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1[2026吉林松原期中,中]如图,抛物线$y=(x-h)^2$与x轴只有一个交点M,且与平行于x轴的直线l交于A,B两点(A在B的左侧),若AB=3,则点M到直线l的距离是 (
A.$\dfrac{7}{3}$
B.$\dfrac{9}{4}$
C.$\dfrac{11}{5}$
D.$\dfrac{13}{6}$
B
)A.$\dfrac{7}{3}$
B.$\dfrac{9}{4}$
C.$\dfrac{11}{5}$
D.$\dfrac{13}{6}$
答案
【解析】设点$M$到直线$l$的距离为$a$. 对于$y=(x-h)^2$,令$y=a$,则$(x-h)^2=a$,解得$x=h\pm\sqrt{a}$,$\therefore A(h-\sqrt{a},a)$,$B(h+\sqrt{a},a)$.$\because AB=3$,$\therefore h+\sqrt{a}-(h-\sqrt{a})=3$,解得$a=\frac{9}{4}$,故选 B.
解析
【分析】
首先抛物线$y=(x-h)^2$的顶点为$M(h,0)$，且抛物线关于直线$x=h$对称。由于直线$l$平行于$x$轴，点$M$到直线$l$的距离就是直线$l$对应的纵坐标值，我们设该距离为$a$，则直线$l$上所有点的纵坐标均为$a$。接下来令抛物线解析式中$y=a$，解一元二次方程得到抛物线与直线$l$两个交点的横坐标，再根据$AB=3$（水平线段长度为两端点横坐标的差）列方程求解，即可得到$a$的值，也就是所求的距离。
【解析】
设点$M$到直线$l$的距离为$a$。
对于抛物线$y=(x-h)^2$，令$y=a$，可得$(x-h)^2=a$，
解得$x=h+\sqrt{a}$，$x=h-\sqrt{a}$，
因此$A(h-\sqrt{a},a)$，$B(h+\sqrt{a},a)$。
已知$AB=3$，$A$、$B$纵坐标相同，线段长度为横坐标之差：
$h+\sqrt{a}-(h-\sqrt{a})=3$
化简得$2\sqrt{a}=3$，解得$\sqrt{a}=\frac{3}{2}$，平方得$a=\frac{9}{4}$。
故选B。
【答案】B
【知识点】
二次函数顶点式性质；函数交点求解；水平线段长度计算
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题时可借助抛物线的对称性简化分析，结合一元二次方程求解交点，再通过线段长度建立方程即可得到结果，属于二次函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.6
首先抛物线$y=(x-h)^2$的顶点为$M(h,0)$，且抛物线关于直线$x=h$对称。由于直线$l$平行于$x$轴，点$M$到直线$l$的距离就是直线$l$对应的纵坐标值，我们设该距离为$a$，则直线$l$上所有点的纵坐标均为$a$。接下来令抛物线解析式中$y=a$，解一元二次方程得到抛物线与直线$l$两个交点的横坐标，再根据$AB=3$（水平线段长度为两端点横坐标的差）列方程求解，即可得到$a$的值，也就是所求的距离。
【解析】
设点$M$到直线$l$的距离为$a$。
对于抛物线$y=(x-h)^2$，令$y=a$，可得$(x-h)^2=a$，
解得$x=h+\sqrt{a}$，$x=h-\sqrt{a}$，
因此$A(h-\sqrt{a},a)$，$B(h+\sqrt{a},a)$。
已知$AB=3$，$A$、$B$纵坐标相同，线段长度为横坐标之差：
$h+\sqrt{a}-(h-\sqrt{a})=3$
化简得$2\sqrt{a}=3$，解得$\sqrt{a}=\frac{3}{2}$，平方得$a=\frac{9}{4}$。
故选B。
【答案】B
【知识点】
二次函数顶点式性质；函数交点求解；水平线段长度计算
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题时可借助抛物线的对称性简化分析，结合一元二次方程求解交点，再通过线段长度建立方程即可得到结果，属于二次函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.6
2[中]已知二次函数$y=(x-h)^2$（$h$为常数），当自变量$x$的值满足$1≤x≤3$时，其对应的函数值$y$的最小值为1，则$h$的值为（
A.2或4
B.0或4
C.2或3
D.0或3
B
）A.2或4
B.0或4
C.2或3
D.0或3
答案
【解析】函数图象的对称轴为直线$x=h$,开口向上. ①当$h\ge 3$时,$x=3$时,函数取得最小值 1,即$(3-h)^2=1$,解得$h=4$或$h=2$(舍去);②当$h\le 1$时,$x=1$时,函数取得最小值 1,即$(1-h)^2=1$,解得$h=0$或$h=2$(舍去);③当$1＜h＜3$时,$x=h$时,函数取得最小值 0,不符合题意. 综上,$h=4$或$h=0$. 故选 B.
