1. 如图，$∠ B=∠ C=36°$，$∠ ADE=∠ AED=72°$，则图中的等腰三角形有 （）

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

1. D

【分析】
要判断图中的等腰三角形，依据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，我们可以先通过三角形内角和定理、外角性质计算出所有未知角的度数，再逐一排查每个三角形是否存在两个相等的内角，最后统计符合条件的等腰三角形总数即可。
【解析】
我们逐个推导判断：
1. 在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C=36°$，两个底角相等，因此$△ ABC$是等腰三角形，同时得$∠ BAC=180°-36°×2=108°$。
2. 在$△ ADE$中，$∠ ADE=∠ AED=72°$，两个底角相等，因此$△ ADE$是等腰三角形，同时得$∠ DAE=180°-72°×2=36°$。
3. $∠ ADE$是$△ ABD$的外角，根据外角性质：$∠ ADE=∠ B+∠ BAD$，代入数值得$72°=36°+∠ BAD$，解得$∠ BAD=36°=∠ B$，因此$△ ABD$是等腰三角形。
4. 同理，$∠ AED$是$△ ACE$的外角：$∠ AED=∠ C+∠ CAE$，代入得$72°=36°+∠ CAE$，解得$∠ CAE=36°=∠ C$，因此$△ ACE$是等腰三角形。
5. 计算得$∠ BAE=∠ BAD+∠ DAE=36°+36°=72°=∠ AEB$，$△ ABE$中两个角相等，因此$△ ABE$是等腰三角形。
6. 计算得$∠ CAD=∠ CAE+∠ DAE=36°+36°=72°=∠ ADC$，$△ ADC$中两个角相等，因此$△ ADC$是等腰三角形。
综上，等腰三角形共6个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角性质
【点评】
本题解题核心是利用三角形角度计算的相关性质推导所有内角度数，再结合“等角对等边”逐一判断，做题时要注意按顺序排查，避免漏数三角形。
【难度系数】
0.7

2.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东$70°$方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东$40°$方向的N处,则N处与灯塔P的距离为海里.

2. 80

【分析】
解题时先根据路程公式算出海轮航行的距离MN，再结合方向角的性质和平行线内错角相等的规律，求出△PMN的各内角度数，最后利用等腰三角形“等角对等边”的判定定理，即可得出N处与灯塔P的距离。
【解析】
1. 计算MN的长度：
海轮的航行速度为每小时40海里，航行时间为2小时，根据路程=速度×时间，可得$MN=40×2=80$海里。
2. 求△PMN的内角度数：
由题意可知MN沿正北方向，与过P点的南北方向虚线平行，根据平行线内错角相等可得：
$∠ PNM=40°$，$∠ PMN=70°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ MPN=180°-∠ PNM-∠ PMN=180°-40°-70°=70°$。
3. 判定等腰三角形求PN的长度：
因为$∠ MPN=∠ PMN=70°$，根据等角对等边，可得$PN=MN=80$海里。
【答案】
80
【知识点】
等腰三角形的判定、方向角的认识、三角形内角和定理
【点评】
本题将方向角和等腰三角形判定相结合，解题的核心是准确从方向角中提取三角形的内角信息，再通过等角对等边建立边的等量关系，能有效考查学生对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

3. 如图，在$△ ABC$中，$DE// BC$，$∠ EDF=∠ C$.
(1)求证：$∠ BDF=∠ A$；
(2)若$∠ A=45°$，$DF$平分$∠ BDE$，请直接写出$△ ABC$的形状.

3. (1)【证明】$\because DE// BC,\therefore ∠ AED=∠ C.$
又$\because ∠ EDF=∠ C,\therefore ∠ EDF=∠ AED.$
$\therefore DF// AC. \therefore ∠ BDF=∠ A.$
(2)【解】$△ ABC$是等腰直角三角形.
【点拨】$\because ∠ A=45^{\circ },∠ BDF=∠ A,\therefore ∠ BDF=∠ A=45^{\circ }.$
又$\because DF$平分$∠ BDE,\therefore ∠ BDE=2∠ BDF=90^{\circ }.$
$\because DE// BC,\therefore ∠ B=180^{\circ }-∠ BDE=90^{\circ }.$
$\therefore ∠ C=180^{\circ }-∠ A-∠ B=45^{\circ }=∠ A.$
$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形.

