1 [2025 内蒙古]如图,在平面直角坐标系中,△OAB 的顶点坐标分别是O(0,0),A(2,1),B(1,2),以原点O为位似中心,在第三象限画△OA'B'与△OAB 位似. 若△OA'B'与△OAB 的相似比为$2:1$,则点A 的对应点A'的坐标为 ()

A.$(-2,-1)$
B.$(-4,-2)$
C.$(-1,-2)$
D.$(-2,-4)$

1. B

【分析】
解题思路如下：首先明确本题考查平面直角坐标系中的位似变换坐标规律。第一步，确定位似中心为原点O，位似图形△OA'B'与原图形△OAB的相似比为2:1；第二步，判断两个位似图形的位置：△OAB在第一象限，△OA'B'在第三象限，二者位于位似中心异侧，因此对应点坐标需要乘以负的相似比；第三步，代入点A的坐标计算即可得到A'的坐标。
【解析】
根据平面直角坐标系中位似变换的规律：若以原点为位似中心，相似比为k，则位似图形对应点的坐标为原坐标的k倍（同侧）或$-k$倍（异侧）。
已知△OA'B'与△OAB的相似比为$2:1$，即$k=2$，且△OA'B'在第三象限，与第一象限的△OAB在原点异侧，因此点A的对应点A'的坐标为原坐标乘以$-2$。
点A的坐标为$(2,1)$，则A'的坐标为：$(2×(-2),1×(-2))=(-4,-2)$。
【答案】
B
【知识点】
位似变换的坐标规律；相似比的应用
【点评】
本题是位似变换的基础题，解题的关键是明确以原点为位似中心时，对应点坐标的变化规律，尤其要注意根据位似图形的位置判断坐标的符号，同时要准确对应相似比的比例关系，避免因符号或倍数计算错误失分。
【难度系数】
0.8

2 [2025 浙江]如图,五边形$ABCDE$和五边形$A'B'C'D'E'$是以坐标原点$O$为位似中心的位似图形,点$A$,$A'$的坐标分别为$(2,0)$,$(3,0)$.若$DE$的长为$3$,则$D'E'$的长为 ()

A.$\frac{7}{2}$
B.$4$
C.$\frac{9}{2}$
D.$5$

2. C

【分析】
解决本题首先要回忆位似图形的相关性质：以原点为位似中心的两个位似图形，对应点坐标的比值的绝对值等于位似比，且位似图形的对应边长度之比等于位似比。解题时第一步先根据点A和点A'的坐标求出两个五边形的位似比，第二步结合已知的DE长度，利用对应边的比例关系即可求出D'E'的长度。
【解析】
解：
∵五边形$ABCDE$和五边形$A'B'C'D'E'$是以坐标原点$O$为位似中心的位似图形，
点$A$坐标为$(2,0)$，点$A'$坐标为$(3,0)$，
∴两个图形的位似比$k=\frac{OA'}{OA}=\frac{3}{2}$，
根据位似图形的性质，位似图形对应边的比等于位似比，可得：
$\frac{D'E'}{DE}=\frac{3}{2}$，
已知$DE=3$，代入得：
$D'E'=3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质，平面直角坐标系中的位似变换
【点评】
本题属于位似变换的基础题，解题的关键是先通过对应点的坐标确定位似比，再利用位似比和对应边长的关系计算未知边长，掌握位似的基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8

3 [2025东营垦利期末]在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，点A(-2,0)，D(3,0)，则△ABC与△DEF的周长之比是。

3. 2:3

【分析】
要解决这道题，首先回忆位似图形的相关性质：位似图形是特殊的相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离之比，同时相似图形的周长之比等于相似比。首先找到两个位似图形的一组对应点A和D，分别计算两点到位似中心原点O的距离，即可得到两个三角形的相似比，进而得到周长之比。
【解析】
∵△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形
∴△ABC∽△DEF，且二者的相似比等于对应点到原点O的距离之比
已知点A(-2,0)，D(3,0)
∴OA=|-2|=2，OD=|3|=3
∴△ABC与△DEF的相似比为OA:OD=2:3
又
∵相似三角形的周长之比等于相似比
∴△ABC与△DEF的周长之比为2:3
【答案】
2:3
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形周长性质
【点评】
本题考查位似图形与相似三角形性质的结合应用，解题的核心是抓住位似图形的相似比与对应点到位似中心距离的关系，再结合相似三角形周长比的性质即可快速得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.8

4 [2025 兰州改编]如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△A'B'C'位似,位似中心是原点O.若△ABC与△A'B'C'的面积比为1:4,则点B(2,0)的对应点B'的坐标是.

4. (4,0)

【分析】
解题时首先明确位似图形是特殊的相似图形，满足相似图形的所有性质。第一步，已知两个三角形的面积比，根据相似图形面积比等于相似比的平方，可先求出两个图形的相似比；第二步，回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换规律：若两个图形在原点同侧，对应点的坐标比等于相似比，结合本题图形可知△A'B'C'是△ABC放大后的图形，且两个图形都在原点同侧，因此将点B的坐标乘相似比即可得到对应点B'的坐标。
【解析】
∵△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为原点O，
∴△ABC∽△A'B'C'，对应点的坐标比等于相似比。
∵△ABC与△A'B'C'的面积比为1:4，相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴△ABC与△A'B'C'的相似比为$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，即△A'B'C'与△ABC的相似比为2。
由图可知两个位似图形位于原点同侧，因此点B的对应点B'的坐标为B的坐标乘相似比2，
已知B(2,0)，则B'的坐标为$(2×2,0×2)=(4,0)$。
【答案】
(4,0)
【知识点】
位似的性质；相似比与面积比的关系；位似点坐标规律
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是掌握位似和相似的关联性质，注意结合图形判断位似图形与原点的相对位置，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8

5 如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别为$A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4)$.以原点O为位似中心,将四边形ABCD缩小为原来的$\frac{1}{2}$,得到四边形$A'B'C'D'$,点A,B,C,D的对应点分别是$A',B',C',D'$,且点$A'$在第四象限.
(1) 画出四边形$A'B'C'D'$;
(2) 写出点$A',C'$的坐标.

