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1[2025云南楚雄州二模]若二次函数$y=(x+h)^2 +k$的图象如图所示，则点$P(h,k)$所在的象限是（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
1.D 【解析】二次函数$y=(x+h)^2+k$图象的顶点为$(-h,k)$. 由题图得图象顶点在第三象限，$\therefore -h＜0$，$k＜0$，$\therefore h＞0,k＜0$，$\therefore$ 点$P(h,k)$在第四象限. 故选 D.
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数顶点式的顶点坐标公式，再结合图象确定顶点所在象限，得到顶点横、纵坐标的符号，进而推导h、k的符号，最终判断点P所在的象限。第一步：明确二次函数$y=(x+h)^2 +k$的顶点坐标为$(-h,k)$；第二步：观察图象可知抛物线顶点在第三象限，因此顶点的横坐标小于0、纵坐标小于0，即$-h＜0$，$k＜0$；第三步：解不等式得到$h＞0$，结合$k＜0$，即可判断横坐标为正、纵坐标为负的点所在的象限。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=(x+h)^2 +k$为顶点式，其图象的顶点坐标为$(-h,k)$，
由题图可知，该二次函数图象的顶点在第三象限，
$\therefore$ 顶点的横坐标小于0，纵坐标小于0，即$\begin{cases}-h＜0 \\ k＜0\end{cases}$，
解得$h＞0$，$k＜0$，
$\therefore$ 点$P(h,k)$的横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限内点的坐标特征，故点P在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数顶点式性质 2.象限内点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象与平面直角坐标系的结合题，核心是掌握顶点式中各参数对应的顶点坐标，结合图象读取顶点位置信息即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数顶点式的顶点坐标公式，再结合图象确定顶点所在象限，得到顶点横、纵坐标的符号，进而推导h、k的符号，最终判断点P所在的象限。第一步：明确二次函数$y=(x+h)^2 +k$的顶点坐标为$(-h,k)$；第二步：观察图象可知抛物线顶点在第三象限，因此顶点的横坐标小于0、纵坐标小于0，即$-h＜0$，$k＜0$；第三步：解不等式得到$h＞0$，结合$k＜0$，即可判断横坐标为正、纵坐标为负的点所在的象限。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=(x+h)^2 +k$为顶点式，其图象的顶点坐标为$(-h,k)$，
由题图可知，该二次函数图象的顶点在第三象限，
$\therefore$ 顶点的横坐标小于0，纵坐标小于0，即$\begin{cases}-h＜0 \\ k＜0\end{cases}$，
解得$h＞0$，$k＜0$，
$\therefore$ 点$P(h,k)$的横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限内点的坐标特征，故点P在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数顶点式性质 2.象限内点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象与平面直角坐标系的结合题，核心是掌握顶点式中各参数对应的顶点坐标，结合图象读取顶点位置信息即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
2[2025浙江宁波期末]已知$A(a,b),B(a+2,c)$两点均在函数$y=(x-1)^2 - 2025$的图象上.若$b＜c$,则$a$的取值范围为（
A.$a＞2$
B.$a＞1$
C.$a＞0$
D.$0＜a＜2$
C
）A.$a＞2$
B.$a＞1$
C.$a＞0$
D.$0＜a＜2$
答案
2.C 【解析】$\because$ 函数$y=(x-1)^2 - 2025$，$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$. $\because A(a,b),B(a+2,c)$，$b＜c$，$\therefore$ 点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，$\therefore$ 当$a≥1$时，$b＜c$恒成立；当$a＜1$时，$a+2-1＞1-a$，解得$a＞0$，$\therefore a＞0$，故选 C.
