1[2024江苏连云港中考]下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁,其中是相似形的为 ()


A.甲和乙
B.乙和丁
C.甲和丙
D.甲和丁

1.D 【解析】若两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,则这两个多边形是相似多边形. 由题图可知,只有甲和丁的对应角相等,且对应边成比例,所以甲和丁是相似形. 故选D.

【分析】
要判断两个图形是否为相似形，需依据相似多边形的判定条件：边数相同的两个多边形，对应角相等、对应边成比例，两者同时满足才是相似多边形。解题时首先确认四个阴影图形均为六边形，再分别计算各图形的边长，同时判断对应角是否相等，最终比对哪组图形同时满足两个判定条件即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
首先计算甲的各边长度：短边是直角边为1、1的直角三角形斜边，即$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，共4条；长边是直角边为1、2的直角三角形斜边，即$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，共2条，各内角可由格点夹角确定大小。
再分析其余图形：
乙的短边为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，和甲的短边比例不统一，不符合相似要求；
丙的长边为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，和甲的长边比例不统一，不符合相似要求；
丁的短边是直角边为2、2的直角三角形斜边，即$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，共4条；长边是直角边为2、4的直角三角形斜边，即$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，共2条。甲和丁的短边比为$\sqrt{2}:2\sqrt{2}=1:2$，长边比为$\sqrt{5}:2\sqrt{5}=1:2$，对应边成比例，且格点构成的对应角相等，满足相似多边形的判定条件。
综上，甲和丁是相似形。
【答案】
D
【知识点】
相似多边形的判定
【点评】
本题解题核心是牢记相似多边形的两个判定条件，结合格点特征准确计算边长，同时验证对应角是否相等即可，需注意相似多边形的两个判定条件缺一不可。
【难度系数】
0.7

2[2025 四川成都中考]若$\frac{a}{b}=3$，则$\frac{a+b}{b}$的值为.

2.4 【解析】
∵$\frac{a}{b}=3$,
∴$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+1=3+1=4$,故答案为4.

【分析】
本题是分式化简求值类基础题，有两种常用解题思路：思路1：利用同分母分式加法的逆运算，将待求式$\frac{a+b}{b}$拆分为$\frac{a}{b}+\frac{b}{b}$，也就是$\frac{a}{b}+1$，直接代入已知条件$\frac{a}{b}=3$即可快速计算；思路2：根据已知条件可得$a=3b$，将其代入待求式约分后也能算出结果，优先选择拆分法解题更简便。
【解析】
解：$\because \frac{a}{b}=3$，
根据同分母分式加法法则逆用可得：
$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1$，
将$\frac{a}{b}=3$代入上式得：
原式$=3+1=4$。
【答案】
$4$
【知识点】
分式化简求值、同分母分式加减法
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，计算量小，解题方法灵活，熟练掌握分式的基本运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9

3[2025贵州中考]如图,已知$△ ABC ∽ △ DEF$, $AB:DE=2:1$,若$DF=2$,则$AC$的长为()

A.1
B.2
C.4
D.8

(第3题图)
(第4题图)

3.C 【解析】
∵$△ ABC ∽ △ DEF$, $AB:DE=2:1$,
∴$AC:DF=2:1$.
∵$DF=2$,
∴$AC=4$,故选C.

【分析】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题思路如下：首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的对应边成比例，题目给出的AB:DE=2:1就是两个相似三角形的相似比；其次找到AC的对应边为DF，因此AC与DF的比值等于已知的相似比；最后将DF的已知长度代入比例式，计算即可得到AC的长度。
【解析】
∵$△ ABC ∽ △ DEF$，且$AB:DE=2:1$，
根据相似三角形对应边成比例的性质，可得$AC:DF = AB:DE = 2:1$，
又
∵$DF=2$，
∴$AC = 2× DF = 2× 2 = 4$。
【答案】
C
【知识点】
1.相似三角形的性质 2.比例的计算
【点评】
本题属于基础得分题，主要考察对相似三角形对应边成比例性质的掌握，解题时只需找准对应边的比例关系，代入数值计算即可。
【难度系数】
0.8

4[2025四川眉山中考]如图,在4×3的方形网格中,每个小正方形的边长均为1,将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD,则△OAB与△OCD的周长之比是（）

A.2:1
B.1:2
C.4:1
D.1:4

4.B 【解析】
∵每个小正方形的边长均为1,
∴$OB = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}$, $OD = \sqrt{2^2+4^2} = 2\sqrt{5}$,
∴$OB:OD=1:2$.
∵将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD,
∴$△OAB∽△OCD$,相似比为1:2,
∴△OAB与△OCD的周长之比为1:2,故选B.

