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25.（答案含评分细则）「2026安徽芜湖期末，★☆」（9分）小林的爸爸用3D打印机打印了一个摆件，所用材料为ABS塑料。小林想知道这个摆件是否为实心的，他用家里的电子秤测出摆件的质量为110 g，将该摆件完全浸入盛满水的容器中，溢出360 g的水。（已知$\rho_{水}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$，$\rho_{塑料}=1.1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$，$\rho_{冰}=0.9×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$）
（1）求该摆件的体积。
（2）通过计算说明该摆件是否是空心的，若是空心的，求出空心部分的体积；为提高摆件的稳定性，小林爸爸向空心部分注满水来增加其稳定性，但小林考虑冬天水会结冰，为了使水全部结成冰后，不至于把摆件胀裂，应至少倒掉多少克的水？
（1）求该摆件的体积。
（2）通过计算说明该摆件是否是空心的，若是空心的，求出空心部分的体积；为提高摆件的稳定性，小林爸爸向空心部分注满水来增加其稳定性，但小林考虑冬天水会结冰，为了使水全部结成冰后，不至于把摆件胀裂，应至少倒掉多少克的水？
答案
25.解析 (1)摆件浸没在盛满水的容器中，则摆件排开水的体积等于摆件的体积，摆件的体积为$V_{摆件}=V_{水}=\frac{m_{溢水}}{\rho_{水}}=\frac{0.36\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=3.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$。 …………………………（2分）
(2)摆件的质量为$m_{摆件}=110\ \mathrm{g}=0.11\ \mathrm{kg}$，则制作该摆件所需塑料的体积为$V_{塑料}=\frac{m_{摆件}}{\rho_{塑料}}=\frac{0.11\ \mathrm{kg}}{1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=1.0×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$，
……………………………………（2分）
摆件的实际体积大于所需塑料的体积，所以该摆件是空心的， ………………（1分）
摆件空心部分的体积为$V_{空心}=V_{摆件}-V_{塑料}=3.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3-1.0×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=2.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$；…………（1分）
水结成冰后，质量不变，体积变大，为了使水全部结成冰后，不至于把摆件胀裂，结成冰的体积不能超过空心部分的体积，所以所装水的最大质量为$m_{水}=m_{冰}=\rho_{冰}V_{空心}=0.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×2.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=0.234\ \mathrm{kg}$， ………………（1分）
空心部分注满水时水的质量为$m_{满水}=\rho_{水}V_{空心}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×2.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=0.26\ \mathrm{kg}$，………………（1分）
故至少倒掉水的质量为$m_{倒出}=m_{满水}-m_{水}=0.26\ \mathrm{kg}-0.234\ \mathrm{kg}=0.026\ \mathrm{kg}=26\ \mathrm{g}$。 ………………（1分）
(2)摆件的质量为$m_{摆件}=110\ \mathrm{g}=0.11\ \mathrm{kg}$，则制作该摆件所需塑料的体积为$V_{塑料}=\frac{m_{摆件}}{\rho_{塑料}}=\frac{0.11\ \mathrm{kg}}{1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=1.0×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$，
……………………………………（2分）
摆件的实际体积大于所需塑料的体积，所以该摆件是空心的， ………………（1分）
摆件空心部分的体积为$V_{空心}=V_{摆件}-V_{塑料}=3.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3-1.0×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=2.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$；…………（1分）
水结成冰后，质量不变，体积变大，为了使水全部结成冰后，不至于把摆件胀裂，结成冰的体积不能超过空心部分的体积，所以所装水的最大质量为$m_{水}=m_{冰}=\rho_{冰}V_{空心}=0.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×2.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=0.234\ \mathrm{kg}$， ………………（1分）
空心部分注满水时水的质量为$m_{满水}=\rho_{水}V_{空心}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×2.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=0.26\ \mathrm{kg}$，………………（1分）
故至少倒掉水的质量为$m_{倒出}=m_{满水}-m_{水}=0.26\ \mathrm{kg}-0.234\ \mathrm{kg}=0.026\ \mathrm{kg}=26\ \mathrm{g}$。 ………………（1分）
解析
【分析】
1. 第一问：利用阿基米德原理，摆件完全浸没时，排开水的体积等于摆件自身的体积，已知溢出水的质量和水的密度，根据密度公式变形可求出排开水的体积，即摆件体积。
2. 第二问：先根据摆件质量和塑料密度，计算制作该实心塑料摆件所需的体积，与实际体积对比，若实际体积更大则为空心；空心体积为实际体积减去塑料体积。
3. 第三问：水结冰后质量不变、体积变大，为避免摆件胀裂，冰的体积不能超过空心体积，据此算出空心部分最多能容纳的水的质量，再减去空心注满水的质量，差值即为需倒掉的水的质量。
【解析】
(1) 摆件完全浸没在盛满水的容器中，排开水的体积等于摆件体积，即 $ V_{摆件}=V_{溢水} $。
根据密度公式 $ \rho=\frac{m}{V} $，变形得 $ V=\frac{m}{\rho} $，则溢出水的体积：
