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10.关于分式$\frac{x+1}{x-2}$的判断，下列说法中，正确的是（
A.当$x=2$时，分式的值为零
B.当$x=-1$时，分式无意义
C.当$x≠2$时，分式有意义
D.无论$x$为何值，分式的值总为负数
C
）A.当$x=2$时，分式的值为零
B.当$x=-1$时，分式无意义
C.当$x≠2$时，分式有意义
D.无论$x$为何值，分式的值总为负数
答案
10.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先我们需要明确分式的相关判定规则：①分式有意义的条件是分母不为0；②分式无意义的条件是分母为0；③分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0。接下来我们结合这三个规则逐一分析每个选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：当$x=2$时，分母$x-2=0$，此时分式无意义，不可能值为0，故A错误；
B选项：当$x=-1$时，分母$x-2=-1-2=-3≠0$，分式有意义，此时分子$x+1=0$，分式值为0，故B错误；
C选项：分式有意义要求分母不为0，即$x-2≠0$，解得$x≠2$，故C正确；
D选项：举反例，当$x=3$时，分式的值为$\frac{3+1}{3-2}=4＞0$，是正数，并非总为负数，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为零的条件
【点评】
本题考查分式的基础概念，解题时要特别注意，讨论分式的值是否为0的前提是分式有意义（即分母不为0），不要遗漏这个限制条件。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先我们需要明确分式的相关判定规则：①分式有意义的条件是分母不为0；②分式无意义的条件是分母为0；③分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0。接下来我们结合这三个规则逐一分析每个选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：当$x=2$时，分母$x-2=0$，此时分式无意义，不可能值为0，故A错误；
B选项：当$x=-1$时，分母$x-2=-1-2=-3≠0$，分式有意义，此时分子$x+1=0$，分式值为0，故B错误；
C选项：分式有意义要求分母不为0，即$x-2≠0$，解得$x≠2$，故C正确；
D选项：举反例，当$x=3$时，分式的值为$\frac{3+1}{3-2}=4＞0$，是正数，并非总为负数，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为零的条件
【点评】
本题考查分式的基础概念，解题时要特别注意，讨论分式的值是否为0的前提是分式有意义（即分母不为0），不要遗漏这个限制条件。
【难度系数】
0.8
11.【新情境·生活情境】将$x$克含糖$10\%$的糖水与$y$克含糖$30\%$的糖水混合，混合后的糖水含糖（
A.$20\%$
B.$\frac{x+y}{2}×100\%$
C.$\frac{x+3y}{20}×100\%$
D.$\frac{x+3y}{10x+10y}×100\%$
D
）A.$20\%$
B.$\frac{x+y}{2}×100\%$
C.$\frac{x+3y}{20}×100\%$
D.$\frac{x+3y}{10x+10y}×100\%$
答案
11.D
解析
【分析】
要解决混合糖水的含糖量问题，首先回忆浓度计算公式：浓度=溶质质量÷溶液总质量×100%。解题思路为：第一步分别计算两种糖水中糖的质量，求和得到混合后糖的总质量；第二步计算混合后糖水的总质量；第三步将总糖质量和总糖水质量代入浓度公式，化简后对比选项即可得到答案。
【解析】
首先计算两种糖水中糖的质量：
含糖10%的$x$克糖水中，糖的质量为$10\%x=0.1x$克；
含糖30%的$y$克糖水中，糖的质量为$30\%y=0.3y$克；
混合后糖的总质量为$0.1x+0.3y$克，混合后糖水的总质量为$(x+y)$克。
根据浓度公式，混合后糖水的含糖量为：
$\frac{0.1x+0.3y}{x+y} × 100\%$
将分子分母同时乘10化简得：