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=(x-h)^2$的性质：该函数开口向上，对称轴为直线$x=h$，在对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大，顶点处（$x=h$）函数取最小值0。由于题目限定了自变量x的范围是$1≤x≤3$，且最小值为1，说明最小值不在顶点处取（否则最小值为0，不符合），因此需要分三类讨论对称轴与给定区间的位置关系：①对称轴在区间左侧（$h≤1$）；②对称轴在区间右侧（$h≥3$）；③对称轴在区间内部（$1＜h＜3$），分别计算对应情况下的最小值，列方程求解后舍去不符合分类条件的解即可。
【解析】
二次函数$y=(x-h)^2$的图象开口向上，对称轴为直线$x=h$。
①当$h≥3$时，$1≤x≤3$在对称轴左侧，y随x的增大而减小，因此$x=3$时函数取得最小值1，代入得：
$(3-h)^2=1$，
解得$h=4$或$h=2$，其中$h=2＜3$不符合该分类条件，舍去，故$h=4$；
②当$h≤1$时，$1≤x≤3$在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因此$x=1$时函数取得最小值1，代入得：
$(1-h)^2=1$，
解得$h=0$或$h=2$，其中$h=2＞1$不符合该分类条件，舍去，故$h=0$；
③当$1＜h＜3$时，$x=h$时函数取得最小值0，不符合“最小值为1”的题意，舍去。
综上，h的值为0或4，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数图象与性质
2. 分类讨论思想
3. 二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数最值的常见考法，解题核心是明确开口方向、对称轴与自变量取值区间的位置关系，分类讨论时要注意验证所求的解是否符合对应分类的前提条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
首先回忆二次函数$y=(x-h)^2$的性质：该函数开口向上，对称轴为直线$x=h$，在对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大，顶点处（$x=h$）函数取最小值0。由于题目限定了自变量x的范围是$1≤x≤3$，且最小值为1，说明最小值不在顶点处取（否则最小值为0，不符合），因此需要分三类讨论对称轴与给定区间的位置关系：①对称轴在区间左侧（$h≤1$）；②对称轴在区间右侧（$h≥3$）；③对称轴在区间内部（$1＜h＜3$），分别计算对应情况下的最小值，列方程求解后舍去不符合分类条件的解即可。
【解析】
二次函数$y=(x-h)^2$的图象开口向上，对称轴为直线$x=h$。
①当$h≥3$时，$1≤x≤3$在对称轴左侧，y随x的增大而减小，因此$x=3$时函数取得最小值1，代入得：
$(3-h)^2=1$，
解得$h=4$或$h=2$，其中$h=2＜3$不符合该分类条件，舍去，故$h=4$；
②当$h≤1$时，$1≤x≤3$在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因此$x=1$时函数取得最小值1，代入得：
$(1-h)^2=1$，
解得$h=0$或$h=2$，其中$h=2＞1$不符合该分类条件，舍去，故$h=0$；
③当$1＜h＜3$时，$x=h$时函数取得最小值0，不符合“最小值为1”的题意，舍去。
综上，h的值为0或4，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数图象与性质
2. 分类讨论思想
3. 二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数最值的常见考法，解题核心是明确开口方向、对称轴与自变量取值区间的位置关系，分类讨论时要注意验证所求的解是否符合对应分类的前提条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
3 [2026 浙江温州质检，中]设函数 $ y_1 = -(x - m)^2, y_2 = -(x - n)^2 $，直线 $ x=1 $ 与函数 $ y_1,y_2 $ 的图象分别交于点 $ A(1,a_1),B(1,a_2) $，下列判断正确的是（
A.若 $ 1＜m＜n $，则 $ a_1 ＜ a_2 $
B.若 $ m＜1＜n $，则 $ a_1 ＜ a_2 $
C.若 $ m＜n＜1 $，则 $ a_1 ＜ a_2 $
D.若 $ m＜n＜1 $，则 $ a_2 ＜ a_1 $
C
）A.若 $ 1＜m＜n $，则 $ a_1 ＜ a_2 $
B.若 $ m＜1＜n $，则 $ a_1 ＜ a_2 $
C.若 $ m＜n＜1 $，则 $ a_1 ＜ a_2 $
D.若 $ m＜n＜1 $，则 $ a_2 ＜ a_1 $
答案
【解析】如图(1)所示,若$1＜m＜n$,则$a_1＞a_2$,故A 选项错误;如图(2)、图(3)所示,若$m＜1＜n$,则$a_1＞a_2$或$a_1＜a_2$,故 B 选项错误;如图(4)所示,若$m＜n＜1$,则$a_1＜a_2$,故 C 选项正确,D 选项错误. 故选 C.
