1.(2024·安阳期末)下列各式从左到右是因式分解的是（）

A.$(a+1)(a-3)=a^2 - 2a - 3$
B.$x^2 -25=(x-5)(x+5)$
C.$a^2 +2a -1=(a-1)^2$
D.$y^3 +4y^2 -2=y^2(y+4)-2$

1.B

【分析】
解决本题首先要明确因式分解的核心判断标准：一是变形后结果必须是几个整式的乘积形式，二是变形过程为恒等变形，即左右两边的式子完全相等。我们只需对照这两个标准逐一排查四个选项，即可得出正确答案。
【解析】
根据因式分解的定义，逐个分析选项：
1. 分析选项A：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解；
2. 分析选项B：左边是多项式$x^2-25$，右边$(x-5)(x+5)$是两个整式的乘积，且根据平方差公式，左右两边相等，完全符合因式分解的定义；
3. 分析选项C：将右边$(a-1)^2$展开得$a^2-2a+1$，和左边$a^2+2a-1$不相等，不属于恒等变形，不是因式分解；
4. 分析选项D：右边$y^2(y+4)-2$是整式乘积与常数的差，不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解。
综上，只有选项B属于因式分解。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要求学生准确掌握因式分解的判断要点，解题时既要关注变形后的形式是否为整式乘积，也要验证变形是否为恒等变形，避免掉入形式正确但等式不成立的易错陷阱。
【难度系数】
0.8

2.将$3ab^2(x-y)^3 -9ab(x-y)^2$因式分解，应提取的公因式是（）

A.$3ab(x-y)^2$
B.$3ab^2(x-y)$
C.$9ab(x-y)^2$
D.$3ab(x-y)$

2.A

【分析】
要确定因式分解时提取的公因式，可按照公因式的确定规则分步思考：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同因式（包括字母和多项式），第三步对每个相同因式取次数最低的幂，最后将三部分组合即为所求公因式。
【解析】
公因式的确定分为三步：
1. 定系数：两项的系数分别为3和-9，二者的最大公约数是3；
2. 定公共因式：观察两个项，都含有字母a、b，还有多项式因式$(x-y)$；
3. 定指数：对每个公共因式取最低次幂，a的次数均为1，取1次；b的次数分别为2和1，取1次；$(x-y)$的次数分别为3和2，取2次。
将三部分组合可得公因式为$3ab(x-y)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定，提公因式法因式分解
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的基础能力，掌握公因式确定的三步法（定系数、定因式、定指数）即可快速作答，是因式分解模块的基础题型。
【难度系数】
0.8

3.分解因式$b^2(x-3)+b(x-3)$的正确结果是（）

A.$(x-3)(b^2+b)$
B.$b(x-3)(b+1)$
C.$(x-3)(b^2-b)$
D.$b(x-3)(b-1)$

3.B

【分析】
本题考查因式分解的提公因式法应用，解题思路如下：第一步先观察多项式的两项，找出共同含有的公因式；第二步提取公因式，整理剩余项；第三步检查因式分解是否彻底，确认每个因式都不能再分解后，对应选项判断即可。
【解析】
1. 确定公因式：观察多项式$b^2(x-3)+b(x-3)$，两项均含有因式$b$和$(x-3)$，因此公因式为$b(x-3)$。
2. 提取公因式：将公因式$b(x-3)$提出后，第一项剩余$b$，第二项剩余$1$，因此原式可整理为：
$b^2(x-3)+b(x-3)=b(x-3)(b+1)$
3. 排除错误选项：选项A中$(x-3)(b^2+b)$还可继续提取公因式$b$，属于分解不彻底；选项C、D中剩余项符号错误，将加号误写为减号，均不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法；公因式识别；因式分解要求
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的实际应用，解题的关键是准确找出公因式，同时要注意因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8

4.多项式$-4a^{2}b^{3}+2ab$的公因式是，另一个因式是。

4.$-2ab$，$2ab^2 -1$

【分析】
要解决这个问题，首先需要明确公因式的确定方法，再通过提取公因式得到另一个因式。第一步找公因式：先看各项系数的最大公约数，因为多项式首项系数为负，通常提取负号，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者结合就是公因式；第二步用原多项式的每一项分别除以公因式，得到的结果合并就是另一个因式。
【解析】
1. 确定公因式：
系数部分：多项式两项的系数分别为-4和2，最大公约数为2，结合首项为负提取负号，系数部分取-2；
字母部分：两项都含有的字母是a和b，a的最低次数是1，b的最低次数是1，字母部分为ab；
因此公因式为$-2ab$。
2. 求另一个因式：
用原多项式除以公因式，分别计算每一项的结果：
$-4a^2b^3 ÷ (-2ab) = 2ab^2$，$2ab ÷ (-2ab) = -1$；
合并两项结果得到另一个因式为$2ab^2 - 1$。
【答案】
$-2ab$，$2ab^2 - 1$
【知识点】
1. 公因式的确定
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查公因式的确定规则，解题时需注意当多项式首项系数为负时，公因式通常带负号，防止后续计算出现符号错误。
【难度系数】
0.8