$\frac{x+3y}{10x+10y} × 100\%$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
浓度计算，列代数式，分式化简
【点评】
本题结合生活中糖水混合的实际情境，考查基础公式的应用和代数式化简能力，解题的核心是准确把握混合前后溶质、溶液的总质量不变，不要误将两种糖水的浓度直接求平均。
【难度系数】
0.7
要解决混合糖水的含糖量问题，首先回忆浓度计算公式：浓度=溶质质量÷溶液总质量×100%。解题思路为：第一步分别计算两种糖水中糖的质量，求和得到混合后糖的总质量；第二步计算混合后糖水的总质量；第三步将总糖质量和总糖水质量代入浓度公式，化简后对比选项即可得到答案。
【解析】
首先计算两种糖水中糖的质量：
含糖10%的$x$克糖水中，糖的质量为$10\%x=0.1x$克；
含糖30%的$y$克糖水中，糖的质量为$30\%y=0.3y$克；
混合后糖的总质量为$0.1x+0.3y$克，混合后糖水的总质量为$(x+y)$克。
根据浓度公式，混合后糖水的含糖量为：
$\frac{0.1x+0.3y}{x+y} × 100\%$
将分子分母同时乘10化简得：
$\frac{x+3y}{10x+10y} × 100\%$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
浓度计算，列代数式，分式化简
【点评】
本题结合生活中糖水混合的实际情境，考查基础公式的应用和代数式化简能力，解题的核心是准确把握混合前后溶质、溶液的总质量不变，不要误将两种糖水的浓度直接求平均。
【难度系数】
0.7
12.(2024·沈阳月考)已知分式$\frac{x+a}{2x-b}$(其中$a,b$为常数)满足表格中的信息：
$m$ 的值为
$m$ 的值为
3
.答案
12.3
解析
【分析】
解题思路可分三步：①根据分式无意义的条件（分母为0），代入x=0.5求出b的值；②根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0），代入x=-2求出a的值，确定分式的表达式；③根据x=m时分式值为1列方程求解m，最后检验分母不为0即可。
【解析】
1. 求b的值：
当x=0.5时分式无意义，此时分母为0，即：
$2×0.5 - b = 0$，解得$b=1$。
2. 求a的值：
当x=-2时分式值为0，此时分子为0且分母不为0，代入分子得：
$-2 + a = 0$，解得$a=2$。
验证分母：$2×(-2)-1=-5≠0$，符合要求，因此分式为$\frac{x+2}{2x-1}$。
3. 求m的值：
当x=m时分式值为1，列方程：
$\frac{m+2}{2m-1}=1$
方程两边同乘$2m-1$（$2m-1≠0$）得：$m+2=2m-1$
移项计算得：$m=3$。
检验：当$m=3$时，分母$2×3-1=5≠0$，解成立。
【答案】
3
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为零的条件；解分式方程
【点评】
本题是分式基础性质的综合应用题，核心是牢记分式无意义、值为0的判断规则，解分式方程后切记要检验分母不为零，排除增根。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步：①根据分式无意义的条件（分母为0），代入x=0.5求出b的值；②根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0），代入x=-2求出a的值，确定分式的表达式；③根据x=m时分式值为1列方程求解m，最后检验分母不为0即可。
【解析】
1. 求b的值：
当x=0.5时分式无意义，此时分母为0，即：
$2×0.5 - b = 0$，解得$b=1$。
2. 求a的值：
当x=-2时分式值为0，此时分子为0且分母不为0，代入分子得：
$-2 + a = 0$，解得$a=2$。
验证分母：$2×(-2)-1=-5≠0$，符合要求，因此分式为$\frac{x+2}{2x-1}$。
3. 求m的值：
当x=m时分式值为1，列方程：
$\frac{m+2}{2m-1}=1$
方程两边同乘$2m-1$（$2m-1≠0$）得：$m+2=2m-1$
移项计算得：$m=3$。
检验：当$m=3$时，分母$2×3-1=5≠0$，解成立。
【答案】
3
