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1.「2026河南南阳宛城期中」二次函数$y=-2(x+1)^2$的图象的顶点坐标是 (
A.$(-2,-1)$
B.$(-1,0)$
C.$(-2,0)$
D.$(0,-1)$
B
)A.$(-2,-1)$
B.$(-1,0)$
C.$(-2,0)$
D.$(0,-1)$
答案
1.B 由$y=-2(x+1)^2$得顶点坐标是$(-1,0)$.故选 B.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式的标准形式及对应的顶点坐标规律：二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），顶点坐标为$(h,k)$。接下来将题干给出的函数表达式整理为标准顶点式的形式，对应找到$h$和$k$的取值，即可直接得到顶点坐标。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其图象的顶点坐标为$(h,k)$。
将题干中的函数$y=-2(x+1)^2$变形为标准顶点式：$y=-2[x-(-1)]^2+0$，可得$h=-1$，$k=0$，因此该二次函数图象的顶点坐标为$(-1,0)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数顶点式的性质，熟练掌握顶点式中参数与顶点坐标的对应关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数顶点式的标准形式及对应的顶点坐标规律：二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），顶点坐标为$(h,k)$。接下来将题干给出的函数表达式整理为标准顶点式的形式，对应找到$h$和$k$的取值，即可直接得到顶点坐标。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其图象的顶点坐标为$(h,k)$。
将题干中的函数$y=-2(x+1)^2$变形为标准顶点式：$y=-2[x-(-1)]^2+0$，可得$h=-1$，$k=0$，因此该二次函数图象的顶点坐标为$(-1,0)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数顶点式的性质，熟练掌握顶点式中参数与顶点坐标的对应关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2.「2026山东济南月考」二次函数$y=-(x-1)^2$的图象大致是（
B
）答案
2.B 抛物线$y=-(x-1)^2$的顶点坐标为$(1,0)$,且开口向下.故选 B.
解析
【分析】
要判断二次函数的图象，可从开口方向、顶点坐标两个维度依次分析，排除不符合的选项即可得到答案。首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质：$a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；顶点坐标为$(h,0)$，对称轴为直线$x=h$。
【解析】
对于二次函数$y=-(x-1)^2$：
1. 判断开口方向：二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，排除开口向上的A、C选项；
2. 判断顶点坐标：该函数为顶点式，顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$，D选项顶点坐标为$(-1,0)$，不符合特征，排除D。
综上，只有B选项符合函数图象特征。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象识别
【点评】
本题是基础题，主要考查顶点式二次函数的图象特征，掌握$a$对开口方向的影响、$h$对顶点位置的影响，就能快速排除错误选项得到答案。
【难度系数】
0.9
要判断二次函数的图象，可从开口方向、顶点坐标两个维度依次分析，排除不符合的选项即可得到答案。首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质：$a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；顶点坐标为$(h,0)$，对称轴为直线$x=h$。
【解析】
对于二次函数$y=-(x-1)^2$：
1. 判断开口方向：二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，排除开口向上的A、C选项；
2. 判断顶点坐标：该函数为顶点式，顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$，D选项顶点坐标为$(-1,0)$，不符合特征，排除D。
综上，只有B选项符合函数图象特征。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象识别
【点评】
本题是基础题，主要考查顶点式二次函数的图象特征，掌握$a$对开口方向的影响、$h$对顶点位置的影响，就能快速排除错误选项得到答案。
【难度系数】
0.9
3.「2026江苏苏州期中」抛物线$y=(x+2)^2$可以由抛物线$y=x^2$经过以下哪种方式平移得到（
A.向上平移2个单位
B.向下平移2个单位
C.向左平移2个单位
D.向右平移2个单位
C
）A.向上平移2个单位
B.向下平移2个单位
C.向左平移2个单位
D.向右平移2个单位
答案
3.C 抛物线平移的规律是“左加右减自变量”,
∴由抛物线$y=x^2$向左平移 2 个单位可得到抛物线$y=(x+2)^2$.故选 C.
