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1[2026安徽宣城期末]如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为$\frac{1}{3}$,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为 (
A.(3,2)
B.(3,1)
C.(2,2)
D.(4,2)
(第1题图)
(第2题图)
A
)A.(3,2)
B.(3,1)
C.(2,2)
D.(4,2)
(第1题图)
(第2题图)
答案
1. A 【解析】
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为$\frac{1}{3}$,
∴$\frac{AD}{BG}=\frac{1}{3}$.
∵$BG=6$,
∴$AD=AB=BC=2$.
∵$AD// BG$,
∴$△ OAD∽△ OBG$,
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{AD}{BG}=\frac{1}{3}$,
∴$\frac{OA}{2+OA}=\frac{1}{3}$,解得$OA=1$,
∴$OB=3$,
∴C点坐标为$(3,2)$,故选A.
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为$\frac{1}{3}$,
∴$\frac{AD}{BG}=\frac{1}{3}$.
∵$BG=6$,
∴$AD=AB=BC=2$.
∵$AD// BG$,
∴$△ OAD∽△ OBG$,
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{AD}{BG}=\frac{1}{3}$,
∴$\frac{OA}{2+OA}=\frac{1}{3}$,解得$OA=1$,
∴$OB=3$,
∴C点坐标为$(3,2)$,故选A.
解析
【分析】
解决本题的思路如下：第一步，根据位似图形的相似比，结合大正方形的边长求出小正方形ABCD的边长；第二步，由位似图形对应边平行的性质，得到△OAD∽△OBG，利用相似三角形对应边成比例的性质，建立关于OA长度的方程；第三步，求解得到OA的长度，进而得到OB的长度，OB的长度就是点C的横坐标，小正方形的边长就是点C的纵坐标，最终得到C点坐标。
【解析】
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AD}{BG}=\frac{1}{3}$。
∵正方形BEFG的边长$BG=6$，
∴小正方形边长$AD=AB=BC=2$。
∵位似图形对应边平行，即$AD// BG$，
∴$△ OAD∽△ OBG$，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{AD}{BG}=\frac{1}{3}$。
又
∵$OB=OA+AB=OA+2$，代入比例式得$\frac{OA}{OA+2}=\frac{1}{3}$，
解得$OA=1$，
∴$OB=OA+AB=1+2=3$。
∵点C的横坐标等于OB的长度，纵坐标等于BC的长度，
∴C点坐标为$(3,2)$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质
【点评】
本题是位似图形性质的基础应用题，解题的核心是利用位似关系得到相似三角形，通过比例关系计算出对应线段的长度，进而确定点的坐标，解题时注意结合平面直角坐标系的特点分析点的横、纵坐标对应的线段长度。
【难度系数】
0.7
解决本题的思路如下：第一步，根据位似图形的相似比，结合大正方形的边长求出小正方形ABCD的边长；第二步，由位似图形对应边平行的性质，得到△OAD∽△OBG，利用相似三角形对应边成比例的性质，建立关于OA长度的方程；第三步，求解得到OA的长度，进而得到OB的长度，OB的长度就是点C的横坐标，小正方形的边长就是点C的纵坐标，最终得到C点坐标。
【解析】
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AD}{BG}=\frac{1}{3}$。
∵正方形BEFG的边长$BG=6$，
∴小正方形边长$AD=AB=BC=2$。
∵位似图形对应边平行，即$AD// BG$，
∴$△ OAD∽△ OBG$，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{AD}{BG}=\frac{1}{3}$。
又
∵$OB=OA+AB=OA+2$，代入比例式得$\frac{OA}{OA+2}=\frac{1}{3}$，
解得$OA=1$，
∴$OB=OA+AB=1+2=3$。
∵点C的横坐标等于OB的长度，纵坐标等于BC的长度，
∴C点坐标为$(3,2)$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质
【点评】
本题是位似图形性质的基础应用题，解题的核心是利用位似关系得到相似三角形，通过比例关系计算出对应线段的长度，进而确定点的坐标，解题时注意结合平面直角坐标系的特点分析点的横、纵坐标对应的线段长度。
【难度系数】
0.7
2 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,边OA在x轴上,OC在y轴上,如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的$\frac{1}{4}$,那么点B'的坐标是 (
A.$(\frac{3}{2},1)$
B.$(-1,-\frac{3}{2})$
C.$(\frac{3}{2},1)$或$(-\frac{3}{2},-1)$
D.$(1,\frac{3}{2})$或$(-1,-\frac{3}{2})$
C
)A.$(\frac{3}{2},1)$
B.$(-1,-\frac{3}{2})$
C.$(\frac{3}{2},1)$或$(-\frac{3}{2},-1)$
D.$(1,\frac{3}{2})$或$(-1,-\frac{3}{2})$
答案
2. C 【解析】
∵矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的$\frac{1}{4}$,
∴两矩形的相似比为1:2.