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为零的条件；解分式方程
【点评】
本题是分式基础性质的综合应用题，核心是牢记分式无意义、值为0的判断规则，解分式方程后切记要检验分母不为零，排除增根。
【难度系数】
0.7
13.【新考法·开放题】有一个分式，三名同学分别说出了它的一些特点.甲:分式的值不可能为0；乙:分式有意义时，x的取值范围是$x≠±1$；丙:当$x=-2$时，分式的值为1.请你写出满足上述全部特点的一个分式：
$\frac{3}{x^2-1}$
.答案
13.答案不唯一，如$\frac{3}{x^2-1}$
解析
【分析】
要构造满足三个条件的分式，可分别结合三个特点逐一确定分子、分母的形式：①先根据乙给出的分式有意义的x的取值范围，确定分母的形式：分式有意义时分母不为0，x≠±1说明分母等于0时的解为x=±1，因此分母可设为$x^2-1$；②再根据甲的描述，分式的值不可能为0，说明分子永远不等于0，为了简便可将分子设为非零常数；③最后根据丙给出的x=-2时分式值为1，代入计算出常数的数值，即可得到符合要求的分式，也可构造其他满足条件的分子，答案不唯一。
【解析】
步骤1：根据“分式有意义时x的取值范围是$x≠±1$”，可知分母为0时$x=1$或$x=-1$，因此可设分母为$x^2-1$（$x^2-1=0$的解恰好为$x=±1$，符合要求）；
步骤2：根据“分式的值不可能为0”，可知分子不能为等于0的整式，因此设分子为非零常数$a$（$a≠0$），此时分子恒不为0，满足值不可能为0的要求；
步骤3：根据“当$x=-2$时，分式的值为1”，将$x=-2$代入$\frac{a}{x^2-1}$得：
$\frac{a}{(-2)^2-1}=1$
计算分母：$(-2)^2-1=4-1=3$，即$\frac{a}{3}=1$，解得$a=3$；
因此满足条件的一个分式可为$\frac{3}{x^2-1}$，也可构造其他符合条件的分式，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$\frac{3}{x^2-1}$
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为零的条件；求分式的值
【点评】
本题为开放型题目，需要结合分式的相关性质逆向推导构造分式，考查对分式核心概念的综合运用能力，只要同时满足三个给定条件即可，答案不唯一。
【难度系数】
0.7
要构造满足三个条件的分式，可分别结合三个特点逐一确定分子、分母的形式：①先根据乙给出的分式有意义的x的取值范围，确定分母的形式：分式有意义时分母不为0，x≠±1说明分母等于0时的解为x=±1，因此分母可设为$x^2-1$；②再根据甲的描述，分式的值不可能为0，说明分子永远不等于0，为了简便可将分子设为非零常数；③最后根据丙给出的x=-2时分式值为1，代入计算出常数的数值，即可得到符合要求的分式，也可构造其他满足条件的分子，答案不唯一。
【解析】
步骤1：根据“分式有意义时x的取值范围是$x≠±1$”，可知分母为0时$x=1$或$x=-1$，因此可设分母为$x^2-1$（$x^2-1=0$的解恰好为$x=±1$，符合要求）；
步骤2：根据“分式的值不可能为0”，可知分子不能为等于0的整式，因此设分子为非零常数$a$（$a≠0$），此时分子恒不为0，满足值不可能为0的要求；
步骤3：根据“当$x=-2$时，分式的值为1”，将$x=-2$代入$\frac{a}{x^2-1}$得：
$\frac{a}{(-2)^2-1}=1$
计算分母：$(-2)^2-1=4-1=3$，即$\frac{a}{3}=1$，解得$a=3$；
因此满足条件的一个分式可为$\frac{3}{x^2-1}$，也可构造其他符合条件的分式，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$\frac{3}{x^2-1}$
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为零的条件；求分式的值
【点评】
本题为开放型题目，需要结合分式的相关性质逆向推导构造分式，考查对分式核心概念的综合运用能力，只要同时满足三个给定条件即可，答案不唯一。
【难度系数】
0.7
14.当$ x=-4 $时，分式$\frac{x-b}{2x+a}$无意义；当$ x=2 $时，分式$\frac{x-b}{2x+a}$的值为0.求$\frac{a+b}{a-3b}$的值.
