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【例2】[阅读思考]分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解.
这种方法叫作分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法.
[应用知识](1)因式分解：
①$a^2 - 2ab + b^2 + a - b$；
②$x^2 - y^2 - x - y$；
③$45am^2 - 20ax^2 + 20axy - 5ay^2$；
④$4a^2 + 4a - 4a^2b - b - 4ab + 1$.
(2)已知$a,b,c$为等腰三角形$ABC$的三边长，且满足$a^2 + b^2 = 6a + 12b - 45$，求$△ ABC$的周长.
(3)已知$a - b = 6$，$ab + c^2 - 4c + 13 = 0$，求$a + b + c$的值.
这种方法叫作分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法.
[应用知识](1)因式分解：
①$a^2 - 2ab + b^2 + a - b$；
②$x^2 - y^2 - x - y$；
③$45am^2 - 20ax^2 + 20axy - 5ay^2$；
④$4a^2 + 4a - 4a^2b - b - 4ab + 1$.
(2)已知$a,b,c$为等腰三角形$ABC$的三边长，且满足$a^2 + b^2 = 6a + 12b - 45$，求$△ ABC$的周长.
(3)已知$a - b = 6$，$ab + c^2 - 4c + 13 = 0$，求$a + b + c$的值.
答案
(1)①$(a-b)(a-b+1)$
②$(x+y)(x-y-1)$
③$5a(3m+2x-y)(3m-2x+y)$
④$(2a+1)^2(1-b)$
(2)15
(3)2
②$(x+y)(x-y-1)$
③$5a(3m+2x-y)(3m-2x+y)$
④$(2a+1)^2(1-b)$
(2)15
(3)2
解析
【分析】
这道题围绕分组分解法因式分解展开，同时结合了代数求值、等腰三角形边长计算的相关知识，解题思路如下：
(1)因式分解类：超过3项的多项式优先考虑分组：①前三项是完全平方形式，将前三项、后两项分别分组，先用完全平方公式分解再提公因式；②前两项符合平方差特征，将前两项、后两项分别分组，先用平方差公式分解再提公因式；③先提取公因式，再将剩余多项式的后三项分组凑完全平方，最后用平方差公式分解；④将含b的项和不含b的项分别分组，凑完全平方后再提公因式。
(2)求等腰三角形周长：先将等式移项后拆分为两个完全平方的和，利用非负数的性质求出a、b的值，再结合等腰三角形三边关系确定三边长，计算周长。
(3)求a+b+c的值：先将a=b+6代入第二个等式，整理后配方为两个非负数的和，根据非负性求出b、c的值，再计算a的值，最后求三者之和。
【解析】
(1)① $a^2 - 2ab + b^2 + a - b$
原式$=(a^2 - 2ab + b^2)+(a - b)$
$=(a-b)^2 + (a-b)$
$=(a-b)(a-b+1)$
② $x^2 - y^2 - x - y$
原式$=(x^2 - y^2)-(x + y)$
$=(x+y)(x-y)-(x+y)$
$=(x+y)(x-y-1)$
③ $45am^2 - 20ax^2 + 20axy - 5ay^2$
原式$=5a[9m^2-(4x^2-4xy+y^2)]$
$=5a[9m^2-(2x-y)^2]$
$=5a(3m+2x-y)(3m-2x+y)$
④ $4a^2 + 4a - 4a^2b - b - 4ab + 1$
原式$=(4a^2 +4a +1) - (4a^2b +4ab +b)$
$=(2a+1)^2 - b(2a+1)^2$
$=(2a+1)^2(1-b)$
(2) 对$a^2 + b^2 = 6a + 12b - 45$移项得：
$a^2 -6a + b^2 -12b +45=0$
配方得$(a-3)^2 + (b-6)^2=0$
由平方的非负性可知$a-3=0$，$b-6=0$，解得$a=3$，$b=6$
$△ ABC$为等腰三角形，若三边长为3、3、6，不符合三角形三边关系，舍去；因此三边长为3、6、6，周长为$3+6+6=15$。