【分析】
(1)要证明∠BDF=∠A，可通过证明DF与AC平行得到同位角相等。首先利用DE//BC的性质推出∠AED=∠C，结合已知∠EDF=∠C等量代换得到内错角相等，即可证明DF//AC，进而得到对应角相等。
(2)结合第一问的结论先得到∠BDF的度数，再利用角平分线的定义求出∠BDE的度数，根据DE//BC的同旁内角互补性质求出∠B的度数，最后结合三角形内角和求出∠C的度数，即可判断△ABC的形状。
【解析】
(1)证明：
∵ DE//BC，
∴ ∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠EDF=∠C，
∴ ∠EDF=∠AED（等量代换），
∴ DF//AC（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠BDF=∠A（两直线平行，同位角相等）。
(2)解：
由(1)得∠BDF=∠A=45°，
∵ DF平分∠BDE，
∴ ∠BDE=2∠BDF=2×45°=90°。
∵ DE//BC，
∴ ∠B+∠BDE=180°（两直线平行，同旁内角互补），
解得∠B=90°。
在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-90°=45°，
∴ ∠C=∠A，故△ABC为等腰直角三角形。
【答案】
(1)证明成立；
(2)△ABC是等腰直角三角形。
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；等腰直角三角形判定
【点评】
本题是平行线与三角形知识结合的基础综合题，解题核心是利用平行线的性质与判定完成角的等量转化，需要学生熟练掌握基础几何定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.7

4. 下列条件不能判定$△ ABC$是等边三角形的是（）

A.$AB=BC=AC$
B.$∠ A=∠ B=∠ C$
C.$AB=AC,∠ A=60°$
D.$∠ A+∠ B=2∠ C$

4. D

【分析】
解题时首先要牢记等边三角形的三类判定依据：①三边相等的三角形是等边三角形；②三个内角都相等的三角形是等边三角形；③有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形。接下来将每个选项对应上述判定依据逐一验证，筛选出无法判定△ABC是等边三角形的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$AB=BC=AC$，满足“三边相等的三角形是等边三角形”的判定，可判定$△ABC$是等边三角形，不符合题意；
B选项：$∠A=∠B=∠C$，结合三角形内角和为$180°$，可得三个角均为$60°$，满足“三个角相等的三角形是等边三角形”的判定，可判定$△ABC$是等边三角形，不符合题意；
C选项：$AB=AC$说明$△ABC$是等腰三角形，又$∠A=60°$，满足“有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形”的判定，可判定$△ABC$是等边三角形，不符合题意；
D选项：已知$∠A+∠B=2∠C$，结合三角形内角和$∠A+∠B+∠C=180°$，代入可得$2∠C+∠C=180°$，解得$∠C=60°$，仅能确定$∠C$的度数，无法推出$∠A$、$∠B$的度数也为$60°$，也不能证明三边相等，比如当$∠A=90°$，$∠B=30°$，$∠C=60°$时，$△ABC$是直角三角形，不是等边三角形，因此该条件不能判定$△ABC$是等边三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定、三角形内角和定理
【点评】
本题是等边三角形判定的基础应用题，解题核心是熟练掌握等边三角形的三类判定方法，结合三角形内角和定理对选项逐一验证即可，注意审题时要明确题目要求选“不能判定”的选项，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.7

5. 将含$30°$角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知$∠α=60°$，点B，C表示的刻度分别为1，3，则线段AC的长为cm.

