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【例1】辽辽与宁宁在学习分解因式的知识时，发现8年级上册教材第133页有一种因式分解的方法叫作十字相乘法，即$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$，则可按此方法将二次三项式$x^2+5x+6$因式分解成$(x+2)(x+3)$。辽辽没有看明白书中的方法，请宁宁帮助他，宁宁告诉他：“要把二次三项式中的常数项6分成两个整数的积，且这两个整数的和等于5才可以，即$pq=6$，$p+q=5$，则口算就可以得到$p=2,q=3$或$p=3,q=2$，然后再将$p$与$q$的值代入式子$(x+p)(x+q)$中即可得到$(x+2)(x+3)$。”
(1)辽辽按照宁宁教他的方法将二次三项式$x^2-5x+6$分解成了$(x-2)(x-3)$，那么辽辽应该将下列二次三项式如何分解呢？
①$x^2+7x+10$；②$x^2-3x-40$。
(2)宁宁看到辽辽对于十字相乘的方法掌握得很好，便考了他两个变式问题，可是辽辽想了想没有好办法，请你帮辽辽完成这两个因式分解的题目。
①$2x^2-4x-16$；②$x^4-5x^2+4$。
(3)辽辽在宁宁的帮助下，终于学会了因式分解的十字相乘法，但是老师却给他出了一个思考题，请你帮助辽辽完成这个因式分解的题目。
$(x^2-6x+6)(x^2-6x+8)-3$
(1)辽辽按照宁宁教他的方法将二次三项式$x^2-5x+6$分解成了$(x-2)(x-3)$，那么辽辽应该将下列二次三项式如何分解呢？
①$x^2+7x+10$；②$x^2-3x-40$。
(2)宁宁看到辽辽对于十字相乘的方法掌握得很好，便考了他两个变式问题，可是辽辽想了想没有好办法，请你帮辽辽完成这两个因式分解的题目。
①$2x^2-4x-16$；②$x^4-5x^2+4$。
(3)辽辽在宁宁的帮助下，终于学会了因式分解的十字相乘法，但是老师却给他出了一个思考题，请你帮助辽辽完成这个因式分解的题目。
$(x^2-6x+6)(x^2-6x+8)-3$
答案
(1)①$(x+5)(x+2)$ ②$(x-8)(x+5)$
(2)①$2(x-4)(x+2)$
②$(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)$
(3)$(x-1)(x-5)(x-3)^2$
(2)①$2(x-4)(x+2)$
②$(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)$
(3)$(x-1)(x-5)(x-3)^2$
解析
【分析】
本题围绕十字相乘法因式分解展开，解题思路如下：1. 对于二次项系数为1的二次三项式$x^2+bx+c$，只需将常数项$c$拆分为两个整数的乘积，且这两个整数的和等于一次项系数$b$，即可直接用十字相乘法分解；2. 若二次项系数不为1，先提取公因式，将式子转化为二次项系数为1的二次三项式再分解；3. 对于高次或结构相似的多项式，可通过换元法简化式子，再结合十字相乘法、公式法分解，注意最后要分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) ①分解$x^2+7x+10$：
常数项10可拆为2和5的乘积，且$2+5=7$（等于一次项系数），因此$x^2+7x+10=(x+2)(x+5)$。
②分解$x^2-3x-40$：
常数项-40可拆为-8和5的乘积，且$-8+5=-3$（等于一次项系数），因此$x^2-3x-40=(x-8)(x+5)$。
(2) ①分解$2x^2-4x-16$：
第一步先提取公因式2，得$2(x^2-2x-8)$；
对$x^2-2x-8$用十字相乘法：常数项-8拆为-4和2的乘积，$-4+2=-2$，因此$x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$；
综上，原式$=2(x-4)(x+2)$。
②分解$x^4-5x^2+4$：
将$x^2$看作整体，原式转化为$(x^2)^2-5x^2+4$，用十字相乘法分解得$(x^2-1)(x^2-4)$；
再用平方差公式分别分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-4=(x+2)(x-2)$；
综上，原式$=(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)$。
(3) 分解$(x^2-6x+6)(x^2-6x+8)-3$：