解析
【分析】
要比较x=1时两个二次函数的函数值$a_1$、$a_2$的大小，首先先写出$a_1$、$a_2$的表达式：$a_1=-(1-m)^2$，$a_2=-(1-n)^2$。因为两个表达式都是平方的相反数，所以哪个的底数绝对值越大，对应的函数值越小。因此只需根据各选项给出的m、n和1的大小关系，判断$|1-m|$和$|1-n|$的大小，即可得出$a_1$、$a_2$的大小关系；也可以结合二次函数图象，根据x=1到两个抛物线对称轴（分别为x=m、x=n）的距离判断：开口向下的抛物线，点离对称轴越远，函数值越小。
【解析】
当x=1时，代入两个函数得：
$a_1=-(1-m)^2$，$a_2=-(1-n)^2$。
对各选项逐一分析：
1. 选项A：若$1＜m＜n$，则$|1-m|=m-1$，$|1-n|=n-1$，由$m＜n$得$m-1 ＜ n-1$，因此$(1-m)^2 ＜ (1-n)^2$，两边乘-1得$-(1-m)^2 ＞ -(1-n)^2$，即$a_1＞a_2$，A错误。
2. 选项B：若$m＜1＜n$，则$|1-m|=1-m$，$|1-n|=n-1$，$1-m$和$n-1$的大小无法确定，因此$a_1$、$a_2$的大小关系不确定，B错误。
3. 选项C、D：若$m＜n＜1$，则$|1-m|=1-m$，$|1-n|=1-n$，由$m＜n$得$1-m ＞ 1-n$，因此$(1-m)^2 ＞ (1-n)^2$，两边乘-1得$-(1-m)^2 ＜ -(1-n)^2$，即$a_1＜a_2$，故C正确，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，函数值大小比较
【点评】
本题考查二次函数的图象与性质，既可以通过代数运算直接推导大小关系，也可以结合图象利用抛物线的对称性和增减性快速判断，是二次函数性质的典型应用题型，能很好地考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
要比较x=1时两个二次函数的函数值$a_1$、$a_2$的大小，首先先写出$a_1$、$a_2$的表达式：$a_1=-(1-m)^2$，$a_2=-(1-n)^2$。因为两个表达式都是平方的相反数，所以哪个的底数绝对值越大，对应的函数值越小。因此只需根据各选项给出的m、n和1的大小关系，判断$|1-m|$和$|1-n|$的大小，即可得出$a_1$、$a_2$的大小关系；也可以结合二次函数图象，根据x=1到两个抛物线对称轴（分别为x=m、x=n）的距离判断：开口向下的抛物线，点离对称轴越远，函数值越小。
【解析】
当x=1时，代入两个函数得：
$a_1=-(1-m)^2$，$a_2=-(1-n)^2$。
对各选项逐一分析：
1. 选项A：若$1＜m＜n$，则$|1-m|=m-1$，$|1-n|=n-1$，由$m＜n$得$m-1 ＜ n-1$，因此$(1-m)^2 ＜ (1-n)^2$，两边乘-1得$-(1-m)^2 ＞ -(1-n)^2$，即$a_1＞a_2$，A错误。
2. 选项B：若$m＜1＜n$，则$|1-m|=1-m$，$|1-n|=n-1$，$1-m$和$n-1$的大小无法确定，因此$a_1$、$a_2$的大小关系不确定，B错误。
3. 选项C、D：若$m＜n＜1$，则$|1-m|=1-m$，$|1-n|=1-n$，由$m＜n$得$1-m ＞ 1-n$，因此$(1-m)^2 ＞ (1-n)^2$，两边乘-1得$-(1-m)^2 ＜ -(1-n)^2$，即$a_1＜a_2$，故C正确，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，函数值大小比较
【点评】
本题考查二次函数的图象与性质，既可以通过代数运算直接推导大小关系，也可以结合图象利用抛物线的对称性和增减性快速判断，是二次函数性质的典型应用题型，能很好地考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
4[中]在平面直角坐标系内有线段PQ，已知$P(3,1),Q(9,1)$，若抛物线$y=(x-a)^2$与线段PQ有交点，则a的取值范围是
$2\le a\le 10$
。答案
【解析】由$y=(x-a)^2$可得抛物线的对称轴为直线$x=a$,顶点坐标为$(a,0)$. 当对称轴在点$P$左侧时,$a＜3$,把$P(3,1)$代入$y=(x-a)^2$得$1=(3-a)^2$,解得$a=2$或$a=4$(舍去);当对称轴在点$Q$右侧时,$a＞9$,把$Q(9,1)$代入$y=(x-a)^2$得$1=(9-a)^2$,解得$a=10$或$a=8$(舍去),$\therefore$ 当$2\le a\le 10$时,抛物线$y=(x-a)^2$与线段$PQ$有交点,故答案为$2\le a\le 10$.
方法技巧
解决此类问题抓住“临界点”是关键,从而得出字母参数的取值范围.
方法技巧
解决此类问题抓住“临界点”是关键,从而得出字母参数的取值范围.