(3) 由$a-b=6$得$a=b+6$，代入$ab + c^2 - 4c + 13 = 0$得：
$b(b+6) + c^2 -4c +13=0$
整理配方得$(b+3)^2 + (c-2)^2=0$
由平方的非负性可知$b+3=0$，$c-2=0$，解得$b=-3$，$c=2$，则$a=3$
因此$a+b+c=3+(-3)+2=2$
【答案】
(1)①$\boxed{(a-b)(a-b+1)}$；②$\boxed{(x+y)(x-y-1)}$；③$\boxed{5a(3m+2x-y)(3m-2x+y)}$；④$\boxed{(2a+1)^2(1-b)}$
(2)$\boxed{15}$
(3)$\boxed{2}$
【知识点】
分组分解法因式分解，非负数的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了因式分解的各类方法，需要熟练掌握提公因式法、公式法，能根据多项式的特征灵活选择分组方式，同时要求能够结合非负数的性质、等腰三角形的性质解决跨模块的应用问题。
【难度系数】
0.6
这道题围绕分组分解法因式分解展开，同时结合了代数求值、等腰三角形边长计算的相关知识，解题思路如下：
(1)因式分解类：超过3项的多项式优先考虑分组：①前三项是完全平方形式，将前三项、后两项分别分组，先用完全平方公式分解再提公因式；②前两项符合平方差特征，将前两项、后两项分别分组，先用平方差公式分解再提公因式；③先提取公因式，再将剩余多项式的后三项分组凑完全平方，最后用平方差公式分解；④将含b的项和不含b的项分别分组，凑完全平方后再提公因式。
(2)求等腰三角形周长：先将等式移项后拆分为两个完全平方的和，利用非负数的性质求出a、b的值，再结合等腰三角形三边关系确定三边长，计算周长。
(3)求a+b+c的值：先将a=b+6代入第二个等式，整理后配方为两个非负数的和，根据非负性求出b、c的值，再计算a的值，最后求三者之和。
【解析】
(1)① $a^2 - 2ab + b^2 + a - b$
原式$=(a^2 - 2ab + b^2)+(a - b)$
$=(a-b)^2 + (a-b)$
$=(a-b)(a-b+1)$
② $x^2 - y^2 - x - y$
原式$=(x^2 - y^2)-(x + y)$
$=(x+y)(x-y)-(x+y)$
$=(x+y)(x-y-1)$
③ $45am^2 - 20ax^2 + 20axy - 5ay^2$
原式$=5a[9m^2-(4x^2-4xy+y^2)]$
$=5a[9m^2-(2x-y)^2]$
$=5a(3m+2x-y)(3m-2x+y)$
④ $4a^2 + 4a - 4a^2b - b - 4ab + 1$
原式$=(4a^2 +4a +1) - (4a^2b +4ab +b)$
$=(2a+1)^2 - b(2a+1)^2$
$=(2a+1)^2(1-b)$
(2) 对$a^2 + b^2 = 6a + 12b - 45$移项得：
$a^2 -6a + b^2 -12b +45=0$
配方得$(a-3)^2 + (b-6)^2=0$
由平方的非负性可知$a-3=0$，$b-6=0$，解得$a=3$，$b=6$
$△ ABC$为等腰三角形，若三边长为3、3、6，不符合三角形三边关系，舍去；因此三边长为3、6、6，周长为$3+6+6=15$。
(3) 由$a-b=6$得$a=b+6$，代入$ab + c^2 - 4c + 13 = 0$得：
$b(b+6) + c^2 -4c +13=0$
整理配方得$(b+3)^2 + (c-2)^2=0$
由平方的非负性可知$b+3=0$，$c-2=0$，解得$b=-3$，$c=2$，则$a=3$
因此$a+b+c=3+(-3)+2=2$
【答案】
(1)①$\boxed{(a-b)(a-b+1)}$；②$\boxed{(x+y)(x-y-1)}$；③$\boxed{5a(3m+2x-y)(3m-2x+y)}$；④$\boxed{(2a+1)^2(1-b)}$
(2)$\boxed{15}$
(3)$\boxed{2}$
【知识点】
分组分解法因式分解，非负数的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了因式分解的各类方法，需要熟练掌握提公因式法、公式法，能根据多项式的特征灵活选择分组方式，同时要求能够结合非负数的性质、等腰三角形的性质解决跨模块的应用问题。
【难度系数】
0.6
