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9. ★★ 新考法转移集中法 已知点P是等边三角形ABC的边BC上的一点，若∠APC=104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（
A.14°
B.16°
C.24°
D.26°
B
）A.14°
B.16°
C.24°
D.26°
答案
9. B 【点拨】如图,过点$P$作$PD// AB$,交$AC$于点$D$.
$\because △ ABC$为等边三角形,$\therefore ∠ B=∠ C=∠ BAC=60^{\circ },AC=BC.$ $\because PD// AB,\therefore ∠ CPD=∠ B=60^{\circ },∠ CDP=∠ BAC=60^{\circ },\therefore ∠ ADP=120^{\circ },△ CDP$为等边三角形,
$\therefore CP=DP=CD,\therefore AD=BP. \therefore △ ADP$就是以线段$AP$,$BP$,$CP$为边的三角形. $\because ∠ APC=104^{\circ },\therefore ∠ APD=∠ APC-∠ CPD=44^{\circ },∠ CAP=180^{\circ }-∠ APC-∠ C=16^{\circ },\therefore$以线段$AP$,$BP$,$CP$为边的三角形的三个内角分别为$16^{\circ },44^{\circ },120^{\circ },\therefore$最小内角的大小为$16^{\circ }.$
解析
【分析】
要解决本题，核心是将分散的线段AP、BP、CP转移到同一个三角形中，再计算该三角形的内角找到最小值。首先结合等边三角形的性质，我们可以通过作平行线构造等边三角形实现边的等量转化：过P作PD平行AB交AC于D，可证△CDP是等边三角形，得到CP=DP，再推出AD=BP，此时△ADP的三边恰好就是AP、BP、CP，最后计算△ADP的三个内角即可得到最小角。
【解析】
解：如图，过点$P$作$PD// AB$，交$AC$于点$D$.
$\because △ ABC$为等边三角形，
$\therefore ∠ B=∠ C=∠ BAC=60^{\circ },AC=BC$.
$\because PD// AB$，
$\therefore ∠ CPD=∠ B=60^{\circ },∠ CDP=∠ BAC=60^{\circ }$，
$\therefore ∠ ADP=180^{\circ }-∠ CDP=120^{\circ }$，$△ CDP$为等边三角形，
$\therefore CP=DP=CD$，
$\therefore AC-CD=BC-CP$，即$AD=BP$.
因此$△ ADP$就是以线段$AP$，$BP$，$CP$为边的三角形.
$\because ∠ APC=104^{\circ }$，
$\therefore ∠ APD=∠ APC-∠ CPD=104^{\circ }-60^{\circ }=44^{\circ }$，
在$△ APC$中，$∠ CAP=180^{\circ }-∠ APC-∠ C=180^{\circ }-104^{\circ }-60^{\circ }=16^{\circ }$，
$\therefore △ ADP$的三个内角分别为$16^{\circ },44^{\circ },120^{\circ }$，最小内角为$16^{\circ }$.
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题解题核心是利用“转移集中法”，通过作平行线构造等边三角形，将原本分散的三条线段集中到同一个三角形中，再结合角度计算得到结果，能够有效考查学生的辅助线构造能力和角度计算能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，核心是将分散的线段AP、BP、CP转移到同一个三角形中，再计算该三角形的内角找到最小值。首先结合等边三角形的性质，我们可以通过作平行线构造等边三角形实现边的等量转化：过P作PD平行AB交AC于D，可证△CDP是等边三角形，得到CP=DP，再推出AD=BP，此时△ADP的三边恰好就是AP、BP、CP，最后计算△ADP的三个内角即可得到最小角。
【解析】
解：如图，过点$P$作$PD// AB$，交$AC$于点$D$.
$\because △ ABC$为等边三角形，
$\therefore ∠ B=∠ C=∠ BAC=60^{\circ },AC=BC$.
