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8.「2026湖北十堰月考，★☆」在联欢会上，有A,B,C三名选手分别站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最合适的位置是在这个三角形的（
A.三边中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三边上高的交点
C
）A.三边中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三边上高的交点
答案
∵三角形的三边垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等,
∴凳子应放的最合适的位置是这个三角形的三边垂直平分线的交点.
9.「2025江苏连云港中考，★☆」如图，在$△ ABC$中，$BC=7$，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则$△ AEG$的周长为（
A.5
B.6
C.7
D.8
C
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
∵ED是AB的垂直平分线,
∴EA=EB,
∵GF是AC的垂直平分线,
∴GA=GC,
∴△AEG的周长=EA+EG+GA=EB+EG+GC=BC=7.
10.「2026河南安阳期中，★☆」如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，延长$AB$至$D$，使得$BD=AB$，$P$为$△ ABC$外一点，且$PB=PC$，连接$PD$，$PA$，$PA$交$BC$于点$F$，$AF:FP=2:1$，点$E$为$AD$上一动点，当$△ ABC$的面积为12，$AD=12$时，$PE$的最小值为
3
。答案
答案 3
解析
∵AB=AC,PB=PC,
∴AP是BC的垂直平分线,
∴$S_{△ABF}=S_{△ACF}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$,
∵AF:FP=2:1,△ABC的面积为12,
∴$S_{△PBC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=6$,$S_{△ABF}=6$,
∴$S_{△PBF}=S_{△PCF}=\frac{1}{2}S_{△PBC}=3$,
∴$S_{△PAB}=S_{△ABF}+S_{△PBF}=6+3=9$,
∵AD=12,BD=AB,
∴AB=6,
根据“垂线段最短”可知,当PE⊥AD时,PE的值最小,为2×9÷6=3.故答案为3.
解析
∵AB=AC,PB=PC,
∴AP是BC的垂直平分线,
∴$S_{△ABF}=S_{△ACF}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$,
∵AF:FP=2:1,△ABC的面积为12,
∴$S_{△PBC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=6$,$S_{△ABF}=6$,
∴$S_{△PBF}=S_{△PCF}=\frac{1}{2}S_{△PBC}=3$,
∴$S_{△PAB}=S_{△ABF}+S_{△PBF}=6+3=9$,
∵AD=12,BD=AB,
∴AB=6,
根据“垂线段最短”可知,当PE⊥AD时,PE的值最小,为2×9÷6=3.故答案为3.
11.「2026浙江嘉兴期中，★☆」如图，在$△ ABC$中，$D$为$AB$中点，$DE ⊥ AB$，$∠ ACE + ∠ BCE = 180°$，$EF ⊥ BC$于点$F$，$AC=6$，$BC=9$，则$BF$的长为
7.5
。答案
答案 7.5
解析 如图,连接AE,过点E作EH⊥AC交AC的延长线于点H,则∠ACE+∠ECH=180°,
∵∠ACE+∠BCE=180°,
∴∠ECH=∠BCE,
∵EF⊥BC,EH⊥AC,
∴EF=EH,
在Rt△EFC和Rt△EHC中,$\begin{cases} EC=EC, \\ EF=EH, \end{cases}$
∴Rt△EFC≌Rt△EHC(HL),
∴CF=CH,
∵D为AB中点,DE⊥AB,
∴ED垂直平分AB,
∴EA=EB,
在Rt△BFE和Rt△AHE中,$\begin{cases} BE=AE, \\ EF=EH, \end{cases}$
∴Rt△BFE≌Rt△AHE(HL),
∴BF=AH,
∴BC-CF=AC+CH,
∵AC=6,BC=9,
∴9-CF=6+CF,
解得CF=1.5,
∴BF=BC-CF=7.5.
12.「2026河北秦皇岛期中，★☆」如图,已知$△ ABC$中,AD是$∠ BAC$的平分线,$DE ⊥ AB$于点$E$,$DF ⊥ AC$于点$F$,连接$EF$交$AD$于点$G$.
(1)求证:$AD$垂直平分$EF$.
(2)若$AB+AC=8$,$DE=3$,求$△ ABC$的面积.
(1)求证:$AD$垂直平分$EF$.
(2)若$AB+AC=8$,$DE=3$,求$△ ABC$的面积.
答案
(1)证明:
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠AED=∠AFD=90°,DE=DF,
在Rt△ADE和Rt△ADF中,$\begin{cases} AD=AD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),
∴AE=AF,
∴AD垂直平分EF.
(2)由(1)可知DF=DE=3,
∵$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}$,$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$,$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·DF$,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}AC·DF=\frac{1}{2}(AB+AC)×DE=\frac{1}{2}×8×3=12$.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠AED=∠AFD=90°,DE=DF,
在Rt△ADE和Rt△ADF中,$\begin{cases} AD=AD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),
∴AE=AF,
∴AD垂直平分EF.
(2)由(1)可知DF=DE=3,
∵$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}$,$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$,$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·DF$,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}AC·DF=\frac{1}{2}(AB+AC)×DE=\frac{1}{2}×8×3=12$.
13. 核心素养 推理能力 如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AB=25 cm,DA=15 cm,CB=10 cm.动点E从A点出发,以2 cm/s的速度向B点移动,设移动的时间为x秒.
(1)求证:当x=5时,点E在线段CD的垂直平分线上.
(2)在(1)的条件下,判断DE与CE的位置关系,并说明理由.
(1)求证:当x=5时,点E在线段CD的垂直平分线上.
(2)在(1)的条件下,判断DE与CE的位置关系,并说明理由.
答案
(1)证明:当x=5时,AE=2×5=10(cm)=BC.
∵AB=25 cm,DA=15 cm,
∴BE=15 cm=AD.
在△ADE和△BEC中,$\begin{cases} AD=BE, \\ ∠A=∠B, \\ AE=BC, \end{cases}$
∴△ADE≌△BEC(SAS),
∴DE=CE,
∴点E在线段CD的垂直平分线上.
故当x=5时,点E在线段CD的垂直平分线上.
(2)DE与CE的位置关系是DE⊥CE.理由如下:
∵△ADE≌△BEC,
∴∠ADE=∠CEB.
∵∠A=90°,
∴∠AED+∠ADE=90°,
∴∠AED+∠CEB=90°,
∴∠DEC=180°-90°=90°,
∴DE⊥CE.
∵AB=25 cm,DA=15 cm,
∴BE=15 cm=AD.
在△ADE和△BEC中,$\begin{cases} AD=BE, \\ ∠A=∠B, \\ AE=BC, \end{cases}$
∴△ADE≌△BEC(SAS),
∴DE=CE,
∴点E在线段CD的垂直平分线上.
故当x=5时,点E在线段CD的垂直平分线上.
(2)DE与CE的位置关系是DE⊥CE.理由如下:
∵△ADE≌△BEC,
∴∠ADE=∠CEB.
∵∠A=90°,
∴∠AED+∠ADE=90°,
∴∠AED+∠CEB=90°,
∴∠DEC=180°-90°=90°,
∴DE⊥CE.