解析
【分析】
首先明确线段PQ的特征：P(3,1)、Q(9,1)纵坐标均为1，因此线段PQ是直线y=1上x取值范围为3≤x≤9的水平线段。抛物线y=(x-a)²是开口向上的抛物线，对称轴为直线x=a，顶点坐标为(a,0)。要判断抛物线与线段PQ是否有交点，可先找到抛物线刚好经过点P、刚好经过点Q这两个临界情况对应的a值，再结合抛物线平移的规律即可确定a的取值范围。
【解析】
抛物线$y=(x-a)^2$开口向上，对称轴为直线$x=a$，顶点坐标为$(a,0)$。
线段PQ的纵坐标恒为1，x的取值范围是$3\le x\le9$：
1. 当对称轴在点P左侧（$a＜3$）时，若抛物线刚好与线段PQ交于P点，将$P(3,1)$代入$y=(x-a)^2$得：
$1=(3-a)^2$，解得$a=2$或$a=4$，结合$a＜3$的条件，舍去$a=4$，得临界值$a=2$。
2. 当对称轴在点Q右侧（$a＞9$）时，若抛物线刚好与线段PQ交于Q点，将$Q(9,1)$代入$y=(x-a)^2$得：
$1=(9-a)^2$，解得$a=10$或$a=8$，结合$a＞9$的条件，舍去$a=8$，得临界值$a=10$。
3. 当对称轴在$3\le a\le9$范围内时，开口向上的抛物线必然会与$y=1$在$3\le x\le9$范围内产生交点。
综上，a的取值范围是$2\le a\le10$。
【答案】
$2\le a\le10$
【知识点】
二次函数的性质，函数交点问题，一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数与线段交点的典型问题，解题核心是抓住临界点分析，通过代入线段端点的特殊值求出参数的临界值，再结合函数图象特征确定最终的参数范围，运用数形结合思想可有效降低解题难度。
【难度系数】
0.6
首先明确线段PQ的特征：P(3,1)、Q(9,1)纵坐标均为1，因此线段PQ是直线y=1上x取值范围为3≤x≤9的水平线段。抛物线y=(x-a)²是开口向上的抛物线，对称轴为直线x=a，顶点坐标为(a,0)。要判断抛物线与线段PQ是否有交点，可先找到抛物线刚好经过点P、刚好经过点Q这两个临界情况对应的a值，再结合抛物线平移的规律即可确定a的取值范围。
【解析】
抛物线$y=(x-a)^2$开口向上，对称轴为直线$x=a$，顶点坐标为$(a,0)$。
线段PQ的纵坐标恒为1，x的取值范围是$3\le x\le9$：
1. 当对称轴在点P左侧（$a＜3$）时，若抛物线刚好与线段PQ交于P点，将$P(3,1)$代入$y=(x-a)^2$得：
$1=(3-a)^2$，解得$a=2$或$a=4$，结合$a＜3$的条件，舍去$a=4$，得临界值$a=2$。
2. 当对称轴在点Q右侧（$a＞9$）时，若抛物线刚好与线段PQ交于Q点，将$Q(9,1)$代入$y=(x-a)^2$得：
$1=(9-a)^2$，解得$a=10$或$a=8$，结合$a＞9$的条件，舍去$a=8$，得临界值$a=10$。
3. 当对称轴在$3\le a\le9$范围内时，开口向上的抛物线必然会与$y=1$在$3\le x\le9$范围内产生交点。
综上，a的取值范围是$2\le a\le10$。
【答案】
$2\le a\le10$
【知识点】
二次函数的性质，函数交点问题，一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数与线段交点的典型问题，解题核心是抓住临界点分析，通过代入线段端点的特殊值求出参数的临界值，再结合函数图象特征确定最终的参数范围，运用数形结合思想可有效降低解题难度。
【难度系数】
0.6
5[2026山东德州期末,较难]如图,点$P_1,P_2,P_3,\dots,P_n$在抛物线$y=a(x-1)^2$上,点$Q_1,Q_2,Q_3,\dots,Q_n$在抛物线的对称轴上,若$△ P_1Q_0Q_1$,$△ P_2Q_1Q_2,\dots,△ P_nQ_{n-1}Q_n$都为等边三角形(点$Q_0$是抛物线的顶点)且$Q_0Q_1=2$,则$P_n$的坐标为
$(\sqrt{3}n+1,n^2)$
.答案
【解析】如图,分别过点$P_1$,$P_2$作$P_1M_1 ⊥ Q_1Q_0$,$P_2M_2 ⊥ Q_1Q_2$,垂足分别为$M_1$,$M_2$.$\because$ 点$Q_1,Q_2,Q_3,\dots,Q_n$在抛物线$y=a(x-1)^2$的对称轴上,对称轴为直线$x=1$,则点$Q_1,Q_2,Q_3,\dots,Q_n$的横坐标为 1.$\because Q_0Q_1=2$,$\therefore Q_0M_1=\frac{1}{2}Q_0Q_1=1$,$M_1P_1=\sqrt{3}$,$\therefore P_1(1+\sqrt{3},1)$.$\because P_1(1+\sqrt{3},1)$在抛物线$y=a(x-1)^2$上,$\therefore 1=3a$,解得$a=\frac{1}{3}$,$\therefore$ 抛物线表达式为$y=\frac{1}{3}(x-1)^2$. 设$Q_1Q_2=m$,$\therefore Q_1M_2=\frac{m}{2}$,$M_2P_2=\frac{\sqrt{3}}{2}m$,则$P_2$的纵坐标为$\frac{1}{2}m+2$,$P_2$的横坐标为$\frac{\sqrt{3}}{2}m+1$,$\therefore \frac{1}{2}m+2=\frac{1}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}m+1-1)^2$,解得$m=-2$(舍去)或$m=4$,$\therefore P_2$的纵坐标为 4,$P_2$的横坐标为$\frac{\sqrt{3}}{2}×4+1=2\sqrt{3}+1$,即$P_2(2\sqrt{3}+1,4)$.$\because$ 点$P_1,P_2,P_3,\dots,P_n$在抛物线$y=\frac{1}{3}(x-1)^2$上,且在第一象限,$\therefore$ 横坐标与纵坐标满足$x=\sqrt{3y}+1$. 同理可得$P_3$的纵坐标为 9,横坐标为$\sqrt{3×9}+1=3\sqrt{3}+1$,$\dots$,$P_n$的纵坐标为$n^2$,横坐标为$\sqrt{3× n^2}+1=\sqrt{3}n+1$,$\therefore P_n(\sqrt{3}n+1,n^2)$,故答案为$(\sqrt{3}n+1,n^2)$.
