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1.如图，若$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，则对于$∠ 1$和$∠ 2$的大小关系，下列说法正确的是 （
A.一定相等
B.当$BD=CD$时相等
C.一定不相等
D.当$DE=DF$时相等
D
）A.一定相等
B.当$BD=CD$时相等
C.一定不相等
D.当$DE=DF$时相等
答案
1.D
解析
【分析】
要判断∠1和∠2的大小关系，本质是判断AD是否为∠BAC的角平分线。已知DE⊥AB、DF⊥AC，可知DE、DF分别是点D到∠BAC两边AB、AC的垂线段，结合角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，逐一分析各选项即可得出结论。
【解析】
已知DE⊥AB，DF⊥AC，因此DE是点D到AB的距离，DF是点D到AC的距离：
选项A：未给出额外条件时，无法确定AD平分∠BAC，∠1和∠2不一定相等，故A错误；
选项B：BD=CD仅说明D是BC的中点，不能推出D到AB、AC的距离相等，无法得到∠1=∠2，故B错误；
选项C：当满足DE=DF等条件时，AD是∠BAC的角平分线，此时∠1=∠2，因此“一定不相等”的表述错误，故C错误；
选项D：当DE=DF时，根据角平分线的判定定理，点D在∠BAC的角平分线上，即AD平分∠BAC，因此∠1=∠2，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定；点到直线的距离
【点评】
本题考查角平分线判定的基础应用，解题的核心是明确角平分线判定的条件，不要将角平分线的性质和判定混淆，结合垂线段的条件即可快速判断。
【难度系数】
0.8
要判断∠1和∠2的大小关系，本质是判断AD是否为∠BAC的角平分线。已知DE⊥AB、DF⊥AC，可知DE、DF分别是点D到∠BAC两边AB、AC的垂线段，结合角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，逐一分析各选项即可得出结论。
【解析】
已知DE⊥AB，DF⊥AC，因此DE是点D到AB的距离，DF是点D到AC的距离：
选项A：未给出额外条件时，无法确定AD平分∠BAC，∠1和∠2不一定相等，故A错误；
选项B：BD=CD仅说明D是BC的中点，不能推出D到AB、AC的距离相等，无法得到∠1=∠2，故B错误；
选项C：当满足DE=DF等条件时，AD是∠BAC的角平分线，此时∠1=∠2，因此“一定不相等”的表述错误，故C错误；
选项D：当DE=DF时，根据角平分线的判定定理，点D在∠BAC的角平分线上，即AD平分∠BAC，因此∠1=∠2，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定；点到直线的距离
【点评】
本题考查角平分线判定的基础应用，解题的核心是明确角平分线判定的条件，不要将角平分线的性质和判定混淆，结合垂线段的条件即可快速判断。
【难度系数】
0.8
2.如图，$PM ⊥ OA$，$PN ⊥ OB$，若$PM = PN$，$∠ BOC = 30°$，则$∠ AOB$的度数为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$50°$
C
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$50°$
答案
2.C
解析
【分析】
首先梳理已知条件：PM垂直OA，PN垂直OB，说明PM、PN是点P到∠AOB两边的距离，再结合PM=PN，可联想到角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，由此能推出OC是∠AOB的角平分线，再根据角平分线的定义，角平分线将原角分成两个相等的小角，因此∠AOB是∠BOC的2倍，代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵PM⊥OA，PN⊥OB，且PM=PN，
∴根据角平分线的判定定理可得：OC平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠BOC，
又
∵已知∠BOC=30°，
∴∠AOB=2×30°=60°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是基础类题目，主要考查角平分线判定定理的直接应用，牢记相关定理和定义就能快速求解。
【难度系数】
0.8
首先梳理已知条件：PM垂直OA，PN垂直OB，说明PM、PN是点P到∠AOB两边的距离，再结合PM=PN，可联想到角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，由此能推出OC是∠AOB的角平分线，再根据角平分线的定义，角平分线将原角分成两个相等的小角，因此∠AOB是∠BOC的2倍，代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵PM⊥OA，PN⊥OB，且PM=PN，
∴根据角平分线的判定定理可得：OC平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠BOC，
又
∵已知∠BOC=30°，
∴∠AOB=2×30°=60°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是基础类题目，主要考查角平分线判定定理的直接应用，牢记相关定理和定义就能快速求解。
【难度系数】
0.8
3.如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，PD=6 cm，当PE=
6
cm时，点P在∠AOB的平分线上。答案
3.6
解析
【分析】
要确定点P在∠AOB的平分线上时PE的长度，需用到角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。首先明确PD是点P到OA的距离，PE是点P到OB的距离，要满足点P在角平分线上，只需这两个距离相等，结合已知PD的长度即可直接求出PE的长度。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
已知PD⊥OA，PE⊥OB，因此PD是点P到边OA的距离，PE是点P到边OB的距离。
若点P在∠AOB的平分线上，则PE=PD，
又已知PD=6 cm，因此PE=6 cm。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线判定定理的基础应用题，准确掌握定理内容、明确点到角两边距离的含义，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要确定点P在∠AOB的平分线上时PE的长度，需用到角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。首先明确PD是点P到OA的距离，PE是点P到OB的距离，要满足点P在角平分线上，只需这两个距离相等，结合已知PD的长度即可直接求出PE的长度。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
已知PD⊥OA，PE⊥OB，因此PD是点P到边OA的距离，PE是点P到边OB的距离。
若点P在∠AOB的平分线上，则PE=PD，
又已知PD=6 cm，因此PE=6 cm。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线判定定理的基础应用题，准确掌握定理内容、明确点到角两边距离的含义，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4.(过程性学习)如图,点B,C分别在∠A的两边上,点D是∠A内一点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且BE=CF,BD=CD.求证:点D在∠BAC的平分线上.