∴由抛物线$y=x^2$向左平移 2 个单位可得到抛物线$y=(x+2)^2$.故选 C.
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆抛物线平移的基本规律：二次函数图象平移时，遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的规则，其中“左加右减”是指对自变量x本身进行加减操作，向左平移m个单位，x就替换为x+m；向右平移m个单位，x就替换为x-m。我们只需要对比平移前后两个抛物线的解析式，看自变量x的变化情况，就能判断平移方式。
【解析】
抛物线平移的规律为“左加右减自变量，上加下减常数项”。已知原抛物线解析式为$y=x^2$，平移后得到的抛物线解析式为$y=(x+2)^2$，相当于把原解析式中的自变量$x$替换成了$x+2$，符合“左加”的规则，即向左平移了2个单位，因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，核心是掌握平移规律中“左加右减”是针对自变量x本身的变化，不要混淆左右平移和上下平移的规则，熟练掌握规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要回忆抛物线平移的基本规律：二次函数图象平移时，遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的规则，其中“左加右减”是指对自变量x本身进行加减操作，向左平移m个单位，x就替换为x+m；向右平移m个单位，x就替换为x-m。我们只需要对比平移前后两个抛物线的解析式，看自变量x的变化情况，就能判断平移方式。
【解析】
抛物线平移的规律为“左加右减自变量，上加下减常数项”。已知原抛物线解析式为$y=x^2$，平移后得到的抛物线解析式为$y=(x+2)^2$，相当于把原解析式中的自变量$x$替换成了$x+2$，符合“左加”的规则，即向左平移了2个单位，因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，核心是掌握平移规律中“左加右减”是针对自变量x本身的变化，不要混淆左右平移和上下平移的规则，熟练掌握规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4.「2026北京东城期中」对于二次函数$y=-2(x+1)^2$，下列说法错误的是（
A.它的图象的开口向下
B.它的图象的对称轴是直线$x=1$
C.当$x=-1$时，$y$取最大值
D.当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小
B
）A.它的图象的开口向下
B.它的图象的对称轴是直线$x=1$
C.当$x=-1$时，$y$取最大值
D.当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
4.B
∵$y=-2(x+1)^2$中$-2＜0$,
∴它的图象的开口向下,故 A 正确；
图象的对称轴为直线$x=-1$,故 B 错误；
当$x=-1$时,y 取最大值,故 C 正确；
∵$x＞-1$时,y 随 x 的增大而减小,
∴当$x＞1$时,y 随 x 的增大而减小,故 D 正确.故选 B.
∵$y=-2(x+1)^2$中$-2＜0$,
∴它的图象的开口向下,故 A 正确；
图象的对称轴为直线$x=-1$,故 B 错误；
当$x=-1$时,y 取最大值,故 C 正确；
∵$x＞-1$时,y 随 x 的增大而减小,
∴当$x＞1$时,y 随 x 的增大而减小,故 D 正确.故选 B.
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的图象与性质，解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的相关性质：$a$的正负决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，结合开口方向可判断最值和增减性，再逐一验证每个选项的正误，选出错误选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=-2(x+1)^2=-2(x-(-1))^2$：
1. 因为$a=-2＜0$，所以图象开口向下，故A选项说法正确；
2. 图象的对称轴为直线$x=-1$，故B选项说法错误；
3. 因为图象开口向下，顶点为函数图象的最高点，所以当$x=-1$时，$y$取最大值，故C选项说法正确；
4. 因为图象开口向下，对称轴为$x=-1$，所以当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小，$x＞1$包含在$x＞-1$的范围内，因此当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，故D选项说法正确。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数增减性
3. 二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，重点是掌握二次函数顶点式中各参数对应的几何意义，易错点是判断对称轴时容易搞错$h$的符号，只要熟练记忆相关性质就能准确作答。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的图象与性质，解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的相关性质：$a$的正负决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，结合开口方向可判断最值和增减性，再逐一验证每个选项的正误，选出错误选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=-2(x+1)^2=-2(x-(-1))^2$：
1. 因为$a=-2＜0$，所以图象开口向下，故A选项说法正确；
2. 图象的对称轴为直线$x=-1$，故B选项说法错误；
3. 因为图象开口向下，顶点为函数图象的最高点，所以当$x=-1$时，$y$取最大值，故C选项说法正确；
4. 因为图象开口向下，对称轴为$x=-1$，所以当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小，$x＞1$包含在$x＞-1$的范围内，因此当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，故D选项说法正确。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数增减性
3. 二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，重点是掌握二次函数顶点式中各参数对应的几何意义，易错点是判断对称轴时容易搞错$h$的符号，只要熟练记忆相关性质就能准确作答。
【难度系数】
0.8
5.「2026北京海淀期中」在平面直角坐标系$xOy$中，若点$(-2,a)$和点$(3,b)$在二次函数$y=(x+1)^2$的图象上，则a
＜
b.(填“＞”“＜”或“=”)答案
5.答案 ＜
解析 由题意得 $a=(-2+1)^2=(-1)^2=1,b=(3+1)^2=4^2=16$,
∵ $1＜16$,
∴ $a＜b$.