5. 2 【点拨】$\because$直尺的两条对边相互平行，$\therefore ∠ ACB=∠ α =60^{\circ }.$
又$\because ∠ A=60^{\circ },\therefore ∠ ABC=180^{\circ }-∠ A-∠ ACB=60^{\circ },$
$\therefore ∠ ABC=∠ A=∠ ACB,\therefore △ ABC$是等边三角形.
$\therefore AC=BC=3-1=2(\mathrm{cm}).$

【分析】
解题时先从图形特征入手：首先直尺的对边互相平行，可利用平行线的性质得到∠ACB与∠α的等量关系；再结合含30°角的直角三角尺的特征得到∠A的度数，根据三角形内角和定理计算出△ABC三个内角的度数，判断三角形的形状；最后结合刻度尺的刻度计算BC的长度，利用特殊三角形的边长关系得到AC的长度。
【解析】
解：
∵直尺的两组对边互相平行，
∴$∠ ACB=∠ α =60°$，
由含30°角的直角三角尺的特征可知$∠ A=60°$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC=180°-∠ A-∠ ACB=180°-60°-60°=60°$，
∴$∠ A=∠ ABC=∠ ACB$，
∴$△ ABC$是等边三角形，即$AC=BC$，
∵点B、C对应的刻度分别为1、3，
∴$BC=3-1=2\mathrm{cm}$，
∴$AC=BC=2\mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题结合日常学习工具的放置场景命题，属于基础几何综合题，解题核心是通过平行线的性质推导角的关系，进而判断三角形的形状，考查了学生对基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.8

6. 如图,点 C 在线段 AD 上,AB=AD,∠B=∠D,BC=DE.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)若∠BAC=60°,求∠ACE 的度数.

6. (1)【证明】在$△ ABC$与$△ ADE$中,$\because \begin{cases} AB=AD,\\ ∠ B=∠ D,\\ BC=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌ △ ADE(\mathrm{SAS}).$
(2)【解】$\because △ ABC≌ △ ADE,∠ BAC=60^{\circ },$
$\therefore AC=AE,∠ CAE=∠ BAC=60^{\circ }.$
$\therefore △ ACE$是等边三角形.$\therefore ∠ ACE=60^{\circ }.$

【分析】
(1) 要证明△ABC≌△ADE，先梳理已知条件：题目给出AB=AD，∠B=∠D，BC=DE，这三组条件正好符合全等三角形的SAS判定规则，直接代入判定即可完成证明。
(2) 求∠ACE的度数时，先借助第一问的全等结论，得到对应边AC=AE、对应角∠CAE=∠BAC=60°，再根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可判断△ACE是等边三角形，即可求出∠ACE的度数。
【解析】
(1) 证明：在$△ ABC$与$△ ADE$中，
$\because \begin{cases} AB=AD,\\ ∠ B=∠ D,\\ BC=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})$。
(2) 解：$\because △ ABC≌△ ADE$，$∠ BAC=60°$，
$\therefore AC=AE$，$∠ CAE=∠ BAC=60°$，
$\therefore △ ACE$是等边三角形，
$\therefore ∠ ACE=60°$。
【答案】
(1) $△ ABC≌△ ADE$，证明成立；
(2) $∠ ACE=60°$
【知识点】
全等三角形SAS判定、全等三角形的性质、等边三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，考查全等三角形和等边三角形的相关定理，解题核心是先利用已知条件证明三角形全等，再通过全等的性质推导边角关系，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.7

7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ C=15°$，D是AC上一点，连接BD，若$∠ ADB=30°$，$AB=4$，则CD的长为（）

A.8
B.7
C.6
D.5

7. A 【点拨】在含特殊角的条件下求线段长的技巧：
在一些特殊角,如$15^{\circ },30^{\circ },60^{\circ },120^{\circ }$等的条件下,通常要联想到构造含$30^{\circ }$角的直角三角形,然后利用“在直角三角形中,$30^{\circ }$角所对的直角边是斜边的一半”求线段的长.