关键点拨
分别过点$P_1$,$P_2$作$P_1M_1 ⊥ Q_1Q_0$,$P_2M_2 ⊥ Q_1Q_2$,垂足分别为$M_1$,$M_2$. 求出抛物线表达式,得出点$P_1,P_2,P_3,\dots,P_n$的横坐标与纵坐标满足$x=\sqrt{3y}+1$是解题关键.
解析
【分析】
解题时首先明确抛物线$y=a(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$，顶点$Q_0$坐标为$(1,0)$。利用等边三角形“三线合一”的性质，过抛物线上的点$P_n$作对称轴的垂线，垂足为对应等边三角形底边的中点，即可用等边三角形的边长表示出$P_n$的横、纵坐标。先根据$Q_0Q_1=2$求出$P_1$的坐标，代入抛物线解析式求出$a$的值确定抛物线表达式；再同理求出$P_2$的坐标，观察坐标规律归纳得到$P_n$的坐标即可。
【解析】
如图，分别过点$P_1$、$P_2$作$P_1M_1 ⊥ Q_1Q_0$，$P_2M_2 ⊥ Q_1Q_2$，垂足分别为$M_1$、$M_2$。
1. 确定抛物线对称轴：抛物线$y=a(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$，因此$Q_0,Q_1,Q_2,\dots,Q_n$的横坐标均为1，顶点$Q_0$的坐标为$(1,0)$。
2. 求$P_1$坐标及$a$的值：已知$Q_0Q_1=2$，$△ P_1Q_0Q_1$为等边三角形，由三线合一得$Q_0M_1=\frac{1}{2}Q_0Q_1=1$，等边三角形的高$M_1P_1=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，因此$P_1(1+\sqrt{3},1)$。
将$P_1$代入抛物线解析式得$1=a(1+\sqrt{3}-1)^2$，解得$a=\frac{1}{3}$，即抛物线解析式为$y=\frac{1}{3}(x-1)^2$。
3. 求$P_2$坐标：设$Q_1Q_2=m$，同理可得$Q_1M_2=\frac{m}{2}$，$M_2P_2=\frac{\sqrt{3}}{2}m$，则$P_2$的纵坐标为$2+\frac{m}{2}$，横坐标为$1+\frac{\sqrt{3}}{2}m$。
将$P_2$代入解析式得$2+\frac{m}{2}=\frac{1}{3}(1+\frac{\sqrt{3}}{2}m -1)^2$，整理求解得$m=4$（负值舍去），因此$P_2$的纵坐标为$2+\frac{4}{2}=4$，横坐标为$1+\frac{\sqrt{3}}{2}×4=1+2\sqrt{3}$，即$P_2(1+2\sqrt{3},4)$。
4. 归纳规律：观察$P_1(1+\sqrt{3},1)$、$P_2(1+2\sqrt{3},4)$，同理可得$P_3(1+3\sqrt{3},9)$，以此类推，$P_n$的纵坐标为$n^2$，横坐标为$1+\sqrt{3}n$。
【答案】
$(\sqrt{3}n+1,n^2)$
【知识点】
二次函数的图象性质，等边三角形的性质，规律探究
【点评】
本题将二次函数性质与等边三角形性质相结合，需要通过求解特殊点坐标归纳得到一般规律，解题核心是利用等边三角形三线合一的性质表示出抛物线上点的坐标，对逻辑推理和归纳总结能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
解题时首先明确抛物线$y=a(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$，顶点$Q_0$坐标为$(1,0)$。利用等边三角形“三线合一”的性质，过抛物线上的点$P_n$作对称轴的垂线，垂足为对应等边三角形底边的中点，即可用等边三角形的边长表示出$P_n$的横、纵坐标。先根据$Q_0Q_1=2$求出$P_1$的坐标，代入抛物线解析式求出$a$的值确定抛物线表达式；再同理求出$P_2$的坐标，观察坐标规律归纳得到$P_n$的坐标即可。
【解析】
如图，分别过点$P_1$、$P_2$作$P_1M_1 ⊥ Q_1Q_0$，$P_2M_2 ⊥ Q_1Q_2$，垂足分别为$M_1$、$M_2$。
1. 确定抛物线对称轴：抛物线$y=a(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$，因此$Q_0,Q_1,Q_2,\dots,Q_n$的横坐标均为1，顶点$Q_0$的坐标为$(1,0)$。
2. 求$P_1$坐标及$a$的值：已知$Q_0Q_1=2$，$△ P_1Q_0Q_1$为等边三角形，由三线合一得$Q_0M_1=\frac{1}{2}Q_0Q_1=1$，等边三角形的高$M_1P_1=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，因此$P_1(1+\sqrt{3},1)$。
将$P_1$代入抛物线解析式得$1=a(1+\sqrt{3}-1)^2$，解得$a=\frac{1}{3}$，即抛物线解析式为$y=\frac{1}{3}(x-1)^2$。
3. 求$P_2$坐标：设$Q_1Q_2=m$，同理可得$Q_1M_2=\frac{m}{2}$，$M_2P_2=\frac{\sqrt{3}}{2}m$，则$P_2$的纵坐标为$2+\frac{m}{2}$，横坐标为$1+\frac{\sqrt{3}}{2}m$。
将$P_2$代入解析式得$2+\frac{m}{2}=\frac{1}{3}(1+\frac{\sqrt{3}}{2}m -1)^2$，整理求解得$m=4$（负值舍去），因此$P_2$的纵坐标为$2+\frac{4}{2}=4$，横坐标为$1+\frac{\sqrt{3}}{2}×4=1+2\sqrt{3}$，即$P_2(1+2\sqrt{3},4)$。
4. 归纳规律：观察$P_1(1+\sqrt{3},1)$、$P_2(1+2\sqrt{3},4)$，同理可得$P_3(1+3\sqrt{3},9)$，以此类推，$P_n$的纵坐标为$n^2$，横坐标为$1+\sqrt{3}n$。
【答案】
$(\sqrt{3}n+1,n^2)$
【知识点】
二次函数的图象性质，等边三角形的性质，规律探究
【点评】