解析 由题意得 $a=(-2+1)^2=(-1)^2=1,b=(3+1)^2=4^2=16$,
∵ $1＜16$,
∴ $a＜b$.
解析
【分析】
要比较a和b的大小，a、b分别是两个点在二次函数上对应的函数值，可选择两种思路解题：思路一：根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将两个点的横坐标分别代入解析式，求出a、b的具体数值后直接比较大小；思路二：先分析二次函数性质，该函数开口向上，对称轴为直线$x=-1$，开口向上的抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，计算两个点到对称轴的距离后即可比较大小。
【解析】
∵ 点$(-2,a)$和点$(3,b)$在二次函数$y=(x+1)^2$的图象上，
∴ 将$x=-2$代入解析式得：$a=(-2+1)^2=(-1)^2=1$，
将$x=3$代入解析式得：$b=(3+1)^2=4^2=16$，
∵ $1＜16$，
∴ $a＜b$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、有理数大小比较、二次函数的性质
【点评】
本题属于基础题，考查二次函数相关知识，解题方法灵活，既可以代入坐标直接计算比较，也可以利用二次函数的对称性、增减性快速判断。
【难度系数】
0.9
要比较a和b的大小，a、b分别是两个点在二次函数上对应的函数值，可选择两种思路解题：思路一：根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将两个点的横坐标分别代入解析式，求出a、b的具体数值后直接比较大小；思路二：先分析二次函数性质，该函数开口向上，对称轴为直线$x=-1$，开口向上的抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，计算两个点到对称轴的距离后即可比较大小。
【解析】
∵ 点$(-2,a)$和点$(3,b)$在二次函数$y=(x+1)^2$的图象上，
∴ 将$x=-2$代入解析式得：$a=(-2+1)^2=(-1)^2=1$，
将$x=3$代入解析式得：$b=(3+1)^2=4^2=16$，
∵ $1＜16$，
∴ $a＜b$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、有理数大小比较、二次函数的性质
【点评】
本题属于基础题，考查二次函数相关知识，解题方法灵活，既可以代入坐标直接计算比较，也可以利用二次函数的对称性、增减性快速判断。
【难度系数】
0.9
6.「2026山东烟台莱山期中，★☆」在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=kx+b$和二次函数$y=k(x-b)^2$的图象可能为 (
D
)答案
6.D A.由直线经过第一、二、四象限,得 $k＜0,b＞0$,由抛物线开口向下,对称轴在 $y$ 轴左侧,得 $k＜0,b＜0$,矛盾,不符合题意;B.由直线经过第一、二、三象限,得 $k＞0,b＞0$,由抛物线开口向下,对称轴在 $y$ 轴右侧,得 $k＜0,b＞0$,矛盾,不符合题意;C.由直线经过第一、二、四象限,得 $k＜0,b＞0$,由抛物线开口向上,对称轴在 $y$ 轴左侧,得 $k＞0,b＜0$,矛盾,不符合题意;D.由直线经过第一、二、三象限,得 $k＞0,b＞0$,由抛物线开口向上,对称轴在 $y$ 轴右侧,得 $k＞0,b＞0$,符合题意.故选 D.