5.分解因式：$-24x^{2}y - 12xy^{2} - 28y^{3}.$

5.原式$=-4y(6x^2 + 3xy +7y^2)$

【分析】
这道题考查提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先确定公因式：先看系数，多项式各项系数为-24、-12、-28，它们的最大公约数是4，由于首项系数为负，为了让括号内首项系数为正，需把负号一起提取，因此系数部分公因式为-4；再看字母部分，每一项都含有字母y，且y的最低次数为1，x仅在前两项存在，因此字母部分公因式为y，综上整体公因式是-4y。第二步提取公因式，用原多项式每一项除以公因式，将得到的商放在括号内。第三步检查括号内的多项式是否还能继续分解，确认无法分解后得到最终结果。
【解析】
解：首先确定多项式的公因式为$-4y$，对原式提取公因式：
$\begin{aligned}-24x^{2}y - 12xy^{2} - 28y^{3}&=-4y·6x^{2} + (-4y)·3xy + (-4y)·7y^{2}\\&=-4y(6x^{2}+3xy+7y^{2})\end{aligned}$
经检验，括号内的多项式无公因式，也无法用其他方法继续分解，为最终分解结果。
【答案】
$-4y(6x^2 + 3xy +7y^2)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式 2. 公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，主要考查提公因式法的应用，解题时需注意首项为负时通常优先提取负号，提取公因式后要检查剩余多项式是否分解彻底，避免出现漏提负号、系数计算错误或者分解不彻底的问题。
【难度系数】
0.8

6.计算：
(1) $2^{2030} - 2^{2029}$；
(2) $7.6 × 268.9 + 4.3 × 268.9 - 1.9 × 268.9$。

6.(1)原式$=2^{2029}(2-1)=2^{2029}$
(2)原式$=268.9×(7.6+4.3-1.9)=268.9×10=2689$

【分析】
这两道题均可通过提取公因式的方法简化运算：
(1) 观察两个项，底数均为2，最低次幂是$2^{2029}$，将其作为公因式提取后，计算剩余项的差值即可得到结果；
(2) 三个乘法项都含有共同因数268.9，把268.9作为公因式提取，先计算括号内的加减运算，再计算乘法，可避免复杂的多步乘法运算，提升计算效率和准确率。
【解析】
(1) 原式提取公因式$2^{2029}$：
$=2^{2029}×(2 - 1)$
$=2^{2029}×1$
$=2^{2029}$
(2) 原式提取公因式268.9：
$=268.9×(7.6 + 4.3 - 1.9)$
先计算括号内的加减：$7.6+4.3-1.9=10$
再计算乘法：$=268.9×10$
$=2689$
【答案】
(1)$2^{2029}$；(2)$2689$
【知识点】
提公因式法，有理数简便运算，同底数幂运算
【点评】
本题考查利用提公因式法进行简便运算，解题核心是准确找出各项的公因式，提取公因式后先计算括号内的运算，可大幅降低计算量，减少运算错误。
【难度系数】
0.85

7.(2024·云浮期末)在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是 ()

A.$a^2 + b^2$
B.$4m^2 - 16m$
C.$-x^2 - y^2$
D.$-x^2 + 16$

7.D

【分析】
要判断哪个多项式能用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：待分解的多项式是二项式，两项都能写成某个整式的平方，且两项符号相反。解题时只需对照这个特征逐一排查选项即可。
【解析】
平方差公式的因式分解形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，对各选项逐一判断：
A. $a^2 + b^2$的两项符号相同，不符合“两项异号”的特征，不能用平方差公式分解；
B. $4m^2 - 16m$的第二项是一次项，不能写成某个整式的平方，不符合要求，不能用平方差公式分解；
C. $-x^2 - y^2 = -(x^2 + y^2)$，括号内两项符号相同，不符合特征，不能用平方差公式分解；
D. $-x^2 + 16 = 16 - x^2 = 4^2 - x^2$，符合平方差公式的结构特征，可分解为$(4+x)(4-x)$，满足要求。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，因式分解识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对平方差公式结构特征的掌握，牢记“两项、异号、均为平方形式”的判断标准就能快速解题。
【难度系数】
0.85

