登录
三、解答题
11. 解不等式组$\begin{cases}2(x+1)≥3(1-x), \\ \dfrac{2x-1}{3}＜2-\dfrac{x}{2}.\end{cases}$ 写出它的整数解，并把它的解集表示在数轴上。
11. 解不等式组$\begin{cases}2(x+1)≥3(1-x), \\ \dfrac{2x-1}{3}＜2-\dfrac{x}{2}.\end{cases}$ 写出它的整数解，并把它的解集表示在数轴上。
答案
不等式组的解集为$\frac{1}{5}≤x＜2$
解集在数轴上表示为：
∴不等式组的整数解是1.
解析
【分析】
解一元一次不等式组需分三步思考：①先分别求解两个一元一次不等式，得到各自的解集，求解时遵循去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，注意不等号方向变化的规则；②找两个解集的公共部分，可借助“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”的口诀判断，公共部分就是不等式组的解集；③在解集范围内筛选整数解，再根据“实心点表示包含该点、空心圈表示不包含该点，大于向右、小于向左”的规则将解集表示在数轴上即可。
【解析】
解：先分别求解两个不等式：
1. 解不等式$2(x+1)≥3(1-x)$
去括号，得：$2x + 2 ≥ 3 - 3x$
移项，得：$2x + 3x ≥ 3 - 2$
合并同类项，得：$5x ≥ 1$
系数化为1，得：$x ≥ \frac{1}{5}$
2. 解不等式$\frac{2x-1}{3}＜2-\frac{x}{2}$
两边同乘6去分母，得：$2(2x - 1) ＜ 12 - 3x$
去括号，得：$4x - 2 ＜ 12 - 3x$
移项，得：$4x + 3x ＜ 12 + 2$
合并同类项，得：$7x ＜ 14$
系数化为1，得：$x ＜ 2$
两个不等式的解集的公共部分为$\frac{1}{5}≤x＜2$，即不等式组的解集为$\frac{1}{5}≤x＜2$。
在该解集范围内的整数只有1，即整数解为1。
解集在数轴上表示如下：
【答案】
不等式组的解集为$\frac{1}{5}≤x＜2$
解集在数轴上表示为：
∴不等式组的整数解是1.
【知识点】
解一元一次不等式；解一元一次不等式组；数轴表示不等式解集
【点评】
本题是不等式组的基础常规题型，核心考察一元一次不等式的求解步骤、不等式组解集的确定方法，以及数轴表示解集的规范，解题时需注意去分母不要漏乘常数项，数轴表示时要准确区分实心点和空心圈的使用场景。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组需分三步思考：①先分别求解两个一元一次不等式，得到各自的解集，求解时遵循去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，注意不等号方向变化的规则；②找两个解集的公共部分，可借助“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”的口诀判断，公共部分就是不等式组的解集；③在解集范围内筛选整数解，再根据“实心点表示包含该点、空心圈表示不包含该点，大于向右、小于向左”的规则将解集表示在数轴上即可。
【解析】
解：先分别求解两个不等式：
1. 解不等式$2(x+1)≥3(1-x)$
去括号，得：$2x + 2 ≥ 3 - 3x$
移项，得：$2x + 3x ≥ 3 - 2$
合并同类项，得：$5x ≥ 1$
系数化为1，得：$x ≥ \frac{1}{5}$
2. 解不等式$\frac{2x-1}{3}＜2-\frac{x}{2}$
两边同乘6去分母，得：$2(2x - 1) ＜ 12 - 3x$
去括号，得：$4x - 2 ＜ 12 - 3x$
移项，得：$4x + 3x ＜ 12 + 2$
合并同类项，得：$7x ＜ 14$
系数化为1，得：$x ＜ 2$
两个不等式的解集的公共部分为$\frac{1}{5}≤x＜2$，即不等式组的解集为$\frac{1}{5}≤x＜2$。
在该解集范围内的整数只有1，即整数解为1。
解集在数轴上表示如下：
【答案】
不等式组的解集为$\frac{1}{5}≤x＜2$
解集在数轴上表示为：
∴不等式组的整数解是1.