$\because PD// AB$，
$\therefore ∠ CPD=∠ B=60^{\circ },∠ CDP=∠ BAC=60^{\circ }$，
$\therefore ∠ ADP=180^{\circ }-∠ CDP=120^{\circ }$，$△ CDP$为等边三角形，
$\therefore CP=DP=CD$，
$\therefore AC-CD=BC-CP$，即$AD=BP$.
因此$△ ADP$就是以线段$AP$，$BP$，$CP$为边的三角形.
$\because ∠ APC=104^{\circ }$，
$\therefore ∠ APD=∠ APC-∠ CPD=104^{\circ }-60^{\circ }=44^{\circ }$，
在$△ APC$中，$∠ CAP=180^{\circ }-∠ APC-∠ C=180^{\circ }-104^{\circ }-60^{\circ }=16^{\circ }$，
$\therefore △ ADP$的三个内角分别为$16^{\circ },44^{\circ },120^{\circ }$，最小内角为$16^{\circ }$.
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题解题核心是利用“转移集中法”，通过作平行线构造等边三角形，将原本分散的三条线段集中到同一个三角形中，再结合角度计算得到结果，能够有效考查学生的辅助线构造能力和角度计算能力。
【难度系数】
0.6
10. [华师一附中自主招生] 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$,$E$是$△ ABC$内两点,$AD$平分$∠ BAC$,$∠ EBC=∠ BED=60°$,若$BE=3$,$DE=1$,则$BC=$
(第10题)
4
. (第10题)答案
10. 4 【点拨】如图,延长$AD$交$BC$于点$N$,延长$ED$交$BC$于点$M$,$\because ∠ EBC=∠ BED=60^{\circ },\therefore EM=BM,$
$\therefore △ BEM$是等边三角形,$\therefore BE=EM=3=BM,∠ EMB=60^{\circ }. \because DE=1,\therefore DM=3-1=2. \because AB=AC,AD$平分$∠ BAC,\therefore AN⊥ BC,BN=CN,$
$\therefore ∠ DNM=90^{\circ },\therefore ∠ NDM=90^{\circ }-∠ EMB=30^{\circ },\therefore MN=\frac{1}{2}DM=1,$
$\therefore BN=BM-MN=3-1=2,\therefore BC=2BN=4.$
解析
【分析】
解题时先观察题目给出的特殊角条件：$∠ EBC=∠ BED=60°$，可考虑延长$ED$交$BC$于点$M$，构造等边三角形，利用等边三角形三边相等的性质得到相关线段长度；再结合等腰三角形$AB=AC$、$AD$平分$∠ BAC$的条件，利用等腰三角形三线合一的性质，可知$AD$延长线垂直且平分$BC$，得到直角三角形后，利用含$30°$角的直角三角形的性质求出剩余线段长度，最终推导得到$BC$的长度。
【解析】
解：如图，延长$AD$交$BC$于点$N$，延长$ED$交$BC$于点$M$。
$\because ∠ EBC=∠ BED=60°$
$\therefore △ BEM$是等边三角形
$\therefore BE=EM=BM=3$，$∠ EMB=60°$
$\because DE=1$
$\therefore DM=EM-DE=3-1=2$
$\because AB=AC$，$AD$平分$∠ BAC$
$\therefore AN⊥ BC$，$BN=CN$（等腰三角形三线合一）
$\therefore ∠ DNM=90°$
在$\mathrm{Rt}△ DNM$中，$∠ NDM=90°-∠ EMB=30°$
$\therefore MN=\frac{1}{2}DM=1$
$\therefore BN=BM-MN=3-1=2$
$\therefore BC=2BN=2×2=4$
【答案】
4
【知识点】
1. 等边三角形的判定与性质
2. 等腰三角形三线合一
3. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合类题型，核心考查特殊三角形性质的综合应用，解题的关键是合理构造辅助线得到等边三角形和直角三角形，再结合等腰三角形的三线合一性质逐步推导线段长度，对几何辅助线的构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
解题时先观察题目给出的特殊角条件：$∠ EBC=∠ BED=60°$，可考虑延长$ED$交$BC$于点$M$，构造等边三角形，利用等边三角形三边相等的性质得到相关线段长度；再结合等腰三角形$AB=AC$、$AD$平分$∠ BAC$的条件，利用等腰三角形三线合一的性质，可知$AD$延长线垂直且平分$BC$，得到直角三角形后，利用含$30°$角的直角三角形的性质求出剩余线段长度，最终推导得到$BC$的长度。
