9.两把完全相同的直尺按如图方式摆放,记两把尺的接触点为点P.其中一把直尺边缘恰好与射线OA重合,而另一把直尺的下边缘与射线OB重合,上边缘与射线OA交于点M,连接OP.若∠BOP=28°,则∠AMP=.

9.$56°$

【分析】
解题时先从题干已知条件入手：①两把直尺完全相同，说明直尺宽度相等，因此点P到OA、OB的距离相等，结合角平分线的判定定理，可推出OP是∠AOB的角平分线，就能求出∠AOB的度数；②直尺的上下边缘互相平行，因此MP//OB，再利用平行线的同位角相等的性质，即可求出∠AMP的度数。
【解析】
1. 由两把直尺完全相同可知，点P到射线OA、OB的距离相等（距离等于直尺的宽度）。
根据角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB。
已知∠BOP=28°，因此∠AOB=2∠BOP=2×28°=56°。
2. 因为直尺的上下边缘互相平行，所以MP//OB。
OA是截线，∠AMP与∠AOB是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠AMP=∠AOB=56°。
【答案】
$56°$
【知识点】
角平分线的判定；平行线的性质
【点评】
本题结合常见的直尺场景考查基础几何性质，需要同学们将生活物品的特征和几何知识点结合，解题的核心是先通过直尺宽度相等推出角平分线，再结合平行线性质求解角度，侧重基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.7

10. 情境题 现实生活(2025·望城期末)三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）

A.三条高的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.以上都不对

10.B

【分析】
解题时首先明确题干要求：集贸市场需到三条公路（即△ABC的三边）距离相等。首先回忆角平分线的相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，角内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。据此推导：要同时到三角形三边距离相等，该点需同时在三个内角的角平分线上，也就是三条角平分线的交点。再逐一辨析其他选项对应的三角形交点的性质，排除不符合要求的选项即可。
【解析】
已知集贸市场需要到三条公路（对应△ABC的三边AB、BC、AC）的距离相等：
1. 根据角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上。可知，到∠A两边AB、AC距离相等的点在∠A的角平分线上；同理，到∠B两边距离相等的点在∠B的角平分线上，到∠C两边距离相等的点在∠C的角平分线上。
2. 因此同时满足到三边距离相等的点，是三角形三条角平分线的交点。
3. 辨析其他选项：三条高的交点是三角形的垂心，无到三边距离相等的性质；三条中线的交点是三角形的重心，性质为到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，均不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；三角形特殊交点性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何性质的应用，核心是要熟记角平分线的性质与判定，以及三角形不同特殊交点的特征，匹配题干要求即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

11.(过程性学习)如图，已知$BE ⊥ AC$于点$E$，$CF ⊥ AB$于点$F$，$BE$，$CF$相交于点$D$，连接$AD$，$BD=CD$。求证：$AD$平分$∠ BAC$。王刚的做法如下：证明：$\because BE ⊥ AC$，$CF ⊥ AB$，$BD=CD$，$\therefore$点$D$在$∠ BAC$的平分线上，$\therefore AD$平分$∠ BAC$。王刚的做法正确吗？若不正确，请写出正确的证明过程。

11.王刚的做法不正确.正确的证明过程如下：
$∵ BE ⊥ AC , CF ⊥ AB , ∴ ∠ BFD=∠ CED=90°$. 在 $△BDF$ 和 $△CDE$ 中, $\begin{cases} ∠BFD=∠CED, \\ ∠BDF=∠CDE, \\ BD=CD, \end{cases}$
$∴ △BDF≌△CDE(AAS), ∴ DF=DE. ∵ BE ⊥ AC , CF ⊥ AB , ∴$ 点 $D$ 在 $∠BAC$ 的平分线上. $∴ AD$ 平分 $∠BAC$