解析
【分析】
本题是一次函数与二次函数图象共存判断类问题，解题核心思路是“参数符号验证法”：首先分别回忆一次函数、二次函数的图象与参数的对应关系，再对每个选项，先根据一次函数图象推导k、b的正负，再验证二次函数的开口方向（对应k的符号）、对称轴位置（对应b的符号）是否和推导结果一致，无矛盾的即为正确选项，也可通过排除法快速排除错误选项。
【解析】
先明确两类函数的图象性质：
1. 一次函数$y=kx+b$：
$k＞0$时，直线经过第一、三象限；$k＜0$时，直线经过第二、四象限；
$b＞0$时，直线与y轴交于正半轴；$b＜0$时，直线与y轴交于负半轴。
2. 二次函数$y=k(x-b)^2$：
开口方向：$k＞0$时开口向上，$k＜0$时开口向下；
对称轴为直线$x=b$：$b＞0$时对称轴在y轴右侧，$b＜0$时对称轴在y轴左侧。
逐个分析选项：
A选项：直线过第一、二、四象限，得$k＜0$，$b＞0$；抛物线开口向下（$k＜0$）但对称轴在y轴左侧（$b＜0$），$b$的符号矛盾，不符合题意。
B选项：直线过第一、二、三象限，得$k＞0$，$b＞0$；抛物线开口向下（$k＜0$），$k$的符号矛盾，不符合题意。
C选项：直线过第一、二、四象限，得$k＜0$，$b＞0$；抛物线开口向上（$k＞0$），$k$的符号矛盾，不符合题意。
D选项：直线过第一、二、三象限，得$k＞0$，$b＞0$；抛物线开口向上（$k＞0$），对称轴在y轴右侧（$b＞0$），参数符号完全一致，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；函数图象共存判断
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查对不同函数图象与参数对应关系的掌握，采用排除法可大幅提升解题效率，熟练掌握各类函数的图象性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
本题是一次函数与二次函数图象共存判断类问题，解题核心思路是“参数符号验证法”：首先分别回忆一次函数、二次函数的图象与参数的对应关系，再对每个选项，先根据一次函数图象推导k、b的正负，再验证二次函数的开口方向（对应k的符号）、对称轴位置（对应b的符号）是否和推导结果一致，无矛盾的即为正确选项，也可通过排除法快速排除错误选项。
【解析】
先明确两类函数的图象性质：
1. 一次函数$y=kx+b$：
$k＞0$时，直线经过第一、三象限；$k＜0$时，直线经过第二、四象限；
$b＞0$时，直线与y轴交于正半轴；$b＜0$时，直线与y轴交于负半轴。
2. 二次函数$y=k(x-b)^2$：
开口方向：$k＞0$时开口向上，$k＜0$时开口向下；
对称轴为直线$x=b$：$b＞0$时对称轴在y轴右侧，$b＜0$时对称轴在y轴左侧。
逐个分析选项：
A选项：直线过第一、二、四象限，得$k＜0$，$b＞0$；抛物线开口向下（$k＜0$）但对称轴在y轴左侧（$b＜0$），$b$的符号矛盾，不符合题意。
B选项：直线过第一、二、三象限，得$k＞0$，$b＞0$；抛物线开口向下（$k＜0$），$k$的符号矛盾，不符合题意。
C选项：直线过第一、二、四象限，得$k＜0$，$b＞0$；抛物线开口向上（$k＞0$），$k$的符号矛盾，不符合题意。
D选项：直线过第一、二、三象限，得$k＞0$，$b＞0$；抛物线开口向上（$k＞0$），对称轴在y轴右侧（$b＞0$），参数符号完全一致，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；函数图象共存判断
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查对不同函数图象与参数对应关系的掌握，采用排除法可大幅提升解题效率，熟练掌握各类函数的图象性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
7.「2026天津河东月考，★☆」抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴是直线$x=2$，且过点$(5,-3)$。
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标。
(2)当$x$在什么范围内时，$y$随$x$的增大而减小？当$x$取何值时，函数有最大(或最小)值？并求出相应的最大(或最小)值。
(3)当$-1≤x≤3$时，直接写出函数值$y$的取值范围。
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标。
(2)当$x$在什么范围内时，$y$随$x$的增大而减小？当$x$取何值时，函数有最大(或最小)值？并求出相应的最大(或最小)值。
(3)当$-1≤x≤3$时，直接写出函数值$y$的取值范围。
答案
7.解析 (1)
∵ 对称轴是直线 $x=2$,
∴ $h=2$,
∴ 抛物线的解析式为 $y=a(x-2)^2$.