答案
14.5
解析
【分析】
解题需用到分式的两个核心性质：①分式无意义等价于分母等于0；②分式的值为0等价于分子等于0且分母不等于0。我们先根据x=-4时分式无意义的条件求出a的值，再根据x=2时分式值为0的条件求出b的值，最后把a、b代入待求代数式计算即可。
【解析】
1. 求a的值：
当x=-4时，分式$\frac{x-b}{2x+a}$无意义，说明此时分母为0，即：
$2×(-4)+a=0$
$-8+a=0$
解得$a=8$。
2. 求b的值：
当x=2时，分式$\frac{x-b}{2x+a}$的值为0，说明此时分子为0且分母不为0：
首先分子为0：$2-b=0$，解得$b=2$；
验证分母：把x=2、a=8代入分母得$2×2+8=12≠0$，符合要求，因此$b=2$成立。
3. 计算$\frac{a+b}{a-3b}$的值：
把$a=8$，$b=2$代入得：
$\frac{a+b}{a-3b}=\frac{8+2}{8-3×2}=\frac{10}{2}=5$。
【答案】
5
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为0的条件；代数式求值
【点评】
本题是分式性质的基础应用考题，解题关键是牢记分式相关的限制条件，尤其要注意分式值为0时，必须同时满足分子为0、分母不为0两个要求，不能遗漏分母不为0的验证步骤。
【难度系数】
0.8
解题需用到分式的两个核心性质：①分式无意义等价于分母等于0；②分式的值为0等价于分子等于0且分母不等于0。我们先根据x=-4时分式无意义的条件求出a的值，再根据x=2时分式值为0的条件求出b的值，最后把a、b代入待求代数式计算即可。
【解析】
1. 求a的值：
当x=-4时，分式$\frac{x-b}{2x+a}$无意义，说明此时分母为0，即：
$2×(-4)+a=0$
$-8+a=0$
解得$a=8$。
2. 求b的值：
当x=2时，分式$\frac{x-b}{2x+a}$的值为0，说明此时分子为0且分母不为0：
首先分子为0：$2-b=0$，解得$b=2$；
验证分母：把x=2、a=8代入分母得$2×2+8=12≠0$，符合要求，因此$b=2$成立。
3. 计算$\frac{a+b}{a-3b}$的值：
把$a=8$，$b=2$代入得：
$\frac{a+b}{a-3b}=\frac{8+2}{8-3×2}=\frac{10}{2}=5$。
【答案】
5
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为0的条件；代数式求值
【点评】
本题是分式性质的基础应用考题，解题关键是牢记分式相关的限制条件，尤其要注意分式值为0时，必须同时满足分子为0、分母不为0两个要求，不能遗漏分母不为0的验证步骤。
【难度系数】
0.8
15.【新考法·阅读理解】仔细阅读下面的例题，并解答问题.
例题:当$x$取何值时,分式$\frac{1-x}{2x-1}$的值为正数?
解:依题意,得$\frac{1-x}{2x-1}＞0$,
则有(1)$\begin{cases}2x-1＞0, \\1-x＞0;\end{cases}$ (2)$\begin{cases}2x-1＜0, \\1-x＜0.\end{cases}$
解不等式组(1),得$\frac{1}{2}＜x＜1$;
解不等式组(2),得不等式组无解.
∴不等式的解集是$\frac{1}{2}＜x＜1$.
∴当$\frac{1}{2}＜x＜1$时,分式的值为正数.
仿照以上方法解答问题:当$x$取何值时,分式$\frac{3x+2}{x-2}$的值为负数?
例题:当$x$取何值时,分式$\frac{1-x}{2x-1}$的值为正数?
解:依题意,得$\frac{1-x}{2x-1}＞0$,
则有(1)$\begin{cases}2x-1＞0, \\1-x＞0;\end{cases}$ (2)$\begin{cases}2x-1＜0, \\1-x＜0.\end{cases}$
解不等式组(1),得$\frac{1}{2}＜x＜1$;
解不等式组(2),得不等式组无解.
∴不等式的解集是$\frac{1}{2}＜x＜1$.
∴当$\frac{1}{2}＜x＜1$时,分式的值为正数.
仿照以上方法解答问题:当$x$取何值时,分式$\frac{3x+2}{x-2}$的值为负数?
答案
15.解:依题意,得$\frac{3x+2}{x-2}＜0$,
则有(1)$\begin{cases}3x+2＞0, \\x-2＜0;\end{cases}$ (2)$\begin{cases}3x+2＜0, \\x-2＞0.\end{cases}$
解不等式组(1),得$-\frac{2}{3}＜x＜2$;
解不等式组(2),得不等式组无解.