【分析】
首先明确角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。王刚的错误是误将BD=CD当作点D到∠BAC两边的距离，不符合判定定理的使用条件。正确解题思路为：先利用垂直定义得到△BDF和△CDE的对应角为直角，再结合已知BD=CD和对顶角相等，证明两个三角形全等，得到D到AB、AC的垂线段DF=DE，最后用角平分线判定定理即可证明AD平分∠BAC。
【解析】
王刚的做法不正确，正确证明过程如下：
$\because BE⊥ AC$，$CF⊥ AB$，
$\therefore ∠ BFD=∠ CED=90°$（垂直的定义）。
在$△ BDF$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}∠ BFD=∠ CED \\∠ BDF=∠ CDE（对顶角相等） \\BD=CD（已知）\end{cases}$
$\therefore △ BDF≌△ CDE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DF=DE$（全等三角形对应边相等）。
又$\because BE⊥ AC$，$CF⊥ AB$，即$DE⊥ AC$，$DF⊥ AB$，
$\therefore$点$D$在$∠ BAC$的平分线上（角平分线的判定定理），
$\therefore AD$平分$∠ BAC$。
【答案】
王刚的做法不正确.正确的证明过程如下：
$∵ BE ⊥ AC , CF ⊥ AB , ∴ ∠ BFD=∠ CED=90°$. 在 $△BDF$ 和 $△CDE$ 中, $\begin{cases} ∠BFD=∠CED, \\ ∠BDF=∠CDE, \\ BD=CD, \end{cases}$
$∴ △BDF≌△CDE(AAS), ∴ DF=DE. ∵ BE ⊥ AC , CF ⊥ AB , ∴$ 点 $D$ 在 $∠BAC$ 的平分线上. $∴ AD$ 平分 $∠BAC$
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质；垂直的定义
【点评】
本题易错点是忽略角平分线判定定理中“距离为点到角两边的垂线段长度”这一前提，直接误用非垂线段相等判定角平分线。解题时需先验证垂线段相等再使用判定定理，保证逻辑严谨。
【难度系数】
0.7

12.(模型观念)如图,已知在$△ ABC$中,$D,E,F$分别是$BC,AB,AC$上一点,$DE=DF$,并且有$∠ AED + ∠ AFD = 180°$.求证:$AD$是$△ ABC$的角平分线.

12.过点 $D$ 作 $DM ⊥ AB$ 于点 $M$ , $DN ⊥ AC$ 于点 $N$ , 则 $∠ DME=∠ DNF=90° , ∵ ∠ AED+∠ AFD=180° , ∠ AED+∠ DEM=180° , ∴ ∠ AFD=∠ DEM$. 在 $△DME$ 和 $△DNF$ 中,
$\begin{cases} ∠DME=∠DNF, \\ ∠DEM=∠DFN, \\ DE=DF, \end{cases}$
$∴ △DME≌△DNF(AAS). ∴ DM=DN$. 又 $∵ DM ⊥ AB , DN ⊥ AC , ∴$ 点 $D$ 在 $∠BAC$ 的平分线上. $∴ AD$ 平分 $∠BAC$. 即 $AD$ 是 $△ABC$ 的角平分线

【分析】
要证明AD是△ABC的角平分线，可依据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此需先证明点D到AB、AC的距离相等。首先过点D分别作AB、AC的垂线，构造两个直角三角形；再利用已知的∠AED+∠AFD=180°，结合邻补角的性质推出一组相等的角，搭配已知的DE=DF，证明两个直角三角形全等，得到两条垂线段长度相等，即可推出最终结论。
【解析】
过点 $D$ 作 $DM ⊥ AB$ 于点 $M$ , $DN ⊥ AC$ 于点 $N$ , 则 $∠ DME=∠ DNF=90°$。
$∵ ∠ AED+∠ AFD=180°$ , $∠ AED+∠ DEM=180°$（邻补角的定义）
$∴ ∠ AFD=∠ DEM$。
在 $△DME$ 和 $△DNF$ 中,
$\begin{cases} ∠DME=∠DNF, \\ ∠DEM=∠DFN, \\ DE=DF, \end{cases}$
$∴ △DME≌△DNF(AAS)$。
$∴ DM=DN$。
又 $∵ DM ⊥ AB$ , $DN ⊥ AC$ ,
$∴$ 点 $D$ 在 $∠BAC$ 的平分线上，即$AD$ 平分 $∠BAC$，$AD$ 是 $△ABC$ 的角平分线。
【答案】
$AD$ 是 $△ABC$ 的角平分线
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定（AAS）；补角的性质
【点评】
本题是角平分线判定的典型应用，解题核心是通过作垂线段的辅助线构造全等三角形，将角平分线的证明转化为线段相等的证明，把角的互补关系转化为全等所需的等角条件，有效考查了逻辑推理能力和模型应用意识。
【难度系数】
0.6