【解析】
解：如图，延长$AD$交$BC$于点$N$，延长$ED$交$BC$于点$M$。
$\because ∠ EBC=∠ BED=60°$
$\therefore △ BEM$是等边三角形
$\therefore BE=EM=BM=3$，$∠ EMB=60°$
$\because DE=1$
$\therefore DM=EM-DE=3-1=2$
$\because AB=AC$，$AD$平分$∠ BAC$
$\therefore AN⊥ BC$，$BN=CN$（等腰三角形三线合一）
$\therefore ∠ DNM=90°$
在$\mathrm{Rt}△ DNM$中，$∠ NDM=90°-∠ EMB=30°$
$\therefore MN=\frac{1}{2}DM=1$
$\therefore BN=BM-MN=3-1=2$
$\therefore BC=2BN=2×2=4$
【答案】
4
【知识点】
1. 等边三角形的判定与性质
2. 等腰三角形三线合一
3. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合类题型，核心考查特殊三角形性质的综合应用，解题的关键是合理构造辅助线得到等边三角形和直角三角形，再结合等腰三角形的三线合一性质逐步推导线段长度，对几何辅助线的构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
11. 如图，$AC=DC=3$，$BD$垂直于$∠ BAC$的平分线$AD$，$E$为$AC$的中点，$AD$与$BE$交于点$O$，则图中两个阴影三角形($△ OBD$与$△ OAE$)的面积之差的最大值为
$\frac{9}{2}$
。答案
11. $\frac{9}{2}$ 【点拨】如图,延长$BD$,$AC$交于点$H$. $\because AD⊥ BH,\therefore ∠ ADB=∠ ADH=90^{\circ },\therefore ∠ ABD+∠ BAD=90^{\circ },∠ H+∠ HAD=90^{\circ }. \because AD$是$∠ BAC$的平分线,$\therefore ∠ BAD=∠ HAD,\therefore ∠ ABD=∠ H,\therefore AB=AH.$
$\because AD⊥ BH,\therefore BD=DH. \because DC=CA,\therefore ∠ CDA=∠ CAD. \because ∠ CAD+∠ H=90^{\circ },∠ CDA+∠ CDH=90^{\circ },\therefore ∠ CDH=∠ H,\therefore CD=CH=AC. \because E$为$AC$中点,$\therefore AE=EC=\frac{1}{4}AH,\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{4}S_{△ ABH},S_{△ CDH}=\frac{1}{4}S_{△ ABH},\therefore S_{△ ABE}=S_{△ CDH}.$
$\because S_{△ OBD}-S_{△ AOE}=S_{△ ADB}-S_{△ ABE}=S_{△ ADH}-S_{△ CDH}=S_{△ ACD}. \because AC=CD=3,$
$\therefore$当$DC⊥ AC$时,$△ ACD$的面积最大,最大面积为$\frac{1}{2}× 3× 3=\frac{9}{2}.$
解析
【分析】
要计算两个阴影三角形的面积差的最大值，直接分别求解两个阴影面积难度较大，可按以下思路分析：首先，遇到"角平分线+垂线"的组合条件，常用辅助线是延长垂线构造等腰三角形，本题延长BD、AC交于点H，可证△ABH为等腰三角形，得到BD=DH；其次，结合DC=AC的条件推导得出CD=CH，再利用E是AC中点的性质，通过割补法消去两个三角形的公共部分，将阴影面积差转化为△ACD的面积；最后，△ACD的两边AC、CD长度固定，当两边夹角为直角时三角形面积最大，即可求出最大值。
【解析】
解：如图，延长$BD$、$AC$交于点$H$。
$\because AD⊥ BH$，$\therefore ∠ ADB=∠ ADH=90°$，
$\therefore ∠ ABD+∠ BAD=90°$，$∠ H+∠ HAD=90°$。
$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，$\therefore ∠ BAD=∠ HAD$，
$\therefore ∠ ABD=∠ H$，$\therefore AB=AH$。
$\because AD⊥ BH$，由等腰三角形三线合一可得$BD=DH$。
$\because DC=CA$，$\therefore ∠ CDA=∠ CAD$。
$\because ∠ CAD+∠ H=90°$，$∠ CDA+∠ CDH=90°$，
$\therefore ∠ CDH=∠ H$，$\therefore CD=CH=AC=3$，即$AH=AC+CH=6$。