解析
【分析】
本题考查二次函数的图象与性质应用，解题思路如下：①先根据给出的二次函数解析式，确定抛物线的开口方向和对称轴；②明确开口向上的抛物线的性质：点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大；③结合$b＜c$可知点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，分点A在对称轴左侧、右侧两种情况讨论，列出不等式求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：$\because$ 二次函数解析式为$y=(x-1)^2 - 2025$，
$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
已知$A(a,b)$，$B(a+2,c)$，且$b＜c$，根据开口向上的抛物线性质：点到对称轴距离越远，函数值越大，可得点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离。
分两种情况讨论：
1. 当$a≥1$时，两点均在对称轴右侧，抛物线在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，
$\because a+2＞a$，$\therefore c＞b$恒成立，符合题意；
2. 当$a＜1$时，点A在对称轴左侧，点B到对称轴的距离为$(a+2)-1$，点A到对称轴的距离为$1-a$，
由距离关系可得：$a+2-1＞1-a$，
解得：$a＞0$，即此时$0＜a＜1$。
综合两种情况，可得$a$的取值范围为$a＞0$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数增减性；一元一次不等式求解
【点评】
本题是二次函数性质的常规应用题型，解题核心是掌握开口方向确定时，二次函数值大小与点到对称轴距离的对应关系，通过分类讨论或绝对值不等式均可求解，能很好地考查学生对二次函数性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数的图象与性质应用，解题思路如下：①先根据给出的二次函数解析式，确定抛物线的开口方向和对称轴；②明确开口向上的抛物线的性质：点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大；③结合$b＜c$可知点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，分点A在对称轴左侧、右侧两种情况讨论，列出不等式求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：$\because$ 二次函数解析式为$y=(x-1)^2 - 2025$，
$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
已知$A(a,b)$，$B(a+2,c)$，且$b＜c$，根据开口向上的抛物线性质：点到对称轴距离越远，函数值越大，可得点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离。
分两种情况讨论：
1. 当$a≥1$时，两点均在对称轴右侧，抛物线在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，
$\because a+2＞a$，$\therefore c＞b$恒成立，符合题意；
2. 当$a＜1$时，点A在对称轴左侧，点B到对称轴的距离为$(a+2)-1$，点A到对称轴的距离为$1-a$，
由距离关系可得：$a+2-1＞1-a$，
解得：$a＞0$，即此时$0＜a＜1$。
综合两种情况，可得$a$的取值范围为$a＞0$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数增减性；一元一次不等式求解
【点评】
本题是二次函数性质的常规应用题型，解题核心是掌握开口方向确定时，二次函数值大小与点到对称轴距离的对应关系，通过分类讨论或绝对值不等式均可求解，能很好地考查学生对二次函数性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
3 已知二次函数$y=-(x-t)^2+5$（$t$为常数），在自变量$x$的值满足$2≤x≤4$的情况下，$y$的最大值为$-4$，则$t$的值为 （
A.$-1$
B.$-1$或$1$
C.$-1$或$5$
D.$-1$或$7$
D
）A.$-1$
B.$-1$或$1$
C.$-1$或$5$
D.$-1$或$7$
答案
3.D 【解析】$\because$ 二次函数$y=-(x-t)^2+5$（$t$为常数），$\therefore$ 该函数图象的对称轴是直线$x=t$，图象开口向下. $\because$ 当$2≤ x≤4$时，$y$的最大值为$-4$，$\therefore$ 当$t≤2$时，$y=-(2-t)^2+5=-4$，解得$t_1=-1$，$t_2=5$（舍去）；当$2＜t＜4$时，$y$的最大值是5，与题意不符；当$t≥4$时，$y=-(4-t)^2+5=-4$，解得$t_3=1$（舍去），$t_4=7$. 综上可得，$t$的值是$-1$或7. 故选 D.
解析
【分析】
首先明确二次函数$y=-(x-t)^2+5$开口向下，对称轴为直线$x=t$，顶点处可取得最大值5。已知在$2≤x≤4$范围内函数最大值为-4，小于顶点最大值，说明对称轴不在该区间内，因此需分三种情况讨论对称轴与区间$[2,4]$的位置关系：①对称轴在区间左侧（$t≤2$）；②对称轴在区间内部（$2＜t＜4$）；③对称轴在区间右侧（$t≥4$），分别计算每种情况下的区间最大值，令其等于-4求解$t$，舍去不符合分类范围的解即可得到结果。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=-(x-t)^2+5$的二次项系数为$-1＜0$，
$\therefore$ 函数图象开口向下，对称轴为直线$x=t$，顶点处函数取得最大值5。
已知$2≤x≤4$时，$y$的最大值为$-4$，分三种情况讨论：
1. 当$t≤2$时，在$2≤x≤4$范围内，$y$随$x$的增大而减小，因此$x=2$时$y$取得最大值，
代入得：$-(2-t)^2+5=-4$，
整理得$(2-t)^2=9$，解得$t_1=-1$，$t_2=5$，
$\because t≤2$，$\therefore t_2=5$不符合要求，舍去；
2. 当$2＜t＜4$时，顶点在区间内部，此时$y$的最大值为顶点值5，与题目中最大值为-4矛盾，故该情况不存在；
3. 当$t≥4$时，在$2≤x≤4$范围内，$y$随$x$的增大而增大，因此$x=4$时$y$取得最大值，
代入得：$-(4-t)^2+5=-4$，
整理得$(4-t)^2=9$，解得$t_3=1$，$t_4=7$，
$\because t≥4$，$\therefore t_3=1$不符合要求，舍去。