【分析】
要解决这道题，首先回忆相关性质：位似变换得到的图形与原图形相似，相似比等于对应顶点到位似中心的距离之比，且相似三角形的周长比等于相似比，因此只需要求出两个三角形的相似比即可得到周长比。解题步骤为：①根据网格特征，用勾股定理计算对应边OB、OD的长度；②计算两条边的比值得到相似比；③结合相似三角形周长比与相似比的关系得出结果。
【解析】
解：
∵每个小正方形的边长均为1，
由勾股定理可得：
$OB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$，
$OD = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$，
∴$OB:OD = \sqrt{5}:2\sqrt{5} = 1:2$。
∵将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB∽△OCD，相似比为$1:2$。
又
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴△OAB与△OCD的周长之比是$1:2$。
故选B。
【答案】B
【知识点】
位似的性质、勾股定理、相似三角形的性质
【点评】
本题结合网格考查位似与相似的相关性质，解题核心是先求出两个三角形的相似比，再结合相似图形周长比的规律求解，计算量小，思路明确。
【难度系数】
0.8

5[2025 四川攀枝花中考]如图，$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=6$，$D$为$BC$的中点，$CE ⊥ AB$于点$E$，$AD$与$CE$相交于点$O$，则$\frac{OD}{OC}=$（）

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{24}{25}$

5.B 【解析】
∵$AB=AC=5$,$BC=6$,$D$为$BC$的中点,
∴$AD⊥BC$,$CD=BD=\frac{1}{2}BC=3$,
∴$∠ADB=∠ADC=90°$.
∵$CE⊥AB$,
∴$∠AEC=∠ADC=90°$.
∵$∠AOE=∠DOC$,
∴$∠EAD=∠OCD$,
∴$△ADB∽△CDO$,
∴$\frac{OD}{OC}=\frac{DB}{AB}=\frac{3}{5}$,故选B.

【分析】
首先结合已知条件AB=AC，D是BC中点，想到等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，同时求出BD的长度；接下来观察到CE⊥AB，图中存在多个直角，可通过互余关系推导得到两组相等的角，进而证明相关三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，就能求出$\frac{OD}{OC}$的比值。
【解析】
∵$AB=AC=5$，$BC=6$，$D$为$BC$的中点，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，$AD⊥BC$，$BD=CD=\frac{1}{2}BC=3$，即$∠ADB=∠CDO=90°$。
∵$CE⊥AB$，
∴$∠CEB=90°$，可得$∠B+∠BAD=90°$，$∠B+∠OCD=90°$，
∴$∠BAD=∠OCD$。
在$△ADB$和$△CDO$中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB=∠CDO=90°\\∠BAD=∠OCD\end{array} $
∴$△ADB∽△CDO$（两角对应相等，两三角形相似），
∴$\frac{OD}{BD}=\frac{OC}{AB}$，变形可得$\frac{OD}{OC}=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是先利用等腰三角形三线合一得到垂直关系和线段长度，再通过角的等量关系证明三角形相似，侧重考查学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7

6[2025 四川遂宁中考]在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$AB=13$，$BC=5$，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段 $AQ$ 的长为（）

A.$2\sqrt{13}$
B.$2\sqrt{15}$
C.$6$
D.$\dfrac{120}{13}$

6.A 【解析】
∵在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$,$AB=13$,$BC=5$,
∴$AC=\sqrt{13^2-5^2}=12$.由作图痕迹可得$BG$平分$∠ABC$,即$∠CBG=∠ABG$.设$BG$,$AC$交于点$M$,作$MN⊥AB$于点N，如图，则$CM=MN$.设$CM=MN=x$.
∵$S_{△ABC}=S_{△MBC}+S_{△ABM}$,
∴$\frac{1}{2}BC·AC=\frac{1}{2}BC·CM+\frac{1}{2}AB·MN$,即$5×12=5x+13x$,解得$x=\frac{10}{3}$,即$CM=\frac{10}{3}$,则$BM=\sqrt{5^2+(\frac{10}{3})^2}=\frac{5}{3}\sqrt{13}$.由作图痕迹可知$AQ⊥BH$,
∴$∠AQB=∠C=90°$.
∵$∠CBG=∠ABG$,
∴$△ABQ∽△MBC$,
∴$\frac{AQ}{CM}=\frac{AB}{BM}$,即$\frac{AQ}{\frac{10}{3}}=\frac{13}{\frac{5}{3}\sqrt{13}}$,解得$AQ=2\sqrt{13}$.故选A.