$ V_{溢水}=\frac{m_{溢水}}{\rho_{水}}=\frac{0.36\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=3.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 $，故摆件体积 $ V_{摆件}=3.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 $。
(2) 计算制作摆件所需塑料的体积：
$ V_{塑料}=\frac{m_{摆件}}{\rho_{塑料}}=\frac{0.11\ \mathrm{kg}}{1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=1.0×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 $。
因 $ V_{摆件} ＞ V_{塑料} $，故摆件是空心的。
空心部分体积：$ V_{空心}=V_{摆件}-V_{塑料}=3.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 -1.0×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=2.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 $。
水结冰后质量不变、体积变大，为避免胀裂，冰的体积最大为空心体积，因此空心部分最多能容纳的水的质量（等于同体积冰的质量）：
$ m_{水最大}=m_{冰}=\rho_{冰}V_{空心}=0.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×2.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=0.234\ \mathrm{kg} $。
空心部分注满水时的总水质量：
$ m_{满水}=\rho_{水}V_{空心}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×2.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=0.26\ \mathrm{kg} $。
需倒掉水的质量：$ m_{倒出}=m_{满水}-m_{水最大}=0.26\ \mathrm{kg}-0.234\ \mathrm{kg}=0.026\ \mathrm{kg}=26\ \mathrm{g} $。
【答案】
(1) 摆件的体积为 $ 3.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 $；
(2) 该摆件是空心的，空心部分体积为 $ 2.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 $，应至少倒掉26克的水。
【知识点】
密度公式的应用；空心与实心的判断；质量与体积的关系
【点评】
本题综合考查密度知识的应用，结合阿基米德原理、空心判断及水结冰的体积变化，需灵活运用密度公式进行单位换算和计算，是密度章节的典型综合题，注重知识的迁移应用。
【难度系数】
0.6
1. 第一问：利用阿基米德原理，摆件完全浸没时，排开水的体积等于摆件自身的体积，已知溢出水的质量和水的密度，根据密度公式变形可求出排开水的体积，即摆件体积。
2. 第二问：先根据摆件质量和塑料密度，计算制作该实心塑料摆件所需的体积，与实际体积对比，若实际体积更大则为空心；空心体积为实际体积减去塑料体积。
3. 第三问：水结冰后质量不变、体积变大，为避免摆件胀裂，冰的体积不能超过空心体积，据此算出空心部分最多能容纳的水的质量，再减去空心注满水的质量，差值即为需倒掉的水的质量。
【解析】
(1) 摆件完全浸没在盛满水的容器中，排开水的体积等于摆件体积，即 $ V_{摆件}=V_{溢水} $。
根据密度公式 $ \rho=\frac{m}{V} $，变形得 $ V=\frac{m}{\rho} $，则溢出水的体积：
$ V_{溢水}=\frac{m_{溢水}}{\rho_{水}}=\frac{0.36\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=3.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 $，故摆件体积 $ V_{摆件}=3.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 $。
(2) 计算制作摆件所需塑料的体积：
$ V_{塑料}=\frac{m_{摆件}}{\rho_{塑料}}=\frac{0.11\ \mathrm{kg}}{1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=1.0×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 $。
因 $ V_{摆件} ＞ V_{塑料} $，故摆件是空心的。
空心部分体积：$ V_{空心}=V_{摆件}-V_{塑料}=3.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 -1.0×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=2.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 $。
水结冰后质量不变、体积变大，为避免胀裂，冰的体积最大为空心体积，因此空心部分最多能容纳的水的质量（等于同体积冰的质量）：
$ m_{水最大}=m_{冰}=\rho_{冰}V_{空心}=0.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×2.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=0.234\ \mathrm{kg} $。
空心部分注满水时的总水质量：
$ m_{满水}=\rho_{水}V_{空心}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×2.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=0.26\ \mathrm{kg} $。
需倒掉水的质量：$ m_{倒出}=m_{满水}-m_{水最大}=0.26\ \mathrm{kg}-0.234\ \mathrm{kg}=0.026\ \mathrm{kg}=26\ \mathrm{g} $。
【答案】
(1) 摆件的体积为 $ 3.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 $；
(2) 该摆件是空心的，空心部分体积为 $ 2.6×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 $，应至少倒掉26克的水。
【知识点】
密度公式的应用；空心与实心的判断；质量与体积的关系
【点评】
本题综合考查密度知识的应用，结合阿基米德原理、空心判断及水结冰的体积变化，需灵活运用密度公式进行单位换算和计算，是密度章节的典型综合题，注重知识的迁移应用。
【难度系数】
0.6