综上，$t$的值为$-1$或$7$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数最值的常考题型，解题关键是明确开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大，需根据对称轴与给定区间的位置关系分类讨论，注意求解后要验证结果是否符合分类的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
首先明确二次函数$y=-(x-t)^2+5$开口向下，对称轴为直线$x=t$，顶点处可取得最大值5。已知在$2≤x≤4$范围内函数最大值为-4，小于顶点最大值，说明对称轴不在该区间内，因此需分三种情况讨论对称轴与区间$[2,4]$的位置关系：①对称轴在区间左侧（$t≤2$）；②对称轴在区间内部（$2＜t＜4$）；③对称轴在区间右侧（$t≥4$），分别计算每种情况下的区间最大值，令其等于-4求解$t$，舍去不符合分类范围的解即可得到结果。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=-(x-t)^2+5$的二次项系数为$-1＜0$，
$\therefore$ 函数图象开口向下，对称轴为直线$x=t$，顶点处函数取得最大值5。
已知$2≤x≤4$时，$y$的最大值为$-4$，分三种情况讨论：
1. 当$t≤2$时，在$2≤x≤4$范围内，$y$随$x$的增大而减小，因此$x=2$时$y$取得最大值，
代入得：$-(2-t)^2+5=-4$，
整理得$(2-t)^2=9$，解得$t_1=-1$，$t_2=5$，
$\because t≤2$，$\therefore t_2=5$不符合要求，舍去；
2. 当$2＜t＜4$时，顶点在区间内部，此时$y$的最大值为顶点值5，与题目中最大值为-4矛盾，故该情况不存在；
3. 当$t≥4$时，在$2≤x≤4$范围内，$y$随$x$的增大而增大，因此$x=4$时$y$取得最大值，
代入得：$-(4-t)^2+5=-4$，
整理得$(4-t)^2=9$，解得$t_3=1$，$t_4=7$，
$\because t≥4$，$\therefore t_3=1$不符合要求，舍去。
综上，$t$的值为$-1$或$7$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数最值的常考题型，解题关键是明确开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大，需根据对称轴与给定区间的位置关系分类讨论，注意求解后要验证结果是否符合分类的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
4[2025河南濮阳质检]如图是二次函数$y=a(x+1)^2+2$图象的一部分，该图象在y轴右侧与x轴交点的坐标是
(1,0)
。答案
4.$\boldsymbol{(1,0)}$ 【解析】由二次函数$y=a(x+1)^2+2$可知图象对称轴为直线$x=-1$. 由题图得图象在对称轴左侧与$x$轴交点为$(-3,0)$，根据对称性，可得图象在对称轴右侧与$x$轴交点的坐标是$(1,0)$.
解析
【分析】
解题时首先从给出的二次函数顶点式入手，回忆顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，先确定该二次函数的对称轴；再结合图像找到对称轴左侧与x轴的交点坐标，利用二次函数图像关于对称轴对称的性质，可知两个x轴交点到对称轴的距离相等，由此计算出右侧与x轴交点的坐标即可。
【解析】
由二次函数的顶点式$y=a(x+1)^2+2$，可得该函数图象的对称轴为直线$x=-1$。
从题图中可读出，图象在对称轴左侧与$x$轴的交点坐标为$(-3,0)$。
由于二次函数图象与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，点$(-3,0)$到对称轴$x=-1$的距离为$\vert -3 - (-1)\vert=2$，因此对称轴右侧与x轴的交点到$x=-1$的距离也为2，对应横坐标为$-1+2=1$，即该交点坐标为$(1,0)$。
【答案】
$\boldsymbol{(1,0)}$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数对称性；轴对称点坐标计算
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是利用二次函数的对称性求交点坐标，只需掌握顶点式对称轴的判断方法与对称点的计算规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从给出的二次函数顶点式入手，回忆顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，先确定该二次函数的对称轴；再结合图像找到对称轴左侧与x轴的交点坐标，利用二次函数图像关于对称轴对称的性质，可知两个x轴交点到对称轴的距离相等，由此计算出右侧与x轴交点的坐标即可。
【解析】
由二次函数的顶点式$y=a(x+1)^2+2$，可得该函数图象的对称轴为直线$x=-1$。
从题图中可读出，图象在对称轴左侧与$x$轴的交点坐标为$(-3,0)$。
由于二次函数图象与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，点$(-3,0)$到对称轴$x=-1$的距离为$\vert -3 - (-1)\vert=2$，因此对称轴右侧与x轴的交点到$x=-1$的距离也为2，对应横坐标为$-1+2=1$，即该交点坐标为$(1,0)$。
【答案】
$\boldsymbol{(1,0)}$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数对称性；轴对称点坐标计算
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是利用二次函数的对称性求交点坐标，只需掌握顶点式对称轴的判断方法与对称点的计算规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5[2026内蒙古乌兰察布期中]关于二次函数$y=x^2+4x+1$，下列说法正确的是（
A.函数图象的开口向下
B.函数图象的顶点坐标是$(2,5)$
C.该函数的最大值是5
D.当$x＞-2$时，y随x的增大而增大
D
）A.函数图象的开口向下
B.函数图象的顶点坐标是$(2,5)$
C.该函数的最大值是5
D.当$x＞-2$时，y随x的增大而增大
答案
5.D 【解析】$\because$ 二次函数$y=x^2+4x+1$，$a=1＞0$，$\therefore$ 函数图象的开口向上，故A选项错误，不符合题意；$\because y=x^2+4x+1=(x+2)^2-3$，$\therefore$ 函数图象的顶点坐标是$(-2,-3)$，该函数有最小值，最小值是$-3$，故B、C选项错误，不符合题意；$\because$ 函数图象的对称轴为直线$x=-2$，且函数图象的开口向上，$\therefore$ 当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而增大，故D选项正确，符合题意. 故选 D.