∴不等式的解集是$-\frac{2}{3}＜x＜2$.
∴当$-\frac{2}{3}＜x＜2$时,分式$\frac{3x+2}{x-2}$的值为负数.
则有(1)$\begin{cases}3x+2＞0, \\x-2＜0;\end{cases}$ (2)$\begin{cases}3x+2＜0, \\x-2＞0.\end{cases}$
解不等式组(1),得$-\frac{2}{3}＜x＜2$;
解不等式组(2),得不等式组无解.
∴不等式的解集是$-\frac{2}{3}＜x＜2$.
∴当$-\frac{2}{3}＜x＜2$时,分式$\frac{3x+2}{x-2}$的值为负数.
解析
【分析】
要解决分式值为负数的问题，首先依据有理数除法“异号两数相除得负”的符号法则，可知分式的分子和分母符号相反，因此需要分两种情况讨论：①分子为正、分母为负；②分子为负、分母为正。分别列出对应的一元一次不等式组，求解每个不等式组后，排除无解的情况，最终得到符合要求的x的取值范围。
【解析】
依题意，得$\frac{3x+2}{x-2}＜0$，
根据两数相除异号得负，分两种情况：
(1)$\begin{cases}3x+2＞0, \\x-2＜0;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}3x+2＜0, \\x-2＞0.\end{cases}$
解不等式组(1)：解$3x+2＞0$得$x＞-\frac{2}{3}$，解$x-2＜0$得$x＜2$，因此不等式组(1)的解集为$-\frac{2}{3}＜x＜2$；
解不等式组(2)：解$3x+2＜0$得$x＜-\frac{2}{3}$，解$x-2＞0$得$x＞2$，两个不等式没有公共解集，因此不等式组(2)无解。
∴原不等式的解集是$-\frac{2}{3}＜x＜2$。
∴当$-\frac{2}{3}＜x＜2$时，分式$\frac{3x+2}{x-2}$的值为负数。
【答案】
当$-\frac{2}{3}＜x＜2$时，分式$\frac{3x+2}{x-2}$的值为负数。
【知识点】
分式的符号判定；一元一次不等式组的解法；有理数除法符号法则
【点评】
本题属于方法迁移类阅读题，解题时需先读懂例题的解题逻辑，利用分类讨论思想将分式的符号问题转化为不等式组问题求解，注意分类时要做到不重不漏，最终解集要合并所有有解的情况。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为负数的问题，首先依据有理数除法“异号两数相除得负”的符号法则，可知分式的分子和分母符号相反，因此需要分两种情况讨论：①分子为正、分母为负；②分子为负、分母为正。分别列出对应的一元一次不等式组，求解每个不等式组后，排除无解的情况，最终得到符合要求的x的取值范围。
【解析】
依题意，得$\frac{3x+2}{x-2}＜0$，
根据两数相除异号得负，分两种情况：
(1)$\begin{cases}3x+2＞0, \\x-2＜0;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}3x+2＜0, \\x-2＞0.\end{cases}$
解不等式组(1)：解$3x+2＞0$得$x＞-\frac{2}{3}$，解$x-2＜0$得$x＜2$，因此不等式组(1)的解集为$-\frac{2}{3}＜x＜2$；
解不等式组(2)：解$3x+2＜0$得$x＜-\frac{2}{3}$，解$x-2＞0$得$x＞2$，两个不等式没有公共解集，因此不等式组(2)无解。
∴原不等式的解集是$-\frac{2}{3}＜x＜2$。
∴当$-\frac{2}{3}＜x＜2$时，分式$\frac{3x+2}{x-2}$的值为负数。
【答案】
当$-\frac{2}{3}＜x＜2$时，分式$\frac{3x+2}{x-2}$的值为负数。
【知识点】
分式的符号判定；一元一次不等式组的解法；有理数除法符号法则
【点评】
本题属于方法迁移类阅读题，解题时需先读懂例题的解题逻辑，利用分类讨论思想将分式的符号问题转化为不等式组问题求解，注意分类时要做到不重不漏，最终解集要合并所有有解的情况。
【难度系数】
0.7