答案
4.$∵ DE ⊥ AB , DF ⊥ AC , ∴ ∠ DEB = ∠ DFC = 90 °$, 在 $Rt△CDF$ 和 $Rt△BDE$ 中,
$\begin{cases} CD=BD, \\ CF=BE, \end{cases}$
$∴ Rt△CDF≌Rt△BDE(HL), ∴ DF=DE , ∵ DE ⊥ AB , DF ⊥ AC , ∴$ 点 $D$ 在 $∠BAC$ 的平分线上
$\begin{cases} CD=BD, \\ CF=BE, \end{cases}$
$∴ Rt△CDF≌Rt△BDE(HL), ∴ DF=DE , ∵ DE ⊥ AB , DF ⊥ AC , ∴$ 点 $D$ 在 $∠BAC$ 的平分线上
解析
【分析】
要证明点D在∠BAC的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到∠BAC两边的距离相等，即DE=DF。观察可知DE、DF分别是Rt△BDE和Rt△CDF的直角边，题目给出BD=CD、BE=CF的条件，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，从而得到DE=DF，即可推导得出结论。
【解析】
证明：
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB = ∠DFC = 90°，
在$Rt△ CDF$和$Rt△ BDE$中，
$\begin{cases} CD=BD \\ CF=BE \end{cases}$
∴ $Rt△ CDF≌Rt△ BDE(\mathrm{HL})$，
∴ DF=DE，
又
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ 点D在∠BAC的平分线上。
【答案】
点D在∠BAC的平分线上
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 直角三角形全等的判定（HL）
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题型，解题核心是通过证明直角三角形全等得到点到角两边的距离相等，需注意运用角平分线判定时，要同时满足“到两边的距离相等”和“两条线段垂直于角的两边”两个条件。
【难度系数】
0.8
要证明点D在∠BAC的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到∠BAC两边的距离相等，即DE=DF。观察可知DE、DF分别是Rt△BDE和Rt△CDF的直角边，题目给出BD=CD、BE=CF的条件，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，从而得到DE=DF，即可推导得出结论。
【解析】
证明：
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB = ∠DFC = 90°，
在$Rt△ CDF$和$Rt△ BDE$中，
$\begin{cases} CD=BD \\ CF=BE \end{cases}$
∴ $Rt△ CDF≌Rt△ BDE(\mathrm{HL})$，
∴ DF=DE，
又
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ 点D在∠BAC的平分线上。
【答案】
点D在∠BAC的平分线上
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 直角三角形全等的判定（HL）
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题型，解题核心是通过证明直角三角形全等得到点到角两边的距离相等，需注意运用角平分线判定时，要同时满足“到两边的距离相等”和“两条线段垂直于角的两边”两个条件。
【难度系数】
0.8
5.△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列说法中不正确的是（
A.点O一定在△ABC的内部
B.∠C的平分线一定经过点O
C.点O到△ABC的三边距离一定相等
D.点O到△ABC三顶点的距离一定相等
D
）A.点O一定在△ABC的内部
B.∠C的平分线一定经过点O
C.点O到△ABC的三边距离一定相等
D.点O到△ABC三顶点的距离一定相等
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先明确本题考查三角形角平分线交点（内心）的相关性质，思考路径如下：首先回忆角平分线的基本性质：角平分线上的点到角两边距离相等，且三角形的三条内角平分线必然交于同一点；再逐一核对每个选项的描述，同时注意区分角平分线交点和三边垂直平分线交点的性质差异，即可判断出错误选项。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A. 三角形的所有内角平分线都位于三角形内部，因此两条内角平分线的交点O一定在△ABC的内部，该说法正确，不符合题意；
B. 三角形的三条内角平分线交于同一点，已知∠A、∠B的平分线交于点O，因此∠C的平分线一定经过点O，该说法正确，不符合题意；
C. 角平分线上的点到角两边的距离相等，点O同时在三个内角的平分线上，因此点O到△ABC的三边距离一定相等，该说法正确，不符合题意；
D. 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点（外心），点O是角平分线的交点（内心），内心到三角形三顶点的距离不一定相等，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；三角形内心特性；垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是区分三角形内心（角平分线交点）与外心（垂直平分线交点）的性质差异，只要熟记两类特殊点的定义和对应性质就能快速作答，重点考查对基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确本题考查三角形角平分线交点（内心）的相关性质，思考路径如下：首先回忆角平分线的基本性质：角平分线上的点到角两边距离相等，且三角形的三条内角平分线必然交于同一点；再逐一核对每个选项的描述，同时注意区分角平分线交点和三边垂直平分线交点的性质差异，即可判断出错误选项。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A. 三角形的所有内角平分线都位于三角形内部，因此两条内角平分线的交点O一定在△ABC的内部，该说法正确，不符合题意；