∵ 抛物线过点 $(5,-3)$,
∴ $-3=9a$,解得 $a=-\frac{1}{3}$.
故抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{3}(x-2)^2$,顶点坐标为$(2,0)$.
(2)
∵ $a=-\frac{1}{3}＜0$,
∴ 抛物线开口向下,
∵ 抛物线的对称轴为直线 $x=2$,
∴ 当 $x＞2$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
∵ 抛物线的顶点坐标为$(2,0)$,
∴ 当 $x=2$ 时,函数有最大值,为 0.
(3)$-3≤y≤0$.
详解:当 $x=-1$ 时,$y=-\frac{1}{3}×(-1-2)^2=-3$,当 $x=3$ 时,
$y=-\frac{1}{3}×(3-2)^2=-\frac{1}{3}$,当 $x=2$ 时,$y=0$,
∴ 当 $-1≤x≤3$时,函数值 $y$ 的取值范围为$-3≤y≤0$.
∵ 对称轴是直线 $x=2$,
∴ $h=2$,
∴ 抛物线的解析式为 $y=a(x-2)^2$.
∵ 抛物线过点 $(5,-3)$,
∴ $-3=9a$,解得 $a=-\frac{1}{3}$.
故抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{3}(x-2)^2$,顶点坐标为$(2,0)$.
(2)
∵ $a=-\frac{1}{3}＜0$,
∴ 抛物线开口向下,
∵ 抛物线的对称轴为直线 $x=2$,
∴ 当 $x＞2$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
∵ 抛物线的顶点坐标为$(2,0)$,
∴ 当 $x=2$ 时,函数有最大值,为 0.
(3)$-3≤y≤0$.
详解:当 $x=-1$ 时,$y=-\frac{1}{3}×(-1-2)^2=-3$,当 $x=3$ 时,
$y=-\frac{1}{3}×(3-2)^2=-\frac{1}{3}$,当 $x=2$ 时,$y=0$,
∴ 当 $-1≤x≤3$时,函数值 $y$ 的取值范围为$-3≤y≤0$.
