标注“军部”的点与标注“崔家庄”的点。
依据：两点之间的所有连线中，线段最短。
(2) 过崔家庄的点作垂直于汶河河岸、直达河对岸的垂直线段，沿这条垂线段搭桥。
依据：直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短。

【分析】
(1) 要找从军部到崔家庄的最快行军路线，本质是找两点之间的最短路径。我们已学过两点之间的所有连线中，线段是最短的，因此直接连接两个点对应的位置即可得到最短路线。
(2) 要找最快通过汶河的搭桥路线，本质是找崔家庄这个点到汶河对岸直线的最短路径。我们已学过直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短，因此过崔家庄的点向河岸作垂线段即可。
【解析】
(1) 拿出直尺，将直尺的边对齐“军部”的点和“崔家庄”的点，沿着直尺画连接这两个点的线段，这条线段就是最快的行军路线。
(2) 拿出三角板，将三角板的一条直角边与汶河靠近崔家庄的河岸线重合，平移三角板，让三角板的另一条直角边经过崔家庄的点，沿着这条直角边画线段，一直画到汶河的对岸河岸，这条垂直线段就是最短的搭桥路线。
【答案】
(1) 用直线段连接标注“军部”的点与标注“崔家庄”的点。依据：两点之间的所有连线中，线段最短。
(2) 过崔家庄的点作垂直于汶河河岸、直达河对岸的垂直线段，沿这条垂线段搭桥。依据：直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短。
【知识点】
两点之间线段最短；垂线段最短
【点评】
本题结合真实历史场景出题，将几何性质和实际应用结合，既考查了基础几何性质的掌握情况，也能让学生感受到数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.8

3. 战国时期的墨家代表著作《墨经》中有一句话:“平,同高也。”这句话描述了平行线的什么特点? 请用合适的方法说明这句话的意思。

特点：平行线之间的距离处处相等。
说明：在平行线a、b之间任意画出若干条同时垂直于两条直线的线段，测量这些线段的长度，所有垂直线段的长度都相等。
答：这句话描述了平行线间距离处处相等的特点，意思是互相平行的两条直线，任意位置的高度都相同，两条平行线之间的间距始终保持一致。

【分析】
首先理解古文的字面意思：“平”指的是互相平行的两条直线，就像题目中的直线a、b，“同高也”是说高度相同。我们可以通过实际操作验证这个描述对应的平行线特点：平行线的“高”就是两条平行线之间垂直的线段长度，我们在平行线的不同位置画出多条垂直线段，测量后发现这些线段长度都相等，就能对应“同高”的含义，找到描述的平行线特点。
【解析】
1. 解读古文对应特点：“平”指互相平行的两条直线，“同高也”对应的特点是平行线之间的距离处处相等。
2. 含义说明：我们可以借助工具验证：用三角板的直角边对齐平行线a，沿着另一条直角边画垂直于a的线段，这条线段也会垂直于b，测量它的长度；再在平行线的其他位置重复操作，画多条这样的垂直线段，测量后会发现所有垂直线段的长度都相等，这些垂线段的长度就是两条平行线的“高”，说明互相平行的两条直线任意位置的高度都相同，间距始终保持一致，就是“平，同高也”的意思。
【答案】
特点：平行线之间的距离处处相等。
说明：在平行线a、b之间任意画出若干条同时垂直于两条直线的线段，测量这些线段的长度，所有垂直线段的长度都相等。
答：这句话描述了平行线间距离处处相等的特点，意思是互相平行的两条直线，任意位置的高度都相同，两条平行线之间的间距始终保持一致。
【知识点】
平行线的特征、平行线间的距离
【点评】
本题结合我国古代数学著作的记载考查平行线的基础特征，将传统文化与数学知识融合，既考查了对平行线核心特点的掌握，也能让学生感受我国古代的数学智慧，考查形式灵活有趣。
【难度系数】
0.8

兰兰用尺子测量指示牌底部不同位置到地面的距离(如下图),以此检验是否钉正(钉正时指示牌底部与地面平行)。请你试着解释她这么做的原因。

答：两条互相平行的直线之间，所有垂直线段的长度都相等。如果测量出指示牌底部不同位置到地面的距离都相等，就说明指示牌底部和地面互相平行，指示牌钉正了；如果测量得到的距离不相等，就说明指示牌底部和地面不平行，指示牌没有钉正。

【分析】
要判断指示牌是否钉正，实际是判断指示牌底部与地面是否平行。我们可以把地面看作一条直线，指示牌底部看作另一条直线，根据学过的平行线相关性质，两条平行线之间所有垂直线段的长度都相等，所以只要测量指示牌底部不同位置到地面的垂直线段长度，判断这些长度是否相等，就能知道两条线是否平行，进而判断指示牌有没有钉正。
【解析】
首先回忆平行线的性质：两条互相平行的直线之间，所有的垂直线段长度都相等。我们将地面看作一条固定的直线，指示牌底部看作另一条待判断的直线：
如果多次测量指示牌底部不同位置到地面的距离都相等，就说明指示牌底部和地面这两条直线互相平行，即指示牌钉正了；如果测量得到的距离不相等，说明这两条直线不平行，也就是指示牌没有钉正。
【答案】
两条互相平行的直线之间，所有垂直线段的长度都相等。如果测量出指示牌底部不同位置到地面的距离都相等，就说明指示牌底部和地面互相平行，指示牌钉正了；如果测量得到的距离不相等，就说明指示牌底部和地面不平行，指示牌没有钉正。
【知识点】
平行线的性质、平行的判定
【点评】
本题结合生活中的实际场景考查平行线的相关知识，能够引导学生将课本知识灵活运用到生活中，既强化了对知识点的理解，也提升了学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.75