【知识点】
解一元一次不等式；解一元一次不等式组；数轴表示不等式解集
【点评】
本题是不等式组的基础常规题型，核心考察一元一次不等式的求解步骤、不等式组解集的确定方法，以及数轴表示解集的规范，解题时需注意去分母不要漏乘常数项，数轴表示时要准确区分实心点和空心圈的使用场景。
【难度系数】
0.8
12.在平面直角坐标系中,有一点$P(2x-1,3x)$.
(1)若点$P$在$x$轴上,求$x$的值;
(2)若$Q(5,8)$,且$PQ// y$轴,求出点$P$的坐标;
(3)若点$P$在第一象限,且到两坐标轴的距离之和为9,求点$P$的坐标.
(1)若点$P$在$x$轴上,求$x$的值;
(2)若$Q(5,8)$,且$PQ// y$轴,求出点$P$的坐标;
(3)若点$P$在第一象限,且到两坐标轴的距离之和为9,求点$P$的坐标.
答案
解:(1)由条件可知 3x=0，
∴x=0；
(2)由条件可知点 P 与点 Q 的横坐标相同，
∵P(2x−1,3x),Q(5,8)，
∴2x−1=5，
∴x=3，
∴3x=9，
∴P(5,9)；
(3)由条件可知 2x−1＞0,3x＞0，
∴点 P 到 x 轴的距离为 3x，点 P 到 y 轴的距离为 2x−1，
∵点 P 到两坐标轴的距离之和为 9，
∴3x+2x−1=9，
∴x=2，
∴2x−1=3,3x=6，
∴P(3,6).
∴x=0；
(2)由条件可知点 P 与点 Q 的横坐标相同，
∵P(2x−1,3x),Q(5,8)，
∴2x−1=5，
∴x=3，
∴3x=9，
∴P(5,9)；
(3)由条件可知 2x−1＞0,3x＞0，
∴点 P 到 x 轴的距离为 3x，点 P 到 y 轴的距离为 2x−1，
∵点 P 到两坐标轴的距离之和为 9，
∴3x+2x−1=9，
∴x=2，
∴2x−1=3,3x=6，
∴P(3,6).
解析
【分析】
(1) 解题时先回忆x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标均为0，因此点P在x轴上时，它的纵坐标3x=0，解这个一元一次方程即可得到x的值；
(2) 平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，已知PQ//y轴，说明点P和点Q的横坐标相同，因此令P的横坐标2x-1等于Q的横坐标5，解出x后代入P的坐标表达式即可得到P的坐标；
(3) 第一象限内的点横、纵坐标均为正数，点到x轴的距离等于纵坐标的数值，到y轴的距离等于横坐标的数值，已知距离之和为9，因此将横坐标与纵坐标相加等于9列方程，解出x后验证横纵坐标为正，即可得到P的坐标。
【解析】
(1) 若点P在x轴上，则点P的纵坐标为0，即：
$3x=0$
解得 $x=0$；
(2) 若$PQ// y$轴，则点P与点Q的横坐标相同，已知$P(2x-1,3x)$，$Q(5,8)$，因此：
$2x-1=5$
解得 $x=3$
则$3x=3×3=9$，即点P的坐标为$(5,9)$；
(3) 若点P在第一象限，则$2x-1＞0$，$3x＞0$，点P到x轴的距离为$3x$，到y轴的距离为$2x-1$，由距离之和为9可得：
$3x+(2x-1)=9$
整理得 $5x=10$
解得 $x=2$
则$2x-1=2×2-1=3$，$3x=3×2=6$，即点P的坐标为$(3,6)$。
【答案】
(1) $x=0$；(2) $P(5,9)$；(3) $P(3,6)$
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；平行于坐标轴的点的坐标规律；点到坐标轴的距离
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，属于基础题型，求解时需要结合不同位置点的坐标特点列一元一次方程，熟练掌握相关性质可为后续函数知识的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
(1) 解题时先回忆x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标均为0，因此点P在x轴上时，它的纵坐标3x=0，解这个一元一次方程即可得到x的值；
(2) 平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，已知PQ//y轴，说明点P和点Q的横坐标相同，因此令P的横坐标2x-1等于Q的横坐标5，解出x后代入P的坐标表达式即可得到P的坐标；