5. (1) 如图,四边形$A'B'C'D'$即为所求作
(2) $A'(3,-3)$,$C'(2,0)$

【分析】
本题考查平面直角坐标系中的位似变换，解题思路如下：1. 明确位似三要素：位似中心为原点O，位似比为$\frac{1}{2}$，且缩小后的图形与原图形在原点异侧（因为点A原在第二象限，对应点$A'$在第四象限），因此对应点坐标为原坐标乘以$-\frac{1}{2}$；2. 第一问作图：先算出四个顶点的对应点坐标，再描点、顺次连线即可；3. 第二问直接根据坐标变换规则计算$A'$、$C'$的坐标即可。
【解析】
(1) 位似变换中，以原点为位似中心，位似图形与原图形在原点两侧时，对应点的坐标为原坐标乘以位似比的相反数。本题位似比为$\frac{1}{2}$，因此各点对应坐标计算如下：
$A'$的坐标：$(-6×(-\frac{1}{2}),6×(-\frac{1}{2}))=(3,-3)$
$B'$的坐标：$(-8×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))=(4,-1)$
$C'$的坐标：$(-4×(-\frac{1}{2}),0×(-\frac{1}{2}))=(2,0)$
$D'$的坐标：$(-2×(-\frac{1}{2}),4×(-\frac{1}{2}))=(1,-2)$
在平面直角坐标系中描出$A'、B'、C'、D'$四个点，顺次连接，即得到四边形$A'B'C'D'$。
(2) 由上述坐标计算过程，可直接得到$A'$、$C'$的坐标。
【答案】
(1) 如图,四边形$A'B'C'D'$即为所求作
(2) $A'(3,-3)$,$C'(2,0)$
【知识点】
平面直角坐标系中位似变换，坐标变换规律，位似图形作图
【点评】
本题属于位似变换的基础题型，解题的关键是掌握原点为位似中心时对应点的坐标变化规律，注意根据对应点所在象限确定坐标的符号，避免出错。
【难度系数】
0.8

6 [2025丹东宽甸期末]如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上.
（1）以点O为位似中心，把△ABC放大为原来的2倍，在y轴左侧画出放大后的△DEF；
（2）点A的对应点D的坐标是；
（3）求$S_{△ ABO}:S_{四边形ABED}$.

6. (1) 如图,△DEF即为所求作
(2) $(-2,6)$
(3) 由题意,得$AB// DE$,$\therefore$易得$△ ABO∽△ DEO$. 又$\because$ 把$△ ABC$放大为原来的2倍得到$△ DEF$,$\therefore AB:DE=1:2$.$\therefore S_{△ ABO}:S_{△ DEO}=1:4$.$\therefore S_{△ ABO}:S_{四边形ABED}=1:3$

【分析】
（1）位似作图首先明确三要素：位似中心为原点O，位似比为2，作图位置为y轴左侧（和原图形在原点同侧）。先确定△ABC三个顶点的坐标，将各点横、纵坐标分别乘以位似比2，得到对应点D、E、F的坐标，依次连接三点即可得到放大后的△DEF。
（2）求点D坐标：先确定原图形中点A的坐标，再根据位似变换的坐标变化规律，乘以位似比2即可得到对应点D的坐标。
（3）求面积比：根据位似的性质可得对应边AB//DE，推出△ABO∽△DEO，相似比等于位似比1:2；再结合相似三角形面积比等于相似比的平方，得到两个三角形的面积比为1:4；四边形ABED的面积等于△DEO的面积减去△ABO的面积，代入即可算出所求面积比值。
【解析】
（1）先确定△ABC各顶点坐标：A(-1,3)，B(-2,1)，C(-3,3)。
按位似比2、在y轴左侧作图的要求，计算对应点坐标：
D(-1×2, 3×2)=(-2,6)，E(-2×2,1×2)=(-4,2)，F(-3×2,3×2)=(-6,6)。
在坐标系中描出D、E、F三点，依次连接DE、EF、FD，所得△DEF即为所求。
（2）由坐标计算可得点A的对应点D的坐标为(-2,6)。
（3）
∵△DEF是△ABC以O为位似中心放大2倍得到的位似图形，
∴AB//DE，△ABO∽△DEO，相似比$k=AB:DE=1:2$。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，
∴$S_{△ ABO}:S_{△ DEO}=k^2=1:4$。
设$S_{△ ABO}=a$，则$S_{△ DEO}=4a$，
∴$S_{四边形ABED}=S_{△ DEO}-S_{△ ABO}=4a-a=3a$，
∴$S_{△ ABO}:S_{四边形ABED}=a:3a=1:3$。
【答案】
(1) 如图,△DEF即为所求作
(2) $\boldsymbol{(-2,6)}$
(3) $\boldsymbol{1:3}$
【知识点】
位似变换的性质，相似三角形的面积比，坐标与图形变化
【点评】
本题综合考查位似图形的作图、坐标变换以及相似三角形性质的应用，解题的核心是掌握位似和相似的关联，理清位似比、相似比、面积比之间的关系，属于基础常考题，侧重对基础概念和性质的考查。
【难度系数】
0.7