【分析】
解题时首先从已知的Rt△ABC入手，利用勾股定理先求出AC的长度；接下来识别尺规作图的含义：第一步作图得到的BG是∠ABC的角平分线，第二步作图得到AQ垂直于BH；随后利用角平分线的性质，结合面积法求出角平分线与AC交点M到BC的距离CM，再用勾股定理求出BM的长度；最后通过两角对应相等证明△ABQ与△MBC相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出AQ的长度。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$AB=13$，$BC=5$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
由尺规作图痕迹可知：$BG$平分$∠ABC$，即$∠CBG=∠ABG$，且$AQ⊥BH$。
设$BG$与$AC$交于点$M$，过$M$作$MN⊥AB$于点$N$，如图。根据角平分线的性质，得$CM=MN$，设$CM=MN=x$。
由$S_{△ABC}=S_{△MBC}+S_{△ABM}$，可得：
$\frac{1}{2}BC·AC=\frac{1}{2}BC·CM+\frac{1}{2}AB·MN$
代入数值：$5×12=5x+13x$，解得$x=\frac{10}{3}$，即$CM=\frac{10}{3}$。
在$Rt△MBC$中，由勾股定理得：
$BM=\sqrt{BC^2+CM^2}=\sqrt{5^2+(\frac{10}{3})^2}=\frac{5\sqrt{13}}{3}$
又$∠AQB=∠C=90°$，$∠ABQ=∠MBC$，所以$△ABQ∽△MBC$。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AQ}{CM}=\frac{AB}{BM}$，代入数值：
$\frac{AQ}{\frac{10}{3}}=\frac{13}{\frac{5\sqrt{13}}{3}}$，解得$AQ=2\sqrt{13}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题将尺规作图识别和几何计算相结合，需要先准确判断作图得到的角平分线、垂线结论，再综合运用面积法、直角三角形性质、相似三角形知识求解，能较好地考查学生的识图能力和几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

7[2025陕西中考]如图,正方形ABCD的边长为4,点E为AB的中点,点F在AD上,EF⊥EC,则△CEF的面积为 ()


A.10
B.8
C.5
D.4

7.C 【解析】
∵正方形$ABCD$的边长为4,$E$为$AB$中点，
∴$AE=BE=\frac{1}{2}AB=2$,$CB=4$,$∠A=∠B=90°$.
∵$CE ⊥ EF$,
∴$∠CEF=90°$,
∴$∠AEF+∠CEB=90°$.
∵$∠CEB+∠BCE=90°$,
∴$∠AEF=∠BCE$.又
∵$∠A=∠B=90°$,
∴$△AFE∽△BEC$,
∴$\frac{AF}{BE}=\frac{AE}{BC}$,
∴$\frac{AF}{2}=\frac{2}{4}$,
∴$AF=1$.由勾股定理得$EF=\sqrt{AF^2+AE^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$,同理可得$CE=\sqrt{BE^2+BC^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$,
∴$S_{△CEF}=\frac{1}{2}EF·CE=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$.故选C.

【分析】
解题时首先结合正方形的性质确定已知线段长度和直角关系，再由EF⊥EC推导角的等量关系，证明两个直角三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例求出AF的长度，接着用勾股定理分别计算Rt△CEF的两条直角边EF、CE的长度，最后利用直角三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
∵正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，
∴$AE=BE=\frac{1}{2}AB=2$，$CB=4$，$∠A=∠B=90°$。
∵$CE⊥EF$，
∴$∠CEF=90°$，
∴$∠AEF+∠CEB=90°$。
又
∵$∠CEB+∠BCE=90°$，
∴$∠AEF=∠BCE$。
又
∵$∠A=∠B=90°$，
∴$△AFE∽△BEC$，
∴$\frac{AF}{BE}=\frac{AE}{BC}$，即$\frac{AF}{2}=\frac{2}{4}$，解得$AF=1$。
由勾股定理得：$EF=\sqrt{AF^2+AE^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
同理$CE=\sqrt{BE^2+BC^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
∴$S_{△CEF}=\frac{1}{2}·EF·CE=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的突破口是利用同角的余角相等得到相等的锐角，进而证明三角形相似求出未知线段长度，解题时需注意相似三角形对应边的比例关系不要写错。
【难度系数】
0.7

8[2025吉林长春中考]将直角三角形纸片ABC（∠C=90°）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（）


A.$MN// DE// PQ$
B.$BC=2DE=4MN$
C.$AN=BQ=\frac{1}{2}NQ$
D.$\frac{MN}{DE}=\frac{DE}{PQ}=\frac{PQ}{BC}$