(3) 第一象限内的点横、纵坐标均为正数，点到x轴的距离等于纵坐标的数值，到y轴的距离等于横坐标的数值，已知距离之和为9，因此将横坐标与纵坐标相加等于9列方程，解出x后验证横纵坐标为正，即可得到P的坐标。
【解析】
(1) 若点P在x轴上，则点P的纵坐标为0，即：
$3x=0$
解得 $x=0$；
(2) 若$PQ// y$轴，则点P与点Q的横坐标相同，已知$P(2x-1,3x)$，$Q(5,8)$，因此：
$2x-1=5$
解得 $x=3$
则$3x=3×3=9$，即点P的坐标为$(5,9)$；
(3) 若点P在第一象限，则$2x-1＞0$，$3x＞0$，点P到x轴的距离为$3x$，到y轴的距离为$2x-1$，由距离之和为9可得：
$3x+(2x-1)=9$
整理得 $5x=10$
解得 $x=2$
则$2x-1=2×2-1=3$，$3x=3×2=6$，即点P的坐标为$(3,6)$。
【答案】
(1) $x=0$；(2) $P(5,9)$；(3) $P(3,6)$
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；平行于坐标轴的点的坐标规律；点到坐标轴的距离
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，属于基础题型，求解时需要结合不同位置点的坐标特点列一元一次方程，熟练掌握相关性质可为后续函数知识的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
13.高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间$ t \ \mathrm{s} $和下落高度$ h \ \mathrm{m} $近似满足公式$ t=\sqrt{\frac{h}{5}} $（不考虑阻力的影响）。
(1)求物体从20 m的高空落到地面的时间；
(2)小明说物体从80 m的高空落到地面的时间是(1)中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由；
(3)已知从高空坠落的物体所带能量(单位:J)$ =10× $物体质量$(\mathrm{kg})× $高度$(\mathrm{m})$。一个质量为0.05 kg的鸡蛋经过6 s落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？你能得到什么启示？(注:伤害无防护人体只需要65 J的能量)
(1)求物体从20 m的高空落到地面的时间；
(2)小明说物体从80 m的高空落到地面的时间是(1)中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由；
(3)已知从高空坠落的物体所带能量(单位:J)$ =10× $物体质量$(\mathrm{kg})× $高度$(\mathrm{m})$。一个质量为0.05 kg的鸡蛋经过6 s落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？你能得到什么启示？(注:伤害无防护人体只需要65 J的能量)
答案
解:(1)物体从 20 m 的高空落到地面的时间为
$\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2(\mathrm{s})$；
(2)正确.理由如下：
当 $h=80$ 时，$t=\sqrt{\frac{80}{5}}=\sqrt{16}=4$.
∵4=2×2,
∴他的说法正确；
(3)当 $t=6$ 时，易得 $h=180$，则鸡蛋在下落过程中产生的能量为 $10×0.05×180=90(\mathrm{J})$
启示:严禁高空抛物,一个鸡蛋都能砸伤人.
$\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2(\mathrm{s})$；
(2)正确.理由如下：
当 $h=80$ 时，$t=\sqrt{\frac{80}{5}}=\sqrt{16}=4$.
∵4=2×2,
∴他的说法正确；
(3)当 $t=6$ 时，易得 $h=180$，则鸡蛋在下落过程中产生的能量为 $10×0.05×180=90(\mathrm{J})$
启示:严禁高空抛物,一个鸡蛋都能砸伤人.