解析
【分析】
解答本题可按以下步骤思考：第一步，先通过二次函数一般式的二次项系数a的正负判断图象开口方向，验证A选项；第二步，用配方法将一般式转化为顶点式，得到顶点坐标和函数最值，验证B、C选项；第三步，结合开口方向和对称轴分析函数的增减性，验证D选项，最终选出正确答案。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=x^2+4x+1$中，$a=1＞0$，$\therefore$ 函数图象的开口向上，故A选项错误，不符合题意；
$\because y=x^2+4x+1=(x+2)^2-3$，$\therefore$ 函数图象的顶点坐标是$(-2,-3)$，该函数有最小值，最小值是$-3$，故B、C选项错误，不符合题意；
$\because$ 函数图象的对称轴为直线$x=-2$，且图象开口向上，$\therefore$ 当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而增大，故D选项正确，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；配方法化顶点式；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，解题核心是熟练掌握二次函数开口方向、顶点坐标、最值、增减性的判断方法，需注意开口向上的二次函数只有最小值，无最大值。
【难度系数】
0.8
解答本题可按以下步骤思考：第一步，先通过二次函数一般式的二次项系数a的正负判断图象开口方向，验证A选项；第二步，用配方法将一般式转化为顶点式，得到顶点坐标和函数最值，验证B、C选项；第三步，结合开口方向和对称轴分析函数的增减性，验证D选项，最终选出正确答案。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=x^2+4x+1$中，$a=1＞0$，$\therefore$ 函数图象的开口向上，故A选项错误，不符合题意；
$\because y=x^2+4x+1=(x+2)^2-3$，$\therefore$ 函数图象的顶点坐标是$(-2,-3)$，该函数有最小值，最小值是$-3$，故B、C选项错误，不符合题意；
$\because$ 函数图象的对称轴为直线$x=-2$，且图象开口向上，$\therefore$ 当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而增大，故D选项正确，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；配方法化顶点式；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，解题核心是熟练掌握二次函数开口方向、顶点坐标、最值、增减性的判断方法，需注意开口向上的二次函数只有最小值，无最大值。
【难度系数】
0.8
6[2025云南昆明期中]已知抛物线$C_1:y_1=x^2+2x+1$经过平移后得到抛物线$C_2:y_2=x^2+2x-1$.若抛物线$C_1$上点$P$的坐标是$(m,n)$,则点$P$平移后的对应点$Q$的坐标是 (
A.$(m,n+2)$
B.$(m-2,n)$
C.$(m,n-2)$
D.$(m-2,n-2)$
C
)A.$(m,n+2)$
B.$(m-2,n)$
C.$(m,n-2)$
D.$(m-2,n-2)$
答案
6.C 【解析】$\because y_1=x^2+2x+1=(x+1)^2$，$y_2=x^2+2x-1=(x+1)^2-2$，$\therefore$ 抛物线$C_1:y_1=x^2+2x+1$向下平移2个单位后得到抛物线$C_2:y_2=x^2+2x-1$，$\therefore$ 点$P(m,n)$平移后的对应点$Q$的坐标是$(m,n-2)$，故选 C.