本题将二次函数性质与等边三角形性质相结合，需要通过求解特殊点坐标归纳得到一般规律，解题核心是利用等边三角形三线合一的性质表示出抛物线上点的坐标，对逻辑推理和归纳总结能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
6[2026广东广州校级期中,中]如图,抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点为A,与y轴的负半轴交于点B,且$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}$.
(1)求抛物线的表达式;
(2)若点C是该抛物线上A,B两点之间的一点(点C不与点A,B重合),当$S_{△ ABC}$最大时,求点C的坐标.
刷素养 走向重高
(1)求抛物线的表达式;
(2)若点C是该抛物线上A,B两点之间的一点(点C不与点A,B重合),当$S_{△ ABC}$最大时,求点C的坐标.
刷素养 走向重高
答案
【解】(1)由题易得$A(-1,0)$,$B(0,a)$,$a＜0$,$\therefore OA=1$,$OB=-a$. $\because S_{△ AOB}=\frac{1}{2}$,$\therefore \frac{1}{2}×1×(-a)=\frac{1}{2}$,解得$a=-1$,$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-(x+1)^2$.
(2)$\because A(-1,0)$,$B(0,-1)$,$\therefore$ 易得$AB$所在直线的表达式为$y=-x-1$.
如图,过$C$作$x$轴的垂线,交$AB$于点$D$.
设$C(x,-(x+1)^2)(-1＜x＜0)$,则$D(x,-x-1)$,$\therefore CD=-(x+1)^2+x+1=-x^2-x$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(-x^2-x)×1=-\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{8}$.
$\because -\frac{1}{2}＜0$,$\therefore$ 当$x=-\frac{1}{2}$时,$S_{△ ABC}$最大,此时点$C$的坐标为$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$.
解析
【分析】
(1) 首先根据抛物线顶点式直接得到顶点A的坐标，再求出抛物线与y轴交点B的坐标，结合△AOB的面积公式列关于a的方程，解出a即可得到抛物线解析式；
(2) 先利用待定系数法求出直线AB的解析式，求△ABC面积最大值可采用铅垂高法：过C作x轴垂线交AB于D，设出C点横坐标，分别表示出C、D的纵坐标，得到线段CD的长度表达式，再根据“三角形面积=1/2×水平宽×铅垂高”将△ABC的面积表示为关于x的二次函数，利用二次函数的最值性质求出面积最大时x的值，即可得到C点坐标。
【解析】
(1) 由抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点式可得顶点A的坐标为$(-1,0)$，
当$x=0$时，$y=a$，即B点坐标为$(0,a)$，由图象可知$a＜0$，
$\therefore OA=1$，$OB=-a$，
$\because S_{△ AOB}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{1}{2} × 1 × (-a) = \frac{1}{2}$，解得$a=-1$，
$\therefore$抛物线的表达式为$y=-(x+1)^2$。
(2) 已知$A(-1,0)$，$B(0,-1)$，设直线AB的解析式为$y=kx+b$，
将A、B两点坐标代入得$\begin{cases} 0=-k+b \\ -1=b \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=-1 \end{cases}$，
$\therefore$直线AB的表达式为$y=-x-1$。
过点C作x轴的垂线，交AB于点D，
设点C的坐标为$(x,-(x+1)^2)$（$-1＜x＜0$），则D点横坐标也为x，代入直线AB解析式得$D(x,-x-1)$，
$\therefore CD = (-x-1) - [-(x+1)^2] = -x^2 -x$，
△ABC的水平宽为A、B两点的水平距离1，
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × (-x^2 -x) × 1 = -\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{8}$，
$\because -\frac{1}{2}＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$当$x=-\frac{1}{2}$时，$S_{△ ABC}$取得最大值，
此时点C的纵坐标为$-(-\frac{1}{2}+1)^2=-\frac{1}{4}$，即点C坐标为$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=-(x+1)^2}$；
(2) 点C的坐标为$\boldsymbol{(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4})}$。
【知识点】
二次函数的性质，待定系数法，二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数的典型常考题，既考查了二次函数解析式的基础求解方法，也考查了坐标系下三角形面积最值的常用解法，解题关键是掌握铅垂高法表示三角形面积，结合二次函数性质求最值。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据抛物线顶点式直接得到顶点A的坐标，再求出抛物线与y轴交点B的坐标，结合△AOB的面积公式列关于a的方程，解出a即可得到抛物线解析式；