解析
【分析】
(1) 第一问已知下落高度h=20m，直接将h代入题目给出的时间公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，计算算术平方根即可得到对应的下落时间。
(2) 要判断小明的说法是否正确，先将h=80m代入时间公式算出对应下落时间，再和第(1)问的结果比较，验证是否为2倍关系即可得出结论。
(3) 第三问已知下落时间t=6s，先对时间公式变形求出对应下落高度h，再将h、鸡蛋质量代入能量计算公式算出能量，结合伤害无防护人体仅需65J的条件，就能得出相关启示。
【解析】
(1) 把$h=20$代入公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，得：
$t=\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2(\mathrm{s})$
(2) 小明的说法正确，理由如下：
把$h=80$代入公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，得：
$t=\sqrt{\frac{80}{5}}=\sqrt{16}=4(\mathrm{s})$
$\because 4=2×2$，即80m高空的下落时间是20m高空下落时间的2倍，$\therefore$小明的说法正确。
(3) 把$t=6$代入公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，两边平方得$36=\frac{h}{5}$，解得$h=180\ \mathrm{m}$
代入能量公式计算得：能量$=10×0.05×180=90(\mathrm{J})$
由于90J大于伤害无防护人体所需的65J，可知即使很小的物体从高空坠落也有很大危险性。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2\ \mathrm{s}}$；
(2) 正确，理由：80m高空下落时间为4s，恰好是20m下落时间2s的2倍；
(3) 产生的能量为$\boldsymbol{90\ \mathrm{J}}$，启示：高空抛物十分危险，要严禁高空抛物。
【知识点】
算术平方根的应用、代数式求值、公式变形
【点评】
本题结合高空抛物的现实场景命题，既考查了算术平方根计算、代数式代入求值的基础数学能力，又融入了安全教育内容，能帮助学生认识高空抛物的危害性，兼具实用性和教育意义。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问已知下落高度h=20m，直接将h代入题目给出的时间公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，计算算术平方根即可得到对应的下落时间。
(2) 要判断小明的说法是否正确，先将h=80m代入时间公式算出对应下落时间，再和第(1)问的结果比较，验证是否为2倍关系即可得出结论。
(3) 第三问已知下落时间t=6s，先对时间公式变形求出对应下落高度h，再将h、鸡蛋质量代入能量计算公式算出能量，结合伤害无防护人体仅需65J的条件，就能得出相关启示。
【解析】
(1) 把$h=20$代入公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，得：
$t=\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2(\mathrm{s})$
(2) 小明的说法正确，理由如下：
把$h=80$代入公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，得：
$t=\sqrt{\frac{80}{5}}=\sqrt{16}=4(\mathrm{s})$
$\because 4=2×2$，即80m高空的下落时间是20m高空下落时间的2倍，$\therefore$小明的说法正确。
(3) 把$t=6$代入公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，两边平方得$36=\frac{h}{5}$，解得$h=180\ \mathrm{m}$
代入能量公式计算得：能量$=10×0.05×180=90(\mathrm{J})$
由于90J大于伤害无防护人体所需的65J，可知即使很小的物体从高空坠落也有很大危险性。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2\ \mathrm{s}}$；
(2) 正确，理由：80m高空下落时间为4s，恰好是20m下落时间2s的2倍；
(3) 产生的能量为$\boldsymbol{90\ \mathrm{J}}$，启示：高空抛物十分危险，要严禁高空抛物。
【知识点】
算术平方根的应用、代数式求值、公式变形
【点评】
本题结合高空抛物的现实场景命题，既考查了算术平方根计算、代数式代入求值的基础数学能力，又融入了安全教育内容，能帮助学生认识高空抛物的危害性，兼具实用性和教育意义。
【难度系数】
0.8
14.【数学问题】解方程组$\begin{cases} x+y=2, \\5x-2(x+y)=6. \end{cases}$
【思路分析】小明观察后发现可以把$x+y$视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的。
(1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程；
(2)【迁移运用】请你按照小明的方法，
解方程组$\begin{cases} a+b=3, \\5a+3c=1, \\a+b+c=0. \end{cases}$
【思路分析】小明观察后发现可以把$x+y$视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的。
(1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程；
(2)【迁移运用】请你按照小明的方法，
解方程组$\begin{cases} a+b=3, \\5a+3c=1, \\a+b+c=0. \end{cases}$
答案
解:(1)按照小明的思路，完成解方程组的过程如下：
$\begin{cases} x+y=2,① \\5x−2(x+y)=6,② \end{cases}$
把①代入②，得 $5x−2×2=6$.
∴$x=2$，
把 $x=2$ 代入①得:$2+y=2$,
∴$y=0$，
∴ $\begin{cases} x=2, \\ y=0; \end{cases}$
(2)把①代入③得:$3+c=0$,
∴$c=−3$.