$\because E$为$AC$中点，$\therefore AE=EC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{4}AH$，
$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{4}S_{△ ABH}$，$S_{△ CDH}=\frac{1}{4}S_{△ ABH}$，$\therefore S_{△ ABE}=S_{△ CDH}$。
$\begin{aligned}S_{△ OBD}-S_{△ OAE}&=(S_{△ ABD}-S_{△ ABO})-(S_{△ ABE}-S_{△ ABO})\\&=S_{△ ABD}-S_{△ ABE}\end{aligned}$
$\because BD=DH$，$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ ADH}$，代入得：
$S_{△ OBD}-S_{△ OAE}=S_{△ ADH}-S_{△ CDH}=S_{△ ACD}$。
在$△ ACD$中，$AC=CD=3$，当$DC⊥ AC$时，$△ ACD$的面积最大，
最大面积为$\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题考查几何综合应用，关键是掌握"角平分线+垂线构造等腰三角形"的常用辅助线做法，通过割补转化将陌生的面积差问题转化为熟悉的三角形面积最值问题，体现了几何转化思想的应用，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
要计算两个阴影三角形的面积差的最大值，直接分别求解两个阴影面积难度较大，可按以下思路分析：首先，遇到"角平分线+垂线"的组合条件，常用辅助线是延长垂线构造等腰三角形，本题延长BD、AC交于点H，可证△ABH为等腰三角形，得到BD=DH；其次，结合DC=AC的条件推导得出CD=CH，再利用E是AC中点的性质，通过割补法消去两个三角形的公共部分，将阴影面积差转化为△ACD的面积；最后，△ACD的两边AC、CD长度固定，当两边夹角为直角时三角形面积最大，即可求出最大值。
【解析】
解：如图，延长$BD$、$AC$交于点$H$。
$\because AD⊥ BH$，$\therefore ∠ ADB=∠ ADH=90°$，
$\therefore ∠ ABD+∠ BAD=90°$，$∠ H+∠ HAD=90°$。
$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，$\therefore ∠ BAD=∠ HAD$，
$\therefore ∠ ABD=∠ H$，$\therefore AB=AH$。
$\because AD⊥ BH$，由等腰三角形三线合一可得$BD=DH$。
$\because DC=CA$，$\therefore ∠ CDA=∠ CAD$。
$\because ∠ CAD+∠ H=90°$，$∠ CDA+∠ CDH=90°$，
$\therefore ∠ CDH=∠ H$，$\therefore CD=CH=AC=3$，即$AH=AC+CH=6$。
$\because E$为$AC$中点，$\therefore AE=EC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{4}AH$，
$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{4}S_{△ ABH}$，$S_{△ CDH}=\frac{1}{4}S_{△ ABH}$，$\therefore S_{△ ABE}=S_{△ CDH}$。
$\begin{aligned}S_{△ OBD}-S_{△ OAE}&=(S_{△ ABD}-S_{△ ABO})-(S_{△ ABE}-S_{△ ABO})\\&=S_{△ ABD}-S_{△ ABE}\end{aligned}$
$\because BD=DH$，$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ ADH}$，代入得：
$S_{△ OBD}-S_{△ OAE}=S_{△ ADH}-S_{△ CDH}=S_{△ ACD}$。
在$△ ACD$中，$AC=CD=3$，当$DC⊥ AC$时，$△ ACD$的面积最大，
最大面积为$\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题考查几何综合应用，关键是掌握"角平分线+垂线构造等腰三角形"的常用辅助线做法，通过割补转化将陌生的面积差问题转化为熟悉的三角形面积最值问题，体现了几何转化思想的应用，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
12. [2025 福建] 如图，$△ ABC$是等边三角形，D是AB的中点，$CE⊥ BC$，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的. 已知EF过点A，BE交CD于点G.