设$y=x^2-6x$，则原式转化为$(y+6)(y+8)-3$；
展开并化简：$y^2+14y+48-3=y^2+14y+45$；
对$y^2+14y+45$用十字相乘法分解，得$(y+5)(y+9)$；
将$y=x^2-6x$代回，得$(x^2-6x+5)(x^2-6x+9)$；
分别分解两个因式：$x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$，$x^2-6x+9=(x-3)^2$；
综上，原式$=(x-1)(x-5)(x-3)^2$。
【答案】
(1)①$(x+2)(x+5)$；②$(x-8)(x+5)$
(2)①$2(x-4)(x+2)$；②$(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)$
(3)$(x-1)(x-5)(x-3)^2$
【知识点】
十字相乘法因式分解，换元法因式分解，公式法因式分解
【点评】
本题由浅入深考查因式分解的常用方法，从基础的十字相乘法应用，到结合提公因式、换元法、公式法的综合应用，有助于巩固因式分解的解题思路，解题时需注意因式分解要彻底，直到所有因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
本题围绕十字相乘法因式分解展开，解题思路如下：1. 对于二次项系数为1的二次三项式$x^2+bx+c$，只需将常数项$c$拆分为两个整数的乘积，且这两个整数的和等于一次项系数$b$，即可直接用十字相乘法分解；2. 若二次项系数不为1，先提取公因式，将式子转化为二次项系数为1的二次三项式再分解；3. 对于高次或结构相似的多项式，可通过换元法简化式子，再结合十字相乘法、公式法分解，注意最后要分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) ①分解$x^2+7x+10$：
常数项10可拆为2和5的乘积，且$2+5=7$（等于一次项系数），因此$x^2+7x+10=(x+2)(x+5)$。
②分解$x^2-3x-40$：
常数项-40可拆为-8和5的乘积，且$-8+5=-3$（等于一次项系数），因此$x^2-3x-40=(x-8)(x+5)$。
(2) ①分解$2x^2-4x-16$：
第一步先提取公因式2，得$2(x^2-2x-8)$；
对$x^2-2x-8$用十字相乘法：常数项-8拆为-4和2的乘积，$-4+2=-2$，因此$x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$；
综上，原式$=2(x-4)(x+2)$。
②分解$x^4-5x^2+4$：
将$x^2$看作整体，原式转化为$(x^2)^2-5x^2+4$，用十字相乘法分解得$(x^2-1)(x^2-4)$；
再用平方差公式分别分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-4=(x+2)(x-2)$；
综上，原式$=(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)$。
(3) 分解$(x^2-6x+6)(x^2-6x+8)-3$：
设$y=x^2-6x$，则原式转化为$(y+6)(y+8)-3$；
展开并化简：$y^2+14y+48-3=y^2+14y+45$；
对$y^2+14y+45$用十字相乘法分解，得$(y+5)(y+9)$；
将$y=x^2-6x$代回，得$(x^2-6x+5)(x^2-6x+9)$；
分别分解两个因式：$x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$，$x^2-6x+9=(x-3)^2$；
综上，原式$=(x-1)(x-5)(x-3)^2$。
【答案】
(1)①$(x+2)(x+5)$；②$(x-8)(x+5)$
(2)①$2(x-4)(x+2)$；②$(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)$
(3)$(x-1)(x-5)(x-3)^2$
【知识点】
十字相乘法因式分解，换元法因式分解，公式法因式分解
【点评】
本题由浅入深考查因式分解的常用方法，从基础的十字相乘法应用，到结合提公因式、换元法、公式法的综合应用，有助于巩固因式分解的解题思路，解题时需注意因式分解要彻底，直到所有因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