8.(2024·岱岳期末)下列多项式能用完全平方公式分解因式的是 ()

A.$a^2 +2a -1$
B.$x^2 -xy + y^2$
C.$a^2 -2a + \frac{1}{4}$
D.$a^2 -ab + \frac{1}{4}b^2$

8.D

【分析】
要判断多项式能否用完全平方公式分解因式，首先需明确完全平方公式因式分解的结构特征：多项式为三项式，其中有两项是两个数（或整式）的平方且符号相同，第三项是这两个数（或整式）乘积的2倍，符号可正可负，即满足$m^2\pm2mn+n^2$的形式。接下来逐一验证每个选项是否符合该特征即可得到答案。
【解析】
能用完全平方公式分解因式的多项式需满足结构$m^2\pm2mn+n^2=(m\pm n)^2$，逐一分析选项：
A. $a^2+2a-1$：平方项$a^2$和$-1$符号相反，不符合完全平方公式特征，不能用完全平方公式分解；
B. $x^2-xy+y^2$：两个平方项的底数为$x$和$y$，乘积的2倍应为$2xy$，而中间项是$-xy$，不符合结构要求，不能用完全平方公式分解；
C. $a^2-2a+\frac{1}{4}$：两个平方项的底数为$a$和$\frac{1}{2}$，乘积的2倍应为$2× a×\frac{1}{2}=a$，而中间项是$-2a$，不符合结构要求，不能用完全平方公式分解；
D. $a^2-ab+\frac{1}{4}b^2$：可变形为$a^2 - 2· a· \frac{1}{2}b + (\frac{1}{2}b)^2$，完全符合完全平方公式的结构，可分解为$(a-\frac{1}{2}b)^2$，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，核心考查对完全平方公式结构特征的理解与运用，解题关键是准确识别完全平方公式的三项结构，尤其要注意中间项与两个平方项底数的倍数关系，避免混淆公式特征出错。
【难度系数】
0.75

9.已知$9x^2 + mxy + 16y^2$是完全平方式，则m的值为（）

A.12
B.±12
C.24
D.±24

9.D

【分析】
首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，包含“和的平方”与“差的平方”两种形式。解题时先确定式子中两个平方项对应的底数：$9x^2=(3x)^2$，$16y^2=(4y)^2$，再根据完全平方式的结构求出中间项，最后和原式的中间项$mxy$对比即可得到$m$的值，注意不要遗漏负号的情况。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
已知$9x^2+mxy+16y^2$是完全平方式，其中两个平方项可整理为：
$9x^2=(3x)^2$，$16y^2=(4y)^2$
因此该完全平方式可写为$(3x\pm4y)^2$，将其展开得：
$(3x\pm4y)^2=9x^2\pm24xy+16y^2$
将展开式与原式$9x^2+mxy+16y^2$对比，对应项系数相等，可得$m=\pm24$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，完全平方式的特征
【点评】
本题重点考查对完全平方式结构的掌握，解题时要注意完全平方式有和、差两种形式，避免因考虑不全面遗漏负号而错选。
【难度系数】
0.7

10.(2024·渝北区期末)因式分解:$m^2 -12m +36=$.

10.$(m-6)^2$

【分析】
本题考查因式分解，首先观察待分解的式子是三项式，优先考虑用完全平方公式因式分解。完全平方公式的结构为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们只需对应找到式子中的a和b，验证中间项是否符合$\pm2ab$的形式，即可套用公式完成分解。
【解析】
观察式子$m^2 -12m +36$：
第一项$m^2$是$m$的平方，即$a=m$；
第三项$36=6^2$，即$b=6$；
中间项$-12m=-2× m×6$，符合完全平方差公式的中间项特征。
因此套用完全平方差公式可得：
$m^2 -12m +36=m^2-2× m×6+6^2=(m-6)^2$
【答案】
$(m-6)^2$
【知识点】
因式分解；完全平方公式
【点评】
本题属于基础类考题，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的结构特点，准确匹配公式中的对应项即可快速求解。
【难度系数】
0.9

11.(2025·临沂模拟)因式分解：$x(x-2)+1=$.