B. 三角形的三条内角平分线交于同一点，已知∠A、∠B的平分线交于点O，因此∠C的平分线一定经过点O，该说法正确，不符合题意；
C. 角平分线上的点到角两边的距离相等，点O同时在三个内角的平分线上，因此点O到△ABC的三边距离一定相等，该说法正确，不符合题意；
D. 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点（外心），点O是角平分线的交点（内心），内心到三角形三顶点的距离不一定相等，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；三角形内心特性；垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是区分三角形内心（角平分线交点）与外心（垂直平分线交点）的性质差异，只要熟记两类特殊点的定义和对应性质就能快速作答，重点考查对基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.8
6.如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF=OD=OE。若∠BAC=70°，则∠BOC的度数是
125°
。答案
6.$125°$
解析
【分析】
首先根据已知条件“点O到△ABC三边的距离相等”，结合角平分线的判定定理，可得出点O是△ABC三个内角的角平分线的交点，即BO平分∠ABC、CO平分∠ACB。接下来先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再求出∠OBC与∠OCB的和，最后再次利用三角形内角和定理即可算出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，且OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，
∴点O是△ABC三条角平分线的交点，即BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB。
∵在△ABC中，∠BAC=70°，
∴∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠BAC = 180° - 70° = 110°，
∴∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×110° = 55°，
在△BOC中，∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 55° = 125°。
【答案】
$\boldsymbol{125°}$
【知识点】
角平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是角平分线判定与三角形内角和的综合题，解题的突破口是根据点到三边的距离相等判断出点O是三角形内角平分线的交点，再结合内角和公式逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件“点O到△ABC三边的距离相等”，结合角平分线的判定定理，可得出点O是△ABC三个内角的角平分线的交点，即BO平分∠ABC、CO平分∠ACB。接下来先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再求出∠OBC与∠OCB的和，最后再次利用三角形内角和定理即可算出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，且OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，
∴点O是△ABC三条角平分线的交点，即BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB。
∵在△ABC中，∠BAC=70°，
∴∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠BAC = 180° - 70° = 110°，
∴∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×110° = 55°，
在△BOC中，∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 55° = 125°。
【答案】
$\boldsymbol{125°}$
【知识点】
角平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是角平分线判定与三角形内角和的综合题，解题的突破口是根据点到三边的距离相等判断出点O是三角形内角平分线的交点，再结合内角和公式逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.7
7.(模型观念)如图,已知$△ ABC$ 的面积是 30，$OB,OC$ 分别平分$∠ ABC$ 和$∠ ACB$，$OD ⊥ BC$于点$D$，且$OD = 3$，则$△ ABC$ 的周长是
20
.答案
7.20
解析
【分析】
遇到角平分线和点到边的垂线时，首先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，因此O到△ABC三边的距离都等于OD=3。再将△ABC的面积拆分为三个分别以AB、BC、AC为底，高均为3的小三角形的面积和，结合已知总面积即可求出三边之和也就是△ABC的周长。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，