解析
【分析】
解决本题首先要明确抛物线平移时，其上所有点的平移规律和抛物线整体平移规律一致。解题时先将两个抛物线的一般式通过配方转化为顶点式，通过对比顶点坐标的变化确定抛物线的平移方向和距离，再根据该平移规律计算点P平移后的对应点Q的坐标即可。
【解析】
首先对两个抛物线的解析式配方化为顶点式：
$y_1=x^2+2x+1=(x+1)^2$，
$y_2=x^2+2x-1=(x^2+2x+1)-2=(x+1)^2-2$，
对比两个顶点式可知，抛物线$C_1$向下平移2个单位长度得到抛物线$C_2$。
根据抛物线平移与点平移的规律一致，点$P(m,n)$向下平移2个单位时，横坐标不变，纵坐标减2，因此对应点$Q$的坐标为$(m,n-2)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移，配方法化顶点式，点平移坐标变化
【点评】
本题考查二次函数图象的平移相关知识，解题核心是掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，先通过顶点式确定整体平移方式，再推导对应点的坐标变化，属于平移类基础题型。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确抛物线平移时，其上所有点的平移规律和抛物线整体平移规律一致。解题时先将两个抛物线的一般式通过配方转化为顶点式，通过对比顶点坐标的变化确定抛物线的平移方向和距离，再根据该平移规律计算点P平移后的对应点Q的坐标即可。
【解析】
首先对两个抛物线的解析式配方化为顶点式：
$y_1=x^2+2x+1=(x+1)^2$，
$y_2=x^2+2x-1=(x^2+2x+1)-2=(x+1)^2-2$，
对比两个顶点式可知，抛物线$C_1$向下平移2个单位长度得到抛物线$C_2$。
根据抛物线平移与点平移的规律一致，点$P(m,n)$向下平移2个单位时，横坐标不变，纵坐标减2，因此对应点$Q$的坐标为$(m,n-2)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移，配方法化顶点式，点平移坐标变化
【点评】
本题考查二次函数图象的平移相关知识，解题核心是掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，先通过顶点式确定整体平移方式，再推导对应点的坐标变化，属于平移类基础题型。
【难度系数】
0.8
7[2025陕西西安期中]在平面直角坐标系中，二次函数$y=x^2+2(m-1)x+m^2-2m$（$m$为常数）的图象经过点$(-1,y_1)$，$(0,3)$，且$y_1＜3$，则$m$的值是（
A.1或3
B.-1或3
C.3
D.-1
C
）A.1或3
B.-1或3
C.3
D.-1
答案
7.C 【解析】由题意将点$(0,3)$代入二次函数$y=x^2+2(m-1)x+m^2-2m$，得$3=m^2-2m$，即$m^2-2m-3=0$，解得$m=3$或$m=-1$. 当$m=3$时，$y_1=(-1)^2+2×(3-1)×(-1)+3^2-2×3=0$，满足条件$y_1＜3$；当$m=-1$时，$y_1=(-1)^2+2×(-1-1)×(-1)+(-1)^2-2×(-1)=8$，不满足条件$y_1＜3$. 综上所述，$m=3$. 故选 C.
解析
【分析】
本题考查二次函数参数求解，解题思路分两步：第一步，利用二次函数图象上的点坐标满足函数解析式的性质，将已知点(0,3)代入函数式，得到关于m的一元二次方程，求解得到m的两个候选值；第二步，将点(-1,y₁)分别代入两个候选m对应的函数式，计算y₁的值，验证是否满足y₁＜3的限制条件，舍去不符合的m值，最终得到正确结果。
【解析】
1. 求m的候选值：
将点$(0,3)$代入二次函数$y=x^2+2(m-1)x+m^2-2m$，把$x=0,y=3$代入得：
$3 = m^2 - 2m$
整理为一元二次方程标准形式：$m^2 - 2m - 3 = 0$
因式分解得$(m-3)(m+1)=0$，解得$m=3$或$m=-1$。
2. 验证限制条件：
分别将两个m值代入函数，计算点$(-1,y_1)$的纵坐标，判断是否满足$y_1＜3$：
①当$m=3$时，代入$x=-1$得：
$y_1=(-1)^2+2×(3-1)×(-1)+3^2-2×3=1-4+3=0$
$0＜3$，符合条件。
②当$m=-1$时，代入$x=-1$得：
$y_1=(-1)^2+2×(-1-1)×(-1)+(-1)^2-2×(-1)=1+4+1+2=8$
$8＞3$，不符合条件，舍去。
综上，$m$的值为3。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象的性质；解一元二次方程；代数式求值
【点评】
本题是二次函数常考基础题型，解题关键是牢记函数图象上任意一点的坐标都满足对应的函数解析式，同时要注意题干给出的附加限制条件，对求出的参数逐一检验，避免出现多解漏判的错误。
【难度系数】
0.6
本题考查二次函数参数求解，解题思路分两步：第一步，利用二次函数图象上的点坐标满足函数解析式的性质，将已知点(0,3)代入函数式，得到关于m的一元二次方程，求解得到m的两个候选值；第二步，将点(-1,y₁)分别代入两个候选m对应的函数式，计算y₁的值，验证是否满足y₁＜3的限制条件，舍去不符合的m值，最终得到正确结果。
【解析】
1. 求m的候选值：
将点$(0,3)$代入二次函数$y=x^2+2(m-1)x+m^2-2m$，把$x=0,y=3$代入得：
$3 = m^2 - 2m$
整理为一元二次方程标准形式：$m^2 - 2m - 3 = 0$
因式分解得$(m-3)(m+1)=0$，解得$m=3$或$m=-1$。
2. 验证限制条件：
分别将两个m值代入函数，计算点$(-1,y_1)$的纵坐标，判断是否满足$y_1＜3$：
①当$m=3$时，代入$x=-1$得：
$y_1=(-1)^2+2×(3-1)×(-1)+3^2-2×3=1-4+3=0$
$0＜3$，符合条件。
②当$m=-1$时，代入$x=-1$得：
$y_1=(-1)^2+2×(-1-1)×(-1)+(-1)^2-2×(-1)=1+4+1+2=8$
$8＞3$，不符合条件，舍去。