8.D 【解析】由折叠可得$DE ⊥ AC$,$PQ ⊥ AC$,$MN ⊥ AC$,$AM = MD = DP = PC$,
∴$MN// DE // PQ// BC$,故A正确，不符合题意；
∴$△ADE∽△ACB$,$△AMN∽△ACB$,$△APQ∽△ACB$,
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$,$\frac{MN}{DE}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}$,$\frac{PQ}{AP}=\frac{3}{4}$,
∴$BC=2DE$,$DE=2MN$,即$BC=2DE=4MN$,故B正确，不符合题意；
∵$MN// PQ// BC$,
∴$\frac{PC}{AC}=\frac{BQ}{AB}=\frac{1}{4}$,$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}=\frac{1}{4}$,$\frac{PM}{AC}=\frac{QN}{AB}=\frac{1}{2}$,
∴$BQ=AN=\frac{1}{4}AB$,$QN=\frac{1}{2}AB$,
∴$AN=BQ=\frac{1}{2}NQ$,故C正确，不符合题意；
∵$MN// DE// PQ// BC$,
∴$△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ$,
∴$\frac{MN}{DE}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}$,$\frac{DE}{PQ}=\frac{AD}{AP}=\frac{2}{3}$,$\frac{PQ}{BC}=\frac{AP}{AC}=\frac{3}{4}$,
∴$\frac{MN}{DE}≠\frac{DE}{PQ}≠\frac{PQ}{BC}$,故D错误，符合题意，故选D.

【分析】
解决本题首先利用折叠的性质：折叠前后对应角相等、对应边相等，先得到AC被三条折痕四等分，且三条折痕都垂直于AC，因此折痕之间、折痕和BC都互相平行；再由平行判定三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，逐个验证四个选项的结论是否成立，找出错误选项即可。
【解析】
解：由折叠的性质可得：$DE⊥AC$，$PQ⊥AC$，$MN⊥AC$，$AM = MD = DP = PC$。
1. 验证选项A：
∵$∠C=90°$，即$BC⊥AC$，
∴$MN// DE// PQ// BC$，故A结论正确，不符合题意。
2. 验证选项B：
∵平行于三角形一边的直线截另两边，所得三角形与原三角形相似，
∴$△AMN∽△ADE∽△APQ∽△ACB$。
由$AM = MD = DP = PC$可得：
$\frac{MN}{DE}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}$，$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴$DE=2MN$，$BC=2DE$，即$BC=2DE=4MN$，故B结论正确，不符合题意。
3. 验证选项C：
由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{4}$，$\frac{BQ}{AB}=\frac{PC}{AC}=\frac{1}{4}$，$\frac{NQ}{AB}=\frac{MD+DP}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴$AN=BQ=\frac{1}{4}AB$，$NQ=\frac{1}{2}AB$，
∴$AN=BQ=\frac{1}{2}NQ$，故C结论正确，不符合题意。
4. 验证选项D：
由相似的性质可得：
$\frac{MN}{DE}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}$，$\frac{DE}{PQ}=\frac{AD}{AP}=\frac{2}{3}$，$\frac{PQ}{BC}=\frac{AP}{AC}=\frac{3}{4}$，
显然$\frac{1}{2}≠\frac{2}{3}≠\frac{3}{4}$，即$\frac{MN}{DE}≠\frac{DE}{PQ}≠\frac{PQ}{BC}$，故D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质；平行线的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题以直角三角形的折叠操作为背景，考查几何图形的性质应用，解题关键是从折叠操作中挖掘出线段相等、线平行这些隐含条件，再结合相似三角形的性质判断线段比例关系，能有效考查学生的逻辑推理能力和几何直观素养。
【难度系数】
0.6

9[2025广东广州中考]如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE//BC,若$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$,则
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=$.

9.$\frac{1}{9}$ 【解析】
∵$DE//BC$,
∴$△ADE∽△ABC$,
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$,故答案为$\frac{1}{9}$.

【分析】
解题时首先结合题干给出的$DE// BC$的条件，根据相似三角形的判定定理，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所得的三角形与原三角形相似，可推出$△ ADE ∽ △ ABC$。再回忆相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知相似比$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，将相似比平方即可求出两个三角形的面积比。
【解析】
$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2$，
代入$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$计算得：$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.相似三角形的性质
【点评】
本题是基础类考题，核心考查相似三角形的判定与性质的应用，解题时注意不要将相似三角形的面积比与边长比混淆，牢记面积比是相似比的平方即可快速求解。
【难度系数】
0.8