(1)求$∠ DCE$的大小；
(2)求证：$△ CEG$是等边三角形.
(1)求$∠ DCE$的大小；
(2)求证：$△ CEG$是等边三角形.
答案
12. (1)【解】$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ ACB=60^{\circ }.$
又$\because D$是$AB$的中点，
$\therefore ∠ DCB=∠ DCA=\frac{1}{2}∠ ACB=30^{\circ }.$
$\because CE⊥ BC,\therefore ∠ BCE=90^{\circ },$
$\therefore ∠ DCE=∠ BCE-∠ DCB=60^{\circ }.$
(2)【证明】由平移可知,$CD// EF,$
$\therefore ∠ EAC=∠ DCA=30^{\circ }.$
又$\because ∠ ECA=∠ BCE-∠ ACB=30^{\circ },$
$\therefore ∠ EAC=∠ ECA,\therefore AE=CE,∠ AEC=120^{\circ }.$
又$\because AB=CB,\therefore BE$垂直平分$AC$,
$\therefore ∠ GEC=\frac{1}{2}∠ AEC=60^{\circ }.$
由(1)知,$∠ GCE=60^{\circ },\therefore ∠ EGC=60^{\circ },$
$\therefore ∠ GEC=∠ GCE=∠ EGC,$
$\therefore △ CEG$是等边三角形.
$\therefore ∠ ACB=60^{\circ }.$
又$\because D$是$AB$的中点，
$\therefore ∠ DCB=∠ DCA=\frac{1}{2}∠ ACB=30^{\circ }.$
$\because CE⊥ BC,\therefore ∠ BCE=90^{\circ },$
$\therefore ∠ DCE=∠ BCE-∠ DCB=60^{\circ }.$
(2)【证明】由平移可知,$CD// EF,$
$\therefore ∠ EAC=∠ DCA=30^{\circ }.$
又$\because ∠ ECA=∠ BCE-∠ ACB=30^{\circ },$
$\therefore ∠ EAC=∠ ECA,\therefore AE=CE,∠ AEC=120^{\circ }.$
又$\because AB=CB,\therefore BE$垂直平分$AC$,
$\therefore ∠ GEC=\frac{1}{2}∠ AEC=60^{\circ }.$
由(1)知,$∠ GCE=60^{\circ },\therefore ∠ EGC=60^{\circ },$
$\therefore ∠ GEC=∠ GCE=∠ EGC,$
$\therefore △ CEG$是等边三角形.