11.$(x-1)^2$

【分析】
解这道因式分解题，首先要先对原式中的整式乘法部分展开计算，将原式整理为多项式的标准形式，再观察多项式的结构特征，判断是否符合乘法公式的形式，进而套用对应公式完成因式分解。具体先计算$x(x-2)$得到$x^2-2x$，合并常数项后得到三项式，再对照完全平方公式的结构特征分解即可。
【解析】
解：先展开整式乘法，再利用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}x(x-2)+1&=x^2-2x+1\\&=(x-1)^2\end{aligned}$
【答案】
$(x-1)^2$
【知识点】
整式乘法、完全平方公式、因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，解题时需注意先对原式化简，再选择合适的分解方法，要熟练掌握完全平方公式的结构特征，准确识别完全平方式。
【难度系数】
0.8

12.分解因式:
(1)$-4y^2 -16y -16$;
(2)$(x+1)(x+2)+\frac{1}{4}$;
(3)$9a^2(x-y)+4b^2(y-x)$;
(4)$(x^2 -1)^2 -6(x^2 -1)+9$;
(5)$(a^2 +1)^2 -4a^2$.

12.(1)原式$=-4(y+2)^2$
(2)原式$=x^2 +3x +\frac{9}{4}=(x+\frac{3}{2})^2$
(3)原式$=9a^2(x-y)-4b^2(x-y)=(9a^2 -4b^2)(x-y)=(3a+2b)(3a-2b)(x-y)$
(4)原式$=(x^2 -1 -3)^2=(x^2 -4)^2=(x+2)^2(x-2)^2$
(5)原式$=(a^2 +1 +2a)(a^2 +1 -2a)=(a+1)^2(a-1)^2$

【分析】
因式分解遵循“一提、二套、三查”的通用步骤：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步判断提取公因式后的式子是否符合完全平方公式或平方差公式的形式，对应套用公式分解；第三步检查分解后的因式是否还能继续分解，需分解到每个因式都不能再分解为止。
各小题具体思路：
(1)先提取公因式-4，剩余部分符合完全平方公式，套用公式分解即可；
(2)先利用多项式乘法展开括号、合并同类项得到二次三项式，再判断其符合完全平方公式，套用公式分解；
(3)先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，提取公因式$(x-y)$后，剩余部分符合平方差公式，继续套用公式分解；
(4)将$(x^2-1)$看作整体，原式符合完全平方公式，先套用完全平方公式分解，再对得到的$(x^2-4)$套用平方差公式继续分解，最后整理结果；
(5)原式符合平方差公式形式，先套用平方差公式分解，得到的两个因式均符合完全平方公式，继续套用公式分解即可。
【解析】
(1) 提取公因式$-4$：
原式$=-4(y^2 +4y +4)$
剩余部分为完全平方式，因此：
原式$=-4(y+2)^2$
(2) 展开括号合并同类项：
原式$=x^2 +2x +x +2 +\frac{1}{4}=x^2 +3x +\frac{9}{4}$
所得二次三项式为完全平方式，因此：
原式$=(x+\frac{3}{2})^2$
(3) 统一公因式形式：
原式$=9a^2(x-y)-4b^2(x-y)$
提取公因式$(x-y)$：
原式$=(x-y)(9a^2 -4b^2)$
剩余部分符合平方差公式，继续分解：
原式$=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)$
(4) 将$x^2-1$看作整体，原式为完全平方式：
原式$=(x^2 -1 -3)^2=(x^2 -4)^2$
$x^2-4$符合平方差公式，继续分解：
原式$=[(x+2)(x-2)]^2=(x+2)^2(x-2)^2$
(5) 原式为平方差形式，先套用平方差公式：
原式$=(a^2 +1 +2a)(a^2 +1 -2a)$
两个因式均为完全平方式，继续分解：
原式$=(a+1)^2(a-1)^2$
【答案】
12.(1)原式$=-4(y+2)^2$
(2)原式$=x^2 +3x +\frac{9}{4}=(x+\frac{3}{2})^2$
(3)原式$=9a^2(x-y)-4b^2(x-y)=(9a^2 -4b^2)(x-y)=(3a+2b)(3a-2b)(x-y)$
(4)原式$=(x^2 -1 -3)^2=(x^2 -4)^2=(x+2)^2(x-2)^2$
(5)原式$=(a^2 +1 +2a)(a^2 +1 -2a)=(a+1)^2(a-1)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
这组题目考查因式分解基础方法的运用，解题时要严格遵循“先提公因式、再套公式、最后检查是否分解彻底”的流程，会用到整体代换思想，需注意符号变化，确保分解到每个因式不能再分解为止。
【难度系数】
0.7