∵B点的坐标为$(3,2)$,
∴点B'的坐标是$(\frac{3}{2},1)$或$(-\frac{3}{2},-1)$.故选C.
∵矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的$\frac{1}{4}$,
∴两矩形的相似比为1:2.
∵B点的坐标为$(3,2)$,
∴点B'的坐标是$(\frac{3}{2},1)$或$(-\frac{3}{2},-1)$.故选C.
解析
【分析】
解题时首先回忆位似图形的性质：位似是特殊的相似，相似图形的面积比等于相似比的平方，因此可以先由已知的面积比求出两个矩形的相似比；其次从图中确定原矩形点B的坐标，再结合位似中心是原点的坐标变化规律：位似图形对应点的坐标为原坐标乘以相似比k或-k（分别对应位似图形与原图形在位似中心同侧、异侧两种情况），即可求出点B'的两个可能坐标，对照选项得到答案。
【解析】
解：
∵矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积是矩形OABC面积的$\frac{1}{4}$，
∴两个矩形的相似比为$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$。
由图可知，原矩形顶点B的坐标为$(3,2)$，
当位似图形与原图形位于原点同侧时，点B'的坐标为$(3×\frac{1}{2},2×\frac{1}{2})$，即$(\frac{3}{2},1)$；
当位似图形与原图形位于原点异侧时，点B'的坐标为$(3×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))$，即$(-\frac{3}{2},-1)$。
综上，点B'的坐标是$(\frac{3}{2},1)$或$(-\frac{3}{2},-1)$，故选C。
【答案】C
【知识点】
位似的性质；相似面积比规律；位似坐标变换
【点评】
本题是位似变换的基础题，解题的关键是掌握位似图形的相似比和面积比的关系，同时注意位似图形存在在位似中心两侧两种情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆位似图形的性质：位似是特殊的相似，相似图形的面积比等于相似比的平方，因此可以先由已知的面积比求出两个矩形的相似比；其次从图中确定原矩形点B的坐标，再结合位似中心是原点的坐标变化规律：位似图形对应点的坐标为原坐标乘以相似比k或-k（分别对应位似图形与原图形在位似中心同侧、异侧两种情况），即可求出点B'的两个可能坐标，对照选项得到答案。
【解析】
解：
∵矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积是矩形OABC面积的$\frac{1}{4}$，
∴两个矩形的相似比为$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$。
由图可知，原矩形顶点B的坐标为$(3,2)$，
当位似图形与原图形位于原点同侧时，点B'的坐标为$(3×\frac{1}{2},2×\frac{1}{2})$，即$(\frac{3}{2},1)$；
当位似图形与原图形位于原点异侧时，点B'的坐标为$(3×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))$，即$(-\frac{3}{2},-1)$。
综上，点B'的坐标是$(\frac{3}{2},1)$或$(-\frac{3}{2},-1)$，故选C。
【答案】C
【知识点】
位似的性质；相似面积比规律；位似坐标变换
【点评】
本题是位似变换的基础题，解题的关键是掌握位似图形的相似比和面积比的关系，同时注意位似图形存在在位似中心两侧两种情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
3[2026山东德州期末]如图,以原点O为位似中心,将△OAD放大为原来的2倍,得到△OBC.点D(2,2)是抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点,点C在抛物线上,则抛物线的表达式是 ()
A.$y=\frac{1}{2}x^2 -2x +4$
B.$y=x^2 -4x +6$
C.$y=\frac{1}{2}x^2 -4x +6$
D.$y=x^2 -4x +4$
A.$y=\frac{1}{2}x^2 -2x +4$
B.$y=x^2 -4x +6$