13.(构造法)如图，$AB=AC$，$∠ ACD=∠ ABD$，点$P$在$BD$的延长线上.求证:$∠ ADP=∠ ADC$.

13.过点 $A$ 作 $AM ⊥ CD$ 于点 $M$ , 作 $AN ⊥ BP$ 于点 $N$. 则 $∠ AMC=∠ ANB=90°$. 在 $△AMC$ 和 $△ANB$ 中,
$\begin{cases} ∠AMC=∠ANB, \\ ∠ACM=∠ABN, \\ AC=AB, \end{cases}$
$∴ △AMC≌△ANB(AAS), ∴ AM=AN , ∵ AM ⊥ CD , AN ⊥ PB , ∴$ 点 $A$ 在 $∠PDC$ 的平分线上. $∴ AD$ 平分 $∠PDC , ∴ ∠ADP=∠ADC$

【分析】
要证明∠ADP=∠ADC，本质是证明AD平分∠PDC。根据角平分线的判定定理，只需证明点A到∠PDC的两边DP、DC的距离相等即可。因此我们先过点A分别向DP、DC作垂线段AN、AM，再结合已知条件AB=AC、∠ACD=∠ABD，证明两个含垂线段的三角形全等，得到两条垂线段长度相等，即可利用角平分线判定定理推出结论。
【解析】
过点$A$ 作 $AM ⊥ CD$ 于点 $M$ , 作 $AN ⊥ BP$ 于点 $N$，则 $∠ AMC=∠ ANB=90°$.
在 $△AMC$ 和 $△ANB$ 中:
$\begin{cases} ∠AMC=∠ANB, \\ ∠ACM=∠ABN, \\ AC=AB, \end{cases}$
$∴ △AMC≌△ANB(AAS)$，
$∴ AM=AN$ .
$∵ AM ⊥ CD , AN ⊥ PB$ ,
$∴$ 点 $A$ 在 $∠PDC$ 的平分线上，即$AD$ 平分 $∠PDC$ ,
$∴ ∠ADP=∠ADC$.
【答案】
13.过点 $A$ 作 $AM ⊥ CD$ 于点 $M$ , 作 $AN ⊥ BP$ 于点 $N$. 则 $∠ AMC=∠ ANB=90°$. 在 $△AMC$ 和 $△ANB$ 中,
$\begin{cases} ∠AMC=∠ANB, \\ ∠ACM=∠ABN, \\ AC=AB, \end{cases}$
$∴ △AMC≌△ANB(AAS), ∴ AM=AN , ∵ AM ⊥ CD , AN ⊥ PB , ∴$ 点 $A$ 在 $∠PDC$ 的平分线上. $∴ AD$ 平分 $∠PDC , ∴ ∠ADP=∠ADC$
【知识点】
角平分线的判定；AAS证全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线判定的典型应用，解题核心是通过构造垂线段，将证明角相等的问题转化为证明线段相等，再结合全等三角形的知识推导结论，需要熟练掌握构造垂线的辅助线方法，灵活运用全等和角平分线的相关定理。
【难度系数】
0.6