把 $c=−3$ 代入②得:$5a−9=1$,
∴$a=2$，
把 $a=2$ 代入①得:$2+b=3$,
∴$b=1$，
∴ $\begin{cases} a=2, \\ b=1, \\ c=−3. \end{cases}$
$\begin{cases} x+y=2,① \\5x−2(x+y)=6,② \end{cases}$
把①代入②，得 $5x−2×2=6$.
∴$x=2$，
把 $x=2$ 代入①得:$2+y=2$,
∴$y=0$，
∴ $\begin{cases} x=2, \\ y=0; \end{cases}$
(2)把①代入③得:$3+c=0$,
∴$c=−3$.
把 $c=−3$ 代入②得:$5a−9=1$,
∴$a=2$，
把 $a=2$ 代入①得:$2+b=3$,
∴$b=1$，
∴ $\begin{cases} a=2, \\ b=1, \\ c=−3. \end{cases}$
解析
【分析】
(1) 解第一个二元一次方程组时，观察到方程②中含有和方程①左边完全相同的代数式$x+y$，因此可以将$x+y$看作整体，把①中$x+y=2$直接代入②，消去$y$，得到只含$x$的一元一次方程，解出$x$的值后，再代入①求出$y$的值即可。
(2) 解第二个三元一次方程组时，同理观察到方程③中含有和方程①左边相同的代数式$a+b$，将①中$a+b=3$整体代入③，可直接求出$c$的值，再把$c$的值代入②求出$a$的值，最后把$a$的值代入①求出$b$的值即可，用整体代入法能避免常规消元的复杂计算。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases} x+y=2,① \\5x−2(x+y)=6,② \end{cases}$
把①代入②，得 $5x−2×2=6$，
解得 $x=2$，
把 $x=2$ 代入①得：$2+y=2$，
解得 $y=0$。
(2) 对于方程组$\begin{cases} a+b=3,① \\5a+3c=1,② \\a+b+c=0.③ \end{cases}$
把①代入③得：$3+c=0$，
解得 $c=-3$，
把 $c=-3$ 代入②得：$5a-9=1$，
解得 $a=2$，
把 $a=2$ 代入①得：$2+b=3$，
解得 $b=1$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=2 \\ y=0 \end{cases}$；(2) $\begin{cases} a=2 \\ b=1 \\ c=-3 \end{cases}$
【知识点】
整体代入消元法；解二元一次方程组；解三元一次方程组
【点评】
本题重点考查消元思想中的整体代入法，解题的关键是观察出方程组中存在的相同整体代数式，通过整体代入简化计算步骤，减少运算量，是解方程组时非常实用的一种技巧。
【难度系数】
0.75
(1) 解第一个二元一次方程组时，观察到方程②中含有和方程①左边完全相同的代数式$x+y$，因此可以将$x+y$看作整体，把①中$x+y=2$直接代入②，消去$y$，得到只含$x$的一元一次方程，解出$x$的值后，再代入①求出$y$的值即可。
(2) 解第二个三元一次方程组时，同理观察到方程③中含有和方程①左边相同的代数式$a+b$，将①中$a+b=3$整体代入③，可直接求出$c$的值，再把$c$的值代入②求出$a$的值，最后把$a$的值代入①求出$b$的值即可，用整体代入法能避免常规消元的复杂计算。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases} x+y=2,① \\5x−2(x+y)=6,② \end{cases}$
把①代入②，得 $5x−2×2=6$，
解得 $x=2$，
把 $x=2$ 代入①得：$2+y=2$，
解得 $y=0$。
(2) 对于方程组$\begin{cases} a+b=3,① \\5a+3c=1,② \\a+b+c=0.③ \end{cases}$
把①代入③得：$3+c=0$，
解得 $c=-3$，
把 $c=-3$ 代入②得：$5a-9=1$，
解得 $a=2$，
把 $a=2$ 代入①得：$2+b=3$，
解得 $b=1$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=2 \\ y=0 \end{cases}$；(2) $\begin{cases} a=2 \\ b=1 \\ c=-3 \end{cases}$
【知识点】
整体代入消元法；解二元一次方程组；解三元一次方程组
【点评】
本题重点考查消元思想中的整体代入法，解题的关键是观察出方程组中存在的相同整体代数式，通过整体代入简化计算步骤，减少运算量，是解方程组时非常实用的一种技巧。
【难度系数】
0.75