综上，$m$的值为3。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象的性质；解一元二次方程；代数式求值
【点评】
本题是二次函数常考基础题型，解题关键是牢记函数图象上任意一点的坐标都满足对应的函数解析式，同时要注意题干给出的附加限制条件，对求出的参数逐一检验，避免出现多解漏判的错误。
【难度系数】
0.6
8 已知$(-4,m),(-3,y_1),(-2,y_2),(1,y_3),(0,m)$是抛物线$y=ax^2+bx+c(a＜0)$上的点，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是
$y_3＜y_1＜y_2$
.(用“＜”连接)答案
8.$\boldsymbol{y_3＜y_1＜y_2}$ 【解析】$\because (-4,m),(0,m)$是抛物线$y=ax^2+bx+c(a＜0)$上的点，$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴是直线$x=\frac{-4+0}{2}=-2$，$\therefore$ 当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而增大. $\because (1,y_3)$关于直线$x=-2$的对称点是$(-5,y_3)$，$-5＜-3＜-2$，$\therefore y_3＜y_1＜y_2$.
解析
【分析】
解题时首先观察到点$(-4,m)$和$(0,m)$的纵坐标相等，说明这两点关于抛物线的对称轴对称，由此可先求出抛物线的对称轴；再结合$a＜0$可知抛物线开口向下，开口向下的抛物线在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，右侧$y$随$x$的增大而减小；由于给出的$(1,y_3)$在对称轴右侧，我们可以先找到它关于对称轴的对称点，将所有要比较的点转化到对称轴的同一侧，再利用增减性比较大小即可。
【解析】
$\because (-4,m),(0,m)$是抛物线$y=ax^2+bx+c(a＜0)$上的点，纵坐标相同，
$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴是直线$x=\frac{-4+0}{2}=-2$。
$\because$ 抛物线开口向下，当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而增大，
点$(1,y_3)$关于直线$x=-2$的对称点是$(-5,y_3)$，
又$\because -5＜-3＜-2$，
$\therefore y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
$\boldsymbol{y_3＜y_1＜y_2}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是先利用纵坐标相等的两点快速求出对称轴，再结合开口方向，通过对称转化或者计算点到对称轴的距离即可比较函数值大小，解题方法灵活。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到点$(-4,m)$和$(0,m)$的纵坐标相等，说明这两点关于抛物线的对称轴对称，由此可先求出抛物线的对称轴；再结合$a＜0$可知抛物线开口向下，开口向下的抛物线在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，右侧$y$随$x$的增大而减小；由于给出的$(1,y_3)$在对称轴右侧，我们可以先找到它关于对称轴的对称点，将所有要比较的点转化到对称轴的同一侧，再利用增减性比较大小即可。
【解析】
$\because (-4,m),(0,m)$是抛物线$y=ax^2+bx+c(a＜0)$上的点，纵坐标相同，
$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴是直线$x=\frac{-4+0}{2}=-2$。
$\because$ 抛物线开口向下，当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而增大，
点$(1,y_3)$关于直线$x=-2$的对称点是$(-5,y_3)$，
又$\because -5＜-3＜-2$，
$\therefore y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
$\boldsymbol{y_3＜y_1＜y_2}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是先利用纵坐标相等的两点快速求出对称轴，再结合开口方向，通过对称转化或者计算点到对称轴的距离即可比较函数值大小，解题方法灵活。
【难度系数】
0.7
9 已知二次函数 $y=-x^2+bx+c$ 的图象经过点 $A(-1,0),B(3,0)$。
(1)求 $b,c$ 的值及这个图象的顶点坐标。
(2)若点 $P(m,n)$ 在该二次函数图象上,且到 $y$ 轴的距离小于2,求 $n$ 的取值范围。
刷易错 ▶………………小心有坑~
(1)求 $b,c$ 的值及这个图象的顶点坐标。
(2)若点 $P(m,n)$ 在该二次函数图象上,且到 $y$ 轴的距离小于2,求 $n$ 的取值范围。
刷易错 ▶………………小心有坑~
答案
9.【解】(1) 把$A(-1,0)$，$B(3,0)$代入$y=-x^2+bx+c$中，得$\begin{cases}-(-1)^2 -b +c=0,\\-3^2 +3b +c=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=2,\\c=3,\end{cases}$ $\therefore b$的值为2，$c$的值为3，$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$，$\therefore -\frac{b}{2a}=-\frac{2}{-2}=1$，$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{-4×3 -2^2}{-4}=4$，$\therefore$ 图象的顶点坐标为$(1,4)$.