解析
【分析】
解题思路可分三步展开：(1)先利用顶点式抛物线的对称轴与参数h的对应关系求出h的值，再将已知点坐标代入解析式求出a，即可得到抛物线解析式，顶点坐标可直接由顶点式特征得到；(2)根据a的正负判断抛物线开口方向，结合对称轴即可确定y随x增大而减小的区间，顶点处对应函数的最值；(3)先判断顶点是否在给定的x区间内，再分别计算区间端点和顶点处的函数值，比较数值大小后即可得到y的取值范围。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴是直线$x=2$，
∴ $h=2$，抛物线解析式可写为$y=a(x-2)^2$。
将点$(5,-3)$代入解析式得：$-3=a(5-2)^2$，即$-3=9a$，
解得$a=-\frac{1}{3}$。
∴ 抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{3}(x-2)^2$，顶点坐标为$(2,0)$。
(2)
∵ $a=-\frac{1}{3}＜0$，
∴ 抛物线开口向下，
又
∵ 抛物线对称轴为直线$x=2$，
∴ 当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小。
∵ 抛物线顶点坐标为$(2,0)$，开口向下，
∴ 当$x=2$时，函数有最大值，最大值为$0$。
(3) 先计算区间端点及顶点处的函数值：
当$x=-1$时，$y=-\frac{1}{3}×(-1-2)^2=-3$；
当$x=3$时，$y=-\frac{1}{3}×(3-2)^2=-\frac{1}{3}$；
当$x=2$时，$y=0$。
比较三个函数值大小可得，当$-1≤x≤3$时，$y$的取值范围是$-3≤y≤0$。
【答案】
(1) 抛物线解析式为$y=-\frac{1}{3}(x-2)^2$，顶点坐标为$(2,0)$；
(2) 当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=2$时，函数有最大值，最大值为$0$；
(3) $-3≤y≤0$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数顶点式的常规应用题目，侧重对基础性质的考察，解题的核心是准确掌握顶点式中参数的几何意义，结合开口方向和对称轴分析函数的增减性与最值，求解给定区间的函数取值范围时，要注意判断顶点是否落在区间内，避免仅代入端点计算出错。
【难度系数】
0.8
解题思路可分三步展开：(1)先利用顶点式抛物线的对称轴与参数h的对应关系求出h的值，再将已知点坐标代入解析式求出a，即可得到抛物线解析式，顶点坐标可直接由顶点式特征得到；(2)根据a的正负判断抛物线开口方向，结合对称轴即可确定y随x增大而减小的区间，顶点处对应函数的最值；(3)先判断顶点是否在给定的x区间内，再分别计算区间端点和顶点处的函数值，比较数值大小后即可得到y的取值范围。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴是直线$x=2$，
∴ $h=2$，抛物线解析式可写为$y=a(x-2)^2$。
将点$(5,-3)$代入解析式得：$-3=a(5-2)^2$，即$-3=9a$，
解得$a=-\frac{1}{3}$。
∴ 抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{3}(x-2)^2$，顶点坐标为$(2,0)$。
(2)
∵ $a=-\frac{1}{3}＜0$，
∴ 抛物线开口向下，
又
∵ 抛物线对称轴为直线$x=2$，
∴ 当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小。
∵ 抛物线顶点坐标为$(2,0)$，开口向下，
∴ 当$x=2$时，函数有最大值，最大值为$0$。
(3) 先计算区间端点及顶点处的函数值：
当$x=-1$时，$y=-\frac{1}{3}×(-1-2)^2=-3$；
当$x=3$时，$y=-\frac{1}{3}×(3-2)^2=-\frac{1}{3}$；
当$x=2$时，$y=0$。
比较三个函数值大小可得，当$-1≤x≤3$时，$y$的取值范围是$-3≤y≤0$。
【答案】
(1) 抛物线解析式为$y=-\frac{1}{3}(x-2)^2$，顶点坐标为$(2,0)$；
(2) 当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=2$时，函数有最大值，最大值为$0$；
(3) $-3≤y≤0$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数顶点式的常规应用题目，侧重对基础性质的考察，解题的核心是准确掌握顶点式中参数的几何意义，结合开口方向和对称轴分析函数的增减性与最值，求解给定区间的函数取值范围时，要注意判断顶点是否落在区间内，避免仅代入端点计算出错。
【难度系数】
0.8
8.「2026云南昆明月考，★☆」如图，抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB=OA.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点$C(-3,m)$在该抛物线上，求$△ ABC$的面积.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点$C(-3,m)$在该抛物线上，求$△ ABC$的面积.
答案
8.解析 (1)由$y=a(x+1)^2$,得顶点 $A(-1,0)$,所以 $OA=1$,
因为 $OB=OA$,所以 $OB=1$,所以 $B(0,-1)$.
将点 $B(0,-1)$ 代入 $y=a(x+1)^2$,得 $-1=a(0+1)^2$,
解得 $a=-1$,所以 $y=-(x+1)^2$.
(2)如图,过点 $C$ 作 $CD ⊥ x$ 轴于 $D$,将 $C(-3,m)$ 代入 $y=-(x+1)^2$,
得 $m=-(-3+1)^2=-4$,
所以 $C(-3,-4)$.