【分析】
解题时先观察图形特征，首先在Rt△ABD中存在30°特殊角，可优先利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出BD的长度；再利用三角形外角的性质推导∠DBC的度数，发现∠DBC与∠C相等，根据等腰三角形等角对等边的判定即可得到CD与BD相等，进而求出CD的长度。
【解析】
在$Rt△ ABD$中，$∠ A=90°$，$∠ ADB=30°$，$AB=4$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BD=2AB=2×4=8$。
$\because ∠ ADB$是$△ BCD$的外角，
$\therefore ∠ ADB=∠ DBC+∠ C$，
已知$∠ C=15°$，$∠ ADB=30°$，
$\therefore ∠ DBC=∠ ADB-∠ C=30°-15°=15°$，
$\therefore ∠ DBC=∠ C$，
根据等角对等边，可得$CD=BD=8$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形30°角的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是结合特殊角的性质和角度关系推导等腰三角形，解题过程中要熟练掌握特殊直角三角形的性质和等腰三角形的判定方法，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7

8. 新考法 化动为定法 如图,等边三角形ABC的边长为6 cm,动点P从点A出发以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速运动,过点P作$PQ⊥AB$,交边AC于点Q,以PQ为边作等边三角形PQD,使点A,D在PQ异侧,当点D落在BC边上时,点P移动了 s.

8. 1 【点拨】设点P移动$t\ \mathrm{s}$时,点D落在BC边上,如图所示,$AP=2t\ \mathrm{cm},BP=(6-2t)\ \mathrm{cm}.$
$\because △ PQD$是等边三角形,$\therefore PQ=PD,$
$∠ DPQ=60^{\circ }.$
$\because PQ⊥ AB,\therefore ∠ APQ=90^{\circ },$
$\therefore ∠ BPD=180^{\circ }-∠ APQ-∠ DPQ=180^{\circ }-90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$
$\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ B = ∠ A=60^{\circ }.$
$\therefore ∠ BDP=180^{\circ }-∠ B-∠ BPD=180^{\circ }-60^{\circ }-30^{\circ }=90^{\circ },$
$\therefore ∠ BDP = ∠ APQ=90^{\circ }. \therefore △ BDP≌ △ APQ(\mathrm{AAS}).$
$\therefore BD=AP=2t\ \mathrm{cm}.$ 又$\because ∠ BDP=90^{\circ },∠ BPD=30^{\circ },$
$\therefore BD=\frac{1}{2}BP,\mathrm{即}2t=\frac{1}{2}(6-2t),\therefore t=1.$

【分析】
解决本题采用化动为定的思路，先设点P的运动时间为t s，将动点运动产生的线段长度用含t的代数式表示；再结合等边三角形的性质推导各角度数，找到全等三角形得到对应边的等量关系；最后利用含30°角的直角三角形的边的性质列方程，求解即可得到t的值。
【解析】
设点P移动t s时，点D落在BC边上。
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BP=AB-AP=(6-2t)\ \mathrm{cm}$。
$\because △ PQD$是等边三角形，$\therefore PQ=PD$，$∠ DPQ=60°$。
$\because PQ⊥ AB$，$\therefore ∠ APQ=90°$，
$\therefore ∠ BPD=180°-∠ APQ-∠ DPQ=180°-90°-60°=30°$。
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ A=∠ B=60°$，
在$△ BDP$中，$∠ BDP=180°-∠ B-∠ BPD=180°-60°-30°=90°$，
$\therefore ∠ BDP=∠ APQ=90°$。
在$△ BDP$和$△ APQ$中：
$\begin{cases}∠ BDP=∠ APQ \\∠ B=∠ A \\PD=QP\end{cases}$
$\therefore △ BDP≌△ APQ(\mathrm{AAS})$，$\therefore BD=AP=2t\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDP$中，$∠ BPD=30°$，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BP$，即$2t=\frac{1}{2}(6-2t)$，
解方程得$t=1$。
【答案】
1

【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题将动态动点问题转化为静态几何问题求解，结合特殊三角形性质与全等判定建立等量关系，通过列方程得到结果，很好地考察了数形结合思想与方程思想的应用。
【难度系数】
0.6