(2)$\because$ 由(1)得二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$，$\therefore$ 把$x=-2$代入表达式，得$y=-(-2)^2+2×(-2)+3=-5$，把$x=2$代入表达式，得$y=-2^2+2×2+3=3$. $\because$ 点$P(m,n)$在该二次函数图象上，且到$y$轴的距离小于2，$\therefore -2＜m＜2$. 又$\because$ 二次函数图象顶点坐标为$(1,4)$，$\therefore -5＜n≤4$.
(2)$\because$ 由(1)得二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$，$\therefore$ 把$x=-2$代入表达式，得$y=-(-2)^2+2×(-2)+3=-5$，把$x=2$代入表达式，得$y=-2^2+2×2+3=3$. $\because$ 点$P(m,n)$在该二次函数图象上，且到$y$轴的距离小于2，$\therefore -2＜m＜2$. 又$\because$ 二次函数图象顶点坐标为$(1,4)$，$\therefore -5＜n≤4$.
解析
【分析】
(1) 已知二次函数图象经过A、B两个定点，两点坐标满足函数解析式，因此将两点坐标代入解析式即可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组就能求出b、c的值；求顶点坐标可直接使用九年级所学的顶点坐标公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$计算，也可通过配方为顶点式求解。
(2) 点P到y轴的距离小于2，可转化为自变量m的取值范围是$-2＜m＜2$；结合二次函数开口向下的性质，区间内的最大值为顶点纵坐标，再计算区间端点$x=-2$和$x=2$对应的函数值，结合自变量的取值限制即可确定n的取值范围。
【解析】
(1) 把$A(-1,0)$，$B(3,0)$代入$y=-x^2+bx+c$中，得：
$\begin{cases}-(-1)^2 -b +c=0\\-3^2 +3b +c=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=2\\c=3\end{cases}$
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$，其中$a=-1,b=2,c=3$。
根据顶点坐标公式：
横坐标为$-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，
纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-1)×3 -2^2}{4×(-1)}=4$，
$\therefore$ 图象的顶点坐标为$(1,4)$。
(2) $\because$ 点$P(m,n)$到$y$轴的距离小于2，$\therefore |m|＜2$，即$-2＜m＜2$。
把$x=-2$代入函数表达式，得$y=-(-2)^2+2×(-2)+3=-5$；
把$x=2$代入函数表达式，得$y=-2^2+2×2+3=3$。
$\because$ 二次函数开口向下，顶点$(1,4)$在$-2＜m＜2$的范围内，$\therefore$ 当$x=1$时，$n$取最大值4；
又$\because m$取不到$-2$，$\therefore n$取不到$-5$，即$n$的取值范围为$-5＜n≤4$。
【答案】
(1) $b=2$，$c=3$，顶点坐标为$(1,4)$；
(2) $-5＜n≤4$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点坐标计算；二次函数性质应用
【点评】
本题属于二次函数基础题型，第一问是待定系数法求解析式的常规考查，第二问需要结合自变量的取值范围，利用二次函数的开口方向和顶点位置确定函数值的范围，易错点是容易忽略自变量取不到端点值，错误判断函数值的端点是否可取。
【难度系数】
0.7
(1) 已知二次函数图象经过A、B两个定点，两点坐标满足函数解析式，因此将两点坐标代入解析式即可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组就能求出b、c的值；求顶点坐标可直接使用九年级所学的顶点坐标公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$计算，也可通过配方为顶点式求解。
(2) 点P到y轴的距离小于2，可转化为自变量m的取值范围是$-2＜m＜2$；结合二次函数开口向下的性质，区间内的最大值为顶点纵坐标，再计算区间端点$x=-2$和$x=2$对应的函数值，结合自变量的取值限制即可确定n的取值范围。
【解析】
(1) 把$A(-1,0)$，$B(3,0)$代入$y=-x^2+bx+c$中，得：
$\begin{cases}-(-1)^2 -b +c=0\\-3^2 +3b +c=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=2\\c=3\end{cases}$