(2) 先利用待定系数法求出直线AB的解析式，求△ABC面积最大值可采用铅垂高法：过C作x轴垂线交AB于D，设出C点横坐标，分别表示出C、D的纵坐标，得到线段CD的长度表达式，再根据“三角形面积=1/2×水平宽×铅垂高”将△ABC的面积表示为关于x的二次函数，利用二次函数的最值性质求出面积最大时x的值，即可得到C点坐标。
【解析】
(1) 由抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点式可得顶点A的坐标为$(-1,0)$，
当$x=0$时，$y=a$，即B点坐标为$(0,a)$，由图象可知$a＜0$，
$\therefore OA=1$，$OB=-a$，
$\because S_{△ AOB}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{1}{2} × 1 × (-a) = \frac{1}{2}$，解得$a=-1$，
$\therefore$抛物线的表达式为$y=-(x+1)^2$。
(2) 已知$A(-1,0)$，$B(0,-1)$，设直线AB的解析式为$y=kx+b$，
将A、B两点坐标代入得$\begin{cases} 0=-k+b \\ -1=b \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=-1 \end{cases}$，
$\therefore$直线AB的表达式为$y=-x-1$。
过点C作x轴的垂线，交AB于点D，
设点C的坐标为$(x,-(x+1)^2)$（$-1＜x＜0$），则D点横坐标也为x，代入直线AB解析式得$D(x,-x-1)$，
$\therefore CD = (-x-1) - [-(x+1)^2] = -x^2 -x$，
△ABC的水平宽为A、B两点的水平距离1，
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × (-x^2 -x) × 1 = -\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{8}$，
$\because -\frac{1}{2}＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$当$x=-\frac{1}{2}$时，$S_{△ ABC}$取得最大值，
此时点C的纵坐标为$-(-\frac{1}{2}+1)^2=-\frac{1}{4}$，即点C坐标为$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=-(x+1)^2}$；
(2) 点C的坐标为$\boldsymbol{(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4})}$。
【知识点】
二次函数的性质，待定系数法，二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数的典型常考题，既考查了二次函数解析式的基础求解方法，也考查了坐标系下三角形面积最值的常用解法，解题关键是掌握铅垂高法表示三角形面积，结合二次函数性质求最值。
【难度系数】
0.6
7 思想方法 方程思想[较难]如图,在$Rt△ OAB$中,$∠ OAB=90°$,$O$为坐标原点,边$OA$在$x$轴上,$OA=AB=1$,现把$△ OAB$沿$x$轴的正方向平移1个单位长度后得$△ AA_1B_1$.
(1)求以$A$为顶点,且经过点$B_1$的抛物线的表达式;
(2)若(1)中的抛物线与$OB$交于点$C$,与$y$轴交于点$D$,求点$C,D$的坐标.
(1)求以$A$为顶点,且经过点$B_1$的抛物线的表达式;
(2)若(1)中的抛物线与$OB$交于点$C$,与$y$轴交于点$D$,求点$C,D$的坐标.
答案
【解】(1)$\because OA=AB=1$,$∠ OAB=90°$,$\therefore A(1,0)$,$B(1,1)$. 由平移的性质,得$A_1(2,0)$,$B_1(2,1)$.
$\because$ 抛物线的顶点为$A(1,0)$,$\therefore$ 可设抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2$.
把$B_1(2,1)$代入$y=a(x-1)^2$,得$a=1$,$\therefore$ 以$A$为顶点,且经过点$B_1$的抛物线的表达式为$y=(x-1)^2$.
(2)设直线$OB$的表达式为$y=kx(k\ne 0)$.
把$B(1,1)$代入,得$k=1$,$\therefore$ 直线$OB$的表达式为$y=x$. 由$\begin{cases}y=x,\\y=(x-1)^2\end{cases}$,得$\begin{cases}x=\frac{3-\sqrt{5}}{2},\\y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x=\frac{3+\sqrt{5}}{2},\\y=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\end{cases}$(不符合题意,舍去),$\therefore$ 点$C$的坐标为$(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2})$.
对于$y=(x-1)^2$,当$x=0$时,$y=1$,$\therefore D(0,1)$,$\therefore$ 点$C$的坐标为$(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2})$,点$D$的坐标为$(0,1)$.
$\because$ 抛物线的顶点为$A(1,0)$,$\therefore$ 可设抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2$.
把$B_1(2,1)$代入$y=a(x-1)^2$,得$a=1$,$\therefore$ 以$A$为顶点,且经过点$B_1$的抛物线的表达式为$y=(x-1)^2$.
(2)设直线$OB$的表达式为$y=kx(k\ne 0)$.