所以 $S_{△ABC}=S_{梯形OBCD}-S_{△ACD}-S_{△AOB}$
$=\frac{1}{2}×(1+4)×3-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×1×1$
$=3$.
解析
【分析】
(1) 解第一问首先利用二次函数顶点式的性质，先确定顶点A的坐标得到OA的长度，再结合OB=OA和B点的位置求出B点坐标，最后将B点坐标代入解析式即可求出参数a，得到抛物线解析式。
(2) 解第二问先将C点横坐标代入已求的抛物线解析式，得到C点的完整坐标；由于△ABC的边均不与坐标轴平行，直接计算面积较复杂，因此采用割补法：通过作x轴的垂线CD，将△ABC的面积转化为梯形面积减去两个直角三角形的面积，简化计算。
【解析】
(1) 抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点A的坐标为$(-1,0)$，因此$OA=1$。
由$OB=OA$得$OB=1$，又点B在y轴负半轴，故$B(0,-1)$。
将$B(0,-1)$代入$y=a(x+1)^2$，得：
$-1=a(0+1)^2$
解得$a=-1$，因此抛物线的解析式为$y=-(x+1)^2$。
(2) 将$C(-3,m)$代入$y=-(x+1)^2$，得：
$m=-(-3+1)^2=-4$，即$C(-3,-4)$。
如图，过点C作$CD⊥ x$轴于D，
则$S_{△ ABC}=S_{梯形OBCD}-S_{△ ACD}-S_{△ AOB}$
分别计算各部分面积：
$S_{梯形OBCD}=\frac{1}{2}×(1+4)×3=\frac{15}{2}$
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×2×4=4$
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$
因此$S_{△ ABC}=\frac{15}{2}-4-\frac{1}{2}=3$。
【答案】
(1) $y=-(x+1)^2$
(2) $3$
【知识点】
二次函数顶点式性质，待定系数法求解析式，割补法求面积
【点评】
本题是二次函数基础题型，既考查了二次函数顶点式的基本性质，也考查了坐标系内不规则图形面积的计算技巧，掌握顶点式的特征和割补法的应用就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 解第一问首先利用二次函数顶点式的性质，先确定顶点A的坐标得到OA的长度，再结合OB=OA和B点的位置求出B点坐标，最后将B点坐标代入解析式即可求出参数a，得到抛物线解析式。
(2) 解第二问先将C点横坐标代入已求的抛物线解析式，得到C点的完整坐标；由于△ABC的边均不与坐标轴平行，直接计算面积较复杂，因此采用割补法：通过作x轴的垂线CD，将△ABC的面积转化为梯形面积减去两个直角三角形的面积，简化计算。
【解析】
(1) 抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点A的坐标为$(-1,0)$，因此$OA=1$。
由$OB=OA$得$OB=1$，又点B在y轴负半轴，故$B(0,-1)$。
将$B(0,-1)$代入$y=a(x+1)^2$，得：
$-1=a(0+1)^2$
解得$a=-1$，因此抛物线的解析式为$y=-(x+1)^2$。
(2) 将$C(-3,m)$代入$y=-(x+1)^2$，得：
$m=-(-3+1)^2=-4$，即$C(-3,-4)$。
如图，过点C作$CD⊥ x$轴于D，
则$S_{△ ABC}=S_{梯形OBCD}-S_{△ ACD}-S_{△ AOB}$
分别计算各部分面积：
$S_{梯形OBCD}=\frac{1}{2}×(1+4)×3=\frac{15}{2}$
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×2×4=4$
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$
因此$S_{△ ABC}=\frac{15}{2}-4-\frac{1}{2}=3$。
【答案】
(1) $y=-(x+1)^2$
(2) $3$
【知识点】
二次函数顶点式性质，待定系数法求解析式，割补法求面积
【点评】
本题是二次函数基础题型，既考查了二次函数顶点式的基本性质，也考查了坐标系内不规则图形面积的计算技巧，掌握顶点式的特征和割补法的应用就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