C.$y=\frac{1}{2}x^2 -4x +6$
D.$y=x^2 -4x +4$
答案
A
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据位似变换的性质，位似中心为原点时，放大2倍的对应点坐标是原坐标乘位似比2，由此求出点C的坐标；其次已知抛物线顶点D的坐标，可设二次函数的顶点式，再将点C坐标代入顶点式求出未知系数a；最后将顶点式展开为一般式，对照选项即可得到答案。
【解析】
第一步：求点C的坐标
∵ 以原点O为位似中心，将△OAD放大为原来的2倍得到△OBC，点D与点C是对应点，位似比为1:2，
又
∵ D(2,2)，
∴ 点C的坐标为$(2×2, 2×2)$，即$(4,4)$。
第二步：设抛物线的顶点式
∵ 点D(2,2)是抛物线的顶点，
∴ 设抛物线解析式为$y=a(x-2)^2+2$（$a≠0$）。
第三步：代入点C求系数a
将C(4,4)代入解析式得：
$4=a(4-2)^2+2$
$4=4a+2$
解得$a=\frac{1}{2}$。
第四步：展开为一般式
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2+2=\frac{1}{2}(x^2-4x+4)+2=\frac{1}{2}x^2-2x+2+2=\frac{1}{2}x^2-2x+4$。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的性质，二次函数顶点式，二次函数解析式求解
【点评】
本题是位似变换与二次函数的基础综合题，核心考查位似变换的坐标变化规律和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是正确求出点C的坐标，整体难度不大。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据位似变换的性质，位似中心为原点时，放大2倍的对应点坐标是原坐标乘位似比2，由此求出点C的坐标；其次已知抛物线顶点D的坐标，可设二次函数的顶点式，再将点C坐标代入顶点式求出未知系数a；最后将顶点式展开为一般式，对照选项即可得到答案。
【解析】
第一步：求点C的坐标
∵ 以原点O为位似中心，将△OAD放大为原来的2倍得到△OBC，点D与点C是对应点，位似比为1:2，
又
∵ D(2,2)，
∴ 点C的坐标为$(2×2, 2×2)$，即$(4,4)$。
第二步：设抛物线的顶点式
∵ 点D(2,2)是抛物线的顶点，
∴ 设抛物线解析式为$y=a(x-2)^2+2$（$a≠0$）。
第三步：代入点C求系数a
将C(4,4)代入解析式得：
$4=a(4-2)^2+2$
$4=4a+2$
解得$a=\frac{1}{2}$。
第四步：展开为一般式
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2+2=\frac{1}{2}(x^2-4x+4)+2=\frac{1}{2}x^2-2x+2+2=\frac{1}{2}x^2-2x+4$。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的性质，二次函数顶点式，二次函数解析式求解
【点评】
本题是位似变换与二次函数的基础综合题，核心考查位似变换的坐标变化规律和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是正确求出点C的坐标，整体难度不大。
【难度系数】
0.7
4 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为$(-4,4),(0,4)$,点C,D的坐标分别为$(0,1),(2,1)$.若线段AB和DC是位似图形,且位似中心在y轴上,则位似中心的坐标为.
(第4题图)
(第5题图)
(第4题图)
(第5题图)
答案
$\frac {4\sqrt {2}}5$
5[2025安徽安庆怀宁期末]如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB'C'位似,且相似比为1:2,点A是位似中心.已知点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°,则点C'的坐标为
(6-2a,-2b)
.(用含a,b的式子表示)答案
C'N=2b,
∴ON=AN-OA=2a-6,
∴点C'的坐标为(6-2a,-2b),故答案为(6-2a,-2b).