把$B(1,1)$代入,得$k=1$,$\therefore$ 直线$OB$的表达式为$y=x$. 由$\begin{cases}y=x,\\y=(x-1)^2\end{cases}$,得$\begin{cases}x=\frac{3-\sqrt{5}}{2},\\y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x=\frac{3+\sqrt{5}}{2},\\y=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\end{cases}$(不符合题意,舍去),$\therefore$ 点$C$的坐标为$(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2})$.
对于$y=(x-1)^2$,当$x=0$时,$y=1$,$\therefore D(0,1)$,$\therefore$ 点$C$的坐标为$(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2})$,点$D$的坐标为$(0,1)$.
解析
【分析】
(1) 要确定抛物线表达式，首先根据Rt△OAB的边长关系和平移的性质，先求出抛物线顶点A和抛物线上点B₁的坐标；因为已知抛物线顶点，所以选用顶点式设二次函数解析式，代入B₁的坐标即可求出未知参数，得到抛物线表达式。
(2) 求点C、D的坐标：先求直线OB的解析式，OB过原点，代入B点坐标即可得到解析式；点C是抛物线与OB的交点，联立两个函数的解析式解方程，结合点C的位置舍去不符合题意的解；点D是抛物线与y轴的交点，令x=0代入抛物线解析式即可求出D点坐标。
【解析】
(1)
∵ 在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=1，OA在x轴上，
∴ $A(1,0)$，$B(1,1)$。
根据平移的性质，△OAB沿x轴正方向平移1个单位得到△AA₁B₁，可得$A_1(2,0)$，$B_1(2,1)$。
∵ 抛物线顶点为$A(1,0)$，
∴ 设抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2$（$a\ne0$）。
将$B_1(2,1)$代入解析式得：$1 = a×(2-1)^2$，解得$a=1$。
∴ 所求抛物线的表达式为$y=(x-1)^2$。
(2) 设直线OB的表达式为$y=kx$（$k\ne0$），将$B(1,1)$代入得：$1=k×1$，解得$k=1$，
∴ 直线OB的表达式为$y=x$。
联立抛物线与直线OB的解析式：$\begin{cases}y=x\\y=(x-1)^2\end{cases}$，
将$y=x$代入二次函数解析式整理得$x^2-3x+1=0$，解得$x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$。
∵ 点C在线段OB上，横坐标满足$0＜x＜1$，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}＞1$不符合题意，舍去，
∴ $x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，对应$y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，即$C(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2})$。
对于抛物线$y=(x-1)^2$，令$x=0$，得$y=(0-1)^2=1$，
∴ $D(0,1)$。
【答案】
(1) $y=(x-1)^2$
(2) $C(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2})$，$D(0,1)$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 一次函数解析式求解
3. 函数交点计算
【点评】
本题结合图形平移考查二次函数与一次函数的综合应用，解题的关键是先确定相关点的坐标，根据已知条件合理选择二次函数的解析式形式，联立方程求交点时要结合图形位置对解进行取舍，属于二次函数基础应用的典型题。
【难度系数】
0.6
(1) 要确定抛物线表达式，首先根据Rt△OAB的边长关系和平移的性质，先求出抛物线顶点A和抛物线上点B₁的坐标；因为已知抛物线顶点，所以选用顶点式设二次函数解析式，代入B₁的坐标即可求出未知参数，得到抛物线表达式。
(2) 求点C、D的坐标：先求直线OB的解析式，OB过原点，代入B点坐标即可得到解析式；点C是抛物线与OB的交点，联立两个函数的解析式解方程，结合点C的位置舍去不符合题意的解；点D是抛物线与y轴的交点，令x=0代入抛物线解析式即可求出D点坐标。
【解析】
(1)
∵ 在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=1，OA在x轴上，
∴ $A(1,0)$，$B(1,1)$。
根据平移的性质，△OAB沿x轴正方向平移1个单位得到△AA₁B₁，可得$A_1(2,0)$，$B_1(2,1)$。
∵ 抛物线顶点为$A(1,0)$，
∴ 设抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2$（$a\ne0$）。
将$B_1(2,1)$代入解析式得：$1 = a×(2-1)^2$，解得$a=1$。
∴ 所求抛物线的表达式为$y=(x-1)^2$。
(2) 设直线OB的表达式为$y=kx$（$k\ne0$），将$B(1,1)$代入得：$1=k×1$，解得$k=1$，
∴ 直线OB的表达式为$y=x$。
联立抛物线与直线OB的解析式：$\begin{cases}y=x\\y=(x-1)^2\end{cases}$，
将$y=x$代入二次函数解析式整理得$x^2-3x+1=0$，解得$x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$。
∵ 点C在线段OB上，横坐标满足$0＜x＜1$，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}＞1$不符合题意，舍去，
∴ $x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，对应$y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，即$C(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2})$。
对于抛物线$y=(x-1)^2$，令$x=0$，得$y=(0-1)^2=1$，
∴ $D(0,1)$。
【答案】
(1) $y=(x-1)^2$
(2) $C(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2})$，$D(0,1)$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 一次函数解析式求解
3. 函数交点计算
【点评】
本题结合图形平移考查二次函数与一次函数的综合应用，解题的关键是先确定相关点的坐标，根据已知条件合理选择二次函数的解析式形式，联立方程求交点时要结合图形位置对解进行取舍，属于二次函数基础应用的典型题。
【难度系数】
0.6