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$，其中$a=-1,b=2,c=3$。
根据顶点坐标公式：
横坐标为$-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，
纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-1)×3 -2^2}{4×(-1)}=4$，
$\therefore$ 图象的顶点坐标为$(1,4)$。
(2) $\because$ 点$P(m,n)$到$y$轴的距离小于2，$\therefore |m|＜2$，即$-2＜m＜2$。
把$x=-2$代入函数表达式，得$y=-(-2)^2+2×(-2)+3=-5$；
把$x=2$代入函数表达式，得$y=-2^2+2×2+3=3$。
$\because$ 二次函数开口向下，顶点$(1,4)$在$-2＜m＜2$的范围内，$\therefore$ 当$x=1$时，$n$取最大值4；
又$\because m$取不到$-2$，$\therefore n$取不到$-5$，即$n$的取值范围为$-5＜n≤4$。
【答案】
(1) $b=2$，$c=3$，顶点坐标为$(1,4)$；
(2) $-5＜n≤4$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点坐标计算；二次函数性质应用
【点评】
本题属于二次函数基础题型，第一问是待定系数法求解析式的常规考查，第二问需要结合自变量的取值范围，利用二次函数的开口方向和顶点位置确定函数值的范围，易错点是容易忽略自变量取不到端点值，错误判断函数值的端点是否可取。
【难度系数】
0.7
10 已知二次函数$y=x^2 - 3x + 1$，当$x≥6$时，它的最小值为
19
。答案
10.$\boldsymbol{19}$ 【解析】因为$y=x^2-3x+1=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}$，所以当$x≥\frac{3}{2}$时，$y$随$x$的增大而增大. 又因为$x≥6$，所以当$x=6$时，$y$取得最小值，为$6^2-3×6+1=19$.
解析
【分析】
解决这类限定区间的二次函数最值问题，可按以下思路思考：首先分析二次函数的基本性质，由二次项系数判断开口方向，再通过配方或对称轴公式求出对称轴，明确函数的增减规律；其次判断给定的自变量取值范围$x≥6$位于对称轴的哪一侧，确定该区间内函数的增减性；最后根据增减性找到取最小值时对应的x值，代入解析式计算即可得到结果。
【解析】
先将二次函数解析式配方为顶点式：
$y=x^2-3x+1=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}$
该二次函数的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$，可得当$x≥\frac{3}{2}$时，y随x的增大而增大。
已知自变量取值范围为$x≥6$，$6＞\frac{3}{2}$，因此该区间在对称轴右侧，函数随x增大而增大，故当$x=6$时，y取得最小值。
代入$x=6$计算：
$y=6^2-3×6+1=36-18+1=19$
【答案】
19
【知识点】
二次函数性质，二次函数最值，配方法
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题关键是不要直接套用顶点的最值，要结合给定的自变量取值范围判断函数的增减性，再确定最值对应的自变量取值，计算时注意准确率即可。
【难度系数】
0.8
解决这类限定区间的二次函数最值问题，可按以下思路思考：首先分析二次函数的基本性质，由二次项系数判断开口方向，再通过配方或对称轴公式求出对称轴，明确函数的增减规律；其次判断给定的自变量取值范围$x≥6$位于对称轴的哪一侧，确定该区间内函数的增减性；最后根据增减性找到取最小值时对应的x值，代入解析式计算即可得到结果。
【解析】
先将二次函数解析式配方为顶点式：
$y=x^2-3x+1=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}$
该二次函数的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$，可得当$x≥\frac{3}{2}$时，y随x的增大而增大。
已知自变量取值范围为$x≥6$，$6＞\frac{3}{2}$，因此该区间在对称轴右侧，函数随x增大而增大，故当$x=6$时，y取得最小值。
代入$x=6$计算：
$y=6^2-3×6+1=36-18+1=19$
【答案】
19
【知识点】
二次函数性质，二次函数最值，配方法
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题关键是不要直接套用顶点的最值，要结合给定的自变量取值范围判断函数的增减性，再确定最值对应的自变量取值，计算时注意准确率即可。
【难度系数】
0.8