∵OC平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OF=OD=3。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$，
代入三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× OE + \frac{1}{2}× BC× OD + \frac{1}{2}× AC× OF$，
将OE=OF=OD=3，$S_{△ ABC}=30$代入得：
$30=\frac{1}{2}×3×(AB+BC+AC)$，
解得$AB+BC+AC=30×2÷3=20$，即△ABC的周长为20。
【答案】
20
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题是角平分线性质与三角形面积结合的典型题型，解题关键是利用角平分线的性质得到三角形内部交点到三边的距离相等，再通过拆分总面积建立面积与周长的关系，解题时要熟练掌握辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
遇到角平分线和点到边的垂线时，首先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，因此O到△ABC三边的距离都等于OD=3。再将△ABC的面积拆分为三个分别以AB、BC、AC为底，高均为3的小三角形的面积和，结合已知总面积即可求出三边之和也就是△ABC的周长。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，
∵OC平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OF=OD=3。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$，
代入三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× OE + \frac{1}{2}× BC× OD + \frac{1}{2}× AC× OF$，
将OE=OF=OD=3，$S_{△ ABC}=30$代入得：
$30=\frac{1}{2}×3×(AB+BC+AC)$，
解得$AB+BC+AC=30×2÷3=20$，即△ABC的周长为20。
【答案】
20
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题是角平分线性质与三角形面积结合的典型题型，解题关键是利用角平分线的性质得到三角形内部交点到三边的距离相等，再通过拆分总面积建立面积与周长的关系，解题时要熟练掌握辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
8.(几何直观)如图,点 D 到$△ ABC$三边的距离相等,连接 BD,AD,BD 的延长线交 AC 于点 E,$∠ ADE=50°$,求$∠ C$的度数. 
答案
8.$∵$ 点 $D$ 到 $△ABC$ 三边的距离相等, $∴ ∠CBE=∠ABE , ∠CAD=∠DAB , ∵ ∠ADE=50° , ∴ ∠EBA+∠DAB=50° , ∴ ∠CBA+∠CAB=100° , ∴ ∠C=180° -(∠CBA+∠CAB)=180° -100° =80°$
解析
【分析】
首先，根据“点到三角形三边距离相等”的条件，结合角平分线的判定定理，可得出点D是△ABC三个内角平分线的交点，即BD平分∠ABC，AD平分∠BAC。其次，∠ADE是△ABD的外角，根据三角形外角性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠ADE=∠DAB+∠DBA。已知∠ADE=50°，可求出∠DAB+∠DBA的度数，进而推出∠CAB+∠CBA的总度数，最后利用三角形内角和为180°，即可求出∠C的度数。
【解析】
∵ 点D到△ABC三边的距离相等，
∴ BD平分∠CBA，AD平分∠CAB，即∠CBE=∠ABE，∠CAD=∠DAB，
∵ ∠ADE是△ABD的外角，∠ADE=50°，
∴ ∠EBA+∠DAB=∠ADE=50°，
∴ ∠CBA+∠CAB=2(∠EBA+∠DAB)=2×50°=100°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠C=180°-(∠CBA+∠CAB)=180°-100°=80°
【答案】
80°
【知识点】
角平分线的判定；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是先根据点到三边距离相等判断出该点是三角形内角平分线的交点，得到角的倍分关系，再结合外角性质和内角和定理计算角度，解题时要注意找准外角对应的不相邻内角，避免角度关系混淆。
【难度系数】
0.7
首先，根据“点到三角形三边距离相等”的条件，结合角平分线的判定定理，可得出点D是△ABC三个内角平分线的交点，即BD平分∠ABC，AD平分∠BAC。其次，∠ADE是△ABD的外角，根据三角形外角性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠ADE=∠DAB+∠DBA。已知∠ADE=50°，可求出∠DAB+∠DBA的度数，进而推出∠CAB+∠CBA的总度数，最后利用三角形内角和为180°，即可求出∠C的度数。
【解析】
∵ 点D到△ABC三边的距离相等，
∴ BD平分∠CBA，AD平分∠CAB，即∠CBE=∠ABE，∠CAD=∠DAB，
∵ ∠ADE是△ABD的外角，∠ADE=50°，
∴ ∠EBA+∠DAB=∠ADE=50°，
∴ ∠CBA+∠CAB=2(∠EBA+∠DAB)=2×50°=100°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠C=180°-(∠CBA+∠CAB)=180°-100°=80°
【答案】
80°
【知识点】
角平分线的判定；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是先根据点到三边距离相等判断出该点是三角形内角平分线的交点，得到角的倍分关系，再结合外角性质和内角和定理计算角度，解题时要注意找准外角对应的不相邻内角，避免角度关系混淆。
【难度系数】
0.7