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中的位似变换，解题思路如下：首先回忆位似图形的性质：位似图形的对应点连线经过位似中心，对应边成比例，相似比等于位似比。已知位似中心为点A，△ABC与△AB'C'的相似比为1:2，要求点C'的坐标，可通过过点C、C'分别作x轴的垂线，构造相似直角三角形，将点的坐标转化为线段长度，结合相似比求出C'到x轴的距离、对应点的水平距离，再根据C'所在的位置确定坐标符号即可。
【解析】
过点C作CM⊥x轴于点M，过点C'作C'N⊥x轴于点N，则∠AMC=∠ANC'=90°。
∵点A是位似中心，△ABC与△AB'C'位似，
∴A、C、C'三点共线，∠CAM=∠C'AN，且$\frac{AC}{AC'}=\frac{1}{2}$，
∴△ACM∽△AC'N，相似比为1:2。
已知A(2,0)，C(a,b)，则$AM = a - 2$，$CM = b$。
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AM}{AN}=\frac{CM}{C'N}=\frac{1}{2}$，
∴$AN = 2AM = 2(a - 2)$，$C'N = 2CM = 2b$。
∵点C'在x轴下方，
∴C'的纵坐标为$-2b$；
点N在点A的左侧，
∴点N的横坐标为$2 - 2(a - 2) = 6 - 2a$，
即点C'的坐标为$(6-2a,-2b)$。
【答案】
(6-2a,-2b)
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形的判定与性质；平面直角坐标系坐标
【点评】
本题是位似变换的常考题型，解题关键是通过作垂线构造相似三角形，将坐标问题转化为线段长度计算，解题时要注意位似图形的位置方向，避免坐标符号出错。
【难度系数】
0.6
本题考查平面直角坐标系中的位似变换，解题思路如下：首先回忆位似图形的性质：位似图形的对应点连线经过位似中心，对应边成比例，相似比等于位似比。已知位似中心为点A，△ABC与△AB'C'的相似比为1:2，要求点C'的坐标，可通过过点C、C'分别作x轴的垂线，构造相似直角三角形，将点的坐标转化为线段长度，结合相似比求出C'到x轴的距离、对应点的水平距离，再根据C'所在的位置确定坐标符号即可。
【解析】
过点C作CM⊥x轴于点M，过点C'作C'N⊥x轴于点N，则∠AMC=∠ANC'=90°。
∵点A是位似中心，△ABC与△AB'C'位似，
∴A、C、C'三点共线，∠CAM=∠C'AN，且$\frac{AC}{AC'}=\frac{1}{2}$，
∴△ACM∽△AC'N，相似比为1:2。
已知A(2,0)，C(a,b)，则$AM = a - 2$，$CM = b$。
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AM}{AN}=\frac{CM}{C'N}=\frac{1}{2}$，
∴$AN = 2AM = 2(a - 2)$，$C'N = 2CM = 2b$。
∵点C'在x轴下方，
∴C'的纵坐标为$-2b$；
点N在点A的左侧，
∴点N的横坐标为$2 - 2(a - 2) = 6 - 2a$，
即点C'的坐标为$(6-2a,-2b)$。
【答案】
(6-2a,-2b)
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形的判定与性质；平面直角坐标系坐标
【点评】
本题是位似变换的常考题型，解题关键是通过作垂线构造相似三角形，将坐标问题转化为线段长度计算，解题时要注意位似图形的位置方向，避免坐标符号出错。
【难度系数】
0.6
6 如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△A₁B₁C₁是以点P为位似中心的位似图形.其中A的坐标为(8,3),B的坐标为(5,0),C的坐标为(7,0).
(1)在图中标出位似中心点P的位置,并写出P的坐标.
(2)以O(0,0)为位似中心,在图中将△A₁B₁C₁作位似变换缩小为△A₂B₂C₂,相似比为2:1.
(3)在(2)的条件下,若点M(a,b)在△A₁B₁C₁上,直接写出M在△A₂B₂C₂上的对应点M₂的坐标.
(1)在图中标出位似中心点P的位置,并写出P的坐标.
(2)以O(0,0)为位似中心,在图中将△A₁B₁C₁作位似变换缩小为△A₂B₂C₂,相似比为2:1.
(3)在(2)的条件下,若点M(a,b)在△A₁B₁C₁上,直接写出M在△A₂B₂C₂上的对应点M₂的坐标.
答案
6.【解】(1)如图,点P即为所求,P点坐标为(8,-2).
(2)如图,△A₂B₂C₂即为所求.
(3)$M_2$的坐标为$(\frac{1}{2}a,\frac{1}{2}b)$.
