20. 某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为AB(单位: m),现以AB所在直线为x轴,以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为O,已知AB=8 m,设抛物线解析式为$y=ax^2 -4$.
(1) 求a的值;
(2) 点$C(-1,m)$是抛物线上一点,连接CO并延长到点D,使$OD=OC$,连接BC,BD,求$△ BCD$的面积.

20. （1）$\because AB=8$,由抛物线的对称性可知$OB=4$,$\therefore B(4,0)$,将$B(4,0)$代入抛物线解析式,得$0=16a-4$,$\therefore a=\frac{1}{4}.$
（2）如图,过点$C$作$CE⊥ AB$于点$E$,过点$D$作$DF⊥ AB$于点$F$,$\therefore ∠ CEO=∠ DFO=90°. \because a=\frac{1}{4}$,$\therefore$抛物线的解析式为$y=\frac{1}{4}x^2 -4.$ 令$x=-1$,$\therefore m=\frac{1}{4}×(-1)^2 -4=-\frac{15}{4}$,$\therefore C(-1,-\frac{15}{4}).$ 在$△ COE$和$△ DOF$中,$∠ COE=∠ DOF$,$∠ CEO=∠ DFO$,$CO=DO$,$\therefore △ COE≌△ DOF(\mathrm{AAS})$,$\therefore CE=DF=\frac{15}{4}$,$\therefore S_{△ BCD}=S_{△ BOD}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB· DF+\frac{1}{2}OB· CE=\frac{1}{2}×4×\frac{15}{4}+\frac{1}{2}×4×\frac{15}{4}=15(\mathrm{m}^2).$ $\therefore △ BCD$的面积为$15\ \mathrm{m}^2$.

21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+bx+4$与x轴的一个交点为$A(-2,0)$，与y轴的交点为C，对称轴是直线$x=3$，对称轴与x轴交于点B。
（1）求抛物线的解析式；
（2）经过点B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；
（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得$△ PBD ≌ △ PBC$？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

21. （1）$\because$抛物线$y=ax^2+bx+4$与$x$轴的一个交点为$A(-2,0)$,对称轴是直线$x=3$,$\therefore\begin{cases}4a-2b+4=0,\\-\frac{b}{2a}=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{4},\\b=\frac{3}{2}.\end{cases}$ $\therefore$抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{4}x^2 +\frac{3}{2}x +4.$
（2）如图,$\because$以$B,C,M,N$为顶点的四边形是平行四边形,$\therefore$应分$CM// BN$,$CN// BM$两种情况. ① 当$CM// BN$时,$\because$点$M$和点$C(0,4)$关于对称轴直线$x=3$对称,$\therefore$点$M$的坐标为$(6,4)$;② 当$CN// BM$时,$\because$点$M$的纵坐标是$-4$,点$M$在抛物线上,$\therefore -\frac{1}{4}x^2 +\frac{3}{2}x +4=-4$,解得$x_1=3+\sqrt{41}$,$x_2=3-\sqrt{41}.\therefore$点$M$的坐标为$(3+\sqrt{41},-4)$或$(3-\sqrt{41},-4).$ 综上所述,点$M$的坐标为$(6,4)$或$(3+\sqrt{41},-4)$或$(3-\sqrt{41},-4).$
（3）点$D$在$x$轴上,在抛物线上存在点$P$,使得$△ PBD≌△ PBC$,点$P$的坐标是$(4+\sqrt{26},-\frac{1+\sqrt{26}}{2})$或$(4-\sqrt{26},\frac{\sqrt{26}-1}{2})$或$(-1+\sqrt{41},-8+2\sqrt{41})$或$(-1-\sqrt{41},-8-2\sqrt{41}).$