解析
【分析】
(1) 位似图形的位似中心是所有对应点连线的公共交点，因此只需连接两组对应点（如$AA_1$和$BB_1$），两条直线的交点就是点P，再结合网格即可读出P的坐标。
(2) 以原点为位似中心作位似图形时，若相似比为k，对应点的横、纵坐标均为原坐标的k倍。本题要求将△$A_1B_1C_1$按相似比2:1缩小，即新图形与原图形的相似比为$\frac{1}{2}$，将△$A_1B_1C_1$各顶点的横、纵坐标都乘$\frac{1}{2}$得到对应点坐标，顺次连接即可得到△$A_2B_2C_2$。
(3) 结合原点位似的坐标变化规律，直接代入点M的坐标即可得到对应点$M_2$的坐标。
【解析】
(1) 分别作直线$AA_1$、$BB_1$，两条直线的交点即为位似中心P，结合平面直角坐标系的网格，可得P点坐标为$(8,-2)$，标注位置如图所示。
(2) 由题意得△$A_2B_2C_2$与△$A_1B_1C_1$的相似比为$\frac{1}{2}$，分别计算$A_1$、$B_1$、$C_1$三点横、纵坐标乘$\frac{1}{2}$后的坐标，得到$A_2$、$B_2$、$C_2$的位置，顺次连接三点，即得到所求的△$A_2B_2C_2$，作图如图所示。
(3) 以原点为位似中心，位似比为k时，原图形上点$(x,y)$的对应点坐标为$(kx,ky)$，本题中$k=\frac{1}{2}$，因此点$M(a,b)$的对应点$M_2$的坐标为$(\frac{1}{2}a,\frac{1}{2}b)$。
【答案】
(1) 如图,点P即为所求,P点坐标为(8,-2).
(2) 如图,△A₂B₂C₂即为所求.
(3) $M_2$的坐标为$(\frac{1}{2}a,\frac{1}{2}b)$.
【知识点】
位似中心的确定，坐标系中的位似变换，位似点的坐标变化规律
【点评】
本题围绕位似图形的性质设题，侧重考查基础作图和坐标变化规律的应用，解题的关键是熟练掌握位似中心的找法，以及原点为位似中心时的坐标变化规则。
【难度系数】
0.8
(1) 位似图形的位似中心是所有对应点连线的公共交点，因此只需连接两组对应点（如$AA_1$和$BB_1$），两条直线的交点就是点P，再结合网格即可读出P的坐标。
(2) 以原点为位似中心作位似图形时，若相似比为k，对应点的横、纵坐标均为原坐标的k倍。本题要求将△$A_1B_1C_1$按相似比2:1缩小，即新图形与原图形的相似比为$\frac{1}{2}$，将△$A_1B_1C_1$各顶点的横、纵坐标都乘$\frac{1}{2}$得到对应点坐标，顺次连接即可得到△$A_2B_2C_2$。
(3) 结合原点位似的坐标变化规律，直接代入点M的坐标即可得到对应点$M_2$的坐标。
【解析】
(1) 分别作直线$AA_1$、$BB_1$，两条直线的交点即为位似中心P，结合平面直角坐标系的网格，可得P点坐标为$(8,-2)$，标注位置如图所示。
(2) 由题意得△$A_2B_2C_2$与△$A_1B_1C_1$的相似比为$\frac{1}{2}$，分别计算$A_1$、$B_1$、$C_1$三点横、纵坐标乘$\frac{1}{2}$后的坐标，得到$A_2$、$B_2$、$C_2$的位置，顺次连接三点，即得到所求的△$A_2B_2C_2$，作图如图所示。
(3) 以原点为位似中心，位似比为k时，原图形上点$(x,y)$的对应点坐标为$(kx,ky)$，本题中$k=\frac{1}{2}$，因此点$M(a,b)$的对应点$M_2$的坐标为$(\frac{1}{2}a,\frac{1}{2}b)$。
【答案】
(1) 如图,点P即为所求,P点坐标为(8,-2).
(2) 如图,△A₂B₂C₂即为所求.
(3) $M_2$的坐标为$(\frac{1}{2}a,\frac{1}{2}b)$.
【知识点】
位似中心的确定，坐标系中的位似变换，位似点的坐标变化规律
【点评】
本题围绕位似图形的性质设题，侧重考查基础作图和坐标变化规律的应用，解题的关键是熟练掌握位似中心的找法，以及原点为位似中心时的坐标变化规则。
【难度系数】
0.8