解析
【分析】
(1) 求∠DCE的度数，可通过角的和差关系求解：先利用等边三角形三线合一的性质求出∠DCB的度数，再结合CE⊥BC得到∠BCE的度数，作差即可得到∠DCE的大小。
(2) 证明△CEG是等边三角形，可通过证明三个内角均为60°推导：首先根据平移的性质得到CD与EF平行，推导角的关系得到AE=CE，结合AB=BC可证BE是AC的垂直平分线，得到∠GEC=60°，再结合(1)中∠GCE=60°，推出第三个角也为60°，即可判定三角形为等边三角形。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°。
又
∵D是AB的中点，根据等边三角形三线合一的性质，CD平分∠ACB，
∴∠DCB=∠DCA=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°。
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90°，
∴∠DCE=∠BCE-∠DCB=90°-30°=60°。
(2) 证明：由平移的性质可知，CD//EF，
∴∠EAC=∠DCA=30°。
又
∵∠ECA=∠BCE-∠ACB=90°-60°=30°，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，∠AEC=180°-30°-30°=120°。
又
∵AB=CB，
∴点B和点E都在AC的垂直平分线上，即BE垂直平分AC，
∴∠GEC=$\frac{1}{2}$∠AEC=60°。
由(1)知，∠GCE=60°，
∴∠EGC=180°-60°-60°=60°，
∴∠GEC=∠GCE=∠EGC，
∴△CEG是等边三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠DCE=60°}$；
(2) $\boldsymbol{△CEG}$是等边三角形，证明成立。
【知识点】
等边三角形的性质与判定，平移的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了平移的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等内容，解题时需逐步梳理角与边的数量关系，逻辑推导难度适中，能有效检验学生对几何基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠DCE的度数，可通过角的和差关系求解：先利用等边三角形三线合一的性质求出∠DCB的度数，再结合CE⊥BC得到∠BCE的度数，作差即可得到∠DCE的大小。
(2) 证明△CEG是等边三角形，可通过证明三个内角均为60°推导：首先根据平移的性质得到CD与EF平行，推导角的关系得到AE=CE，结合AB=BC可证BE是AC的垂直平分线，得到∠GEC=60°，再结合(1)中∠GCE=60°，推出第三个角也为60°，即可判定三角形为等边三角形。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°。
又
∵D是AB的中点，根据等边三角形三线合一的性质，CD平分∠ACB，
∴∠DCB=∠DCA=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°。
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90°，
∴∠DCE=∠BCE-∠DCB=90°-30°=60°。
(2) 证明：由平移的性质可知，CD//EF，
∴∠EAC=∠DCA=30°。
又
∵∠ECA=∠BCE-∠ACB=90°-60°=30°，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，∠AEC=180°-30°-30°=120°。
又
∵AB=CB，
∴点B和点E都在AC的垂直平分线上，即BE垂直平分AC，
∴∠GEC=$\frac{1}{2}$∠AEC=60°。
由(1)知，∠GCE=60°，
∴∠EGC=180°-60°-60°=60°，
∴∠GEC=∠GCE=∠EGC，
∴△CEG是等边三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠DCE=60°}$；
(2) $\boldsymbol{△CEG}$是等边三角形，证明成立。
【知识点】
等边三角形的性质与判定，平移的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了平移的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等内容，解题时需逐步梳理角与边的数量关系，逻辑推导难度适中，能有效检验学生对几何基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
13. 如图,点O是等边△ABC内一点,D是△ABC外一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,△BOC≌△ADC,∠OCD=60°,连接OD.
(1)求证:△OCD是等边三角形.
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由.
(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?
(1)求证:△OCD是等边三角形.
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由.
(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?
答案
13. (1)【证明】$\because △ BOC≌ △ ADC,\therefore OC=DC.$
$\because ∠ OCD=60^{\circ },\therefore △ OCD$是等边三角形.
(2)【解】$△ AOD$是直角三角形. 理由如下：
$\because △ OCD$是等边三角形,$\therefore ∠ ODC=60^{\circ }.$
$\because △ BOC≌ △ ADC,α=150^{\circ },\therefore ∠ ADC=∠ BOC=α=150^{\circ },\therefore ∠ ADO=∠ ADC-∠ ODC=150^{\circ }-60^{\circ }=90^{\circ },$
$\therefore △ AOD$是直角三角形.
(3)【解】$\because △ OCD$是等边三角形,$\therefore ∠ COD=∠ ODC=60^{\circ }. \because ∠ AOB=110^{\circ },∠ ADC=∠ BOC=α,\therefore ∠ AOD=360^{\circ }-∠ AOB-∠ BOC-∠ COD=360^{\circ }-110^{\circ }-α-60^{\circ }=190^{\circ }-α,∠ ADO=∠ ADC-∠ ODC=α-60^{\circ },$
$\therefore ∠ OAD=180^{\circ }-∠ AOD-∠ ADO=180^{\circ }-(190^{\circ }-α)-(α-60^{\circ })=50^{\circ }.$ ①当$∠ AOD=∠ ADO$时,$190^{\circ }-α=α-60^{\circ },\therefore α=125^{\circ }$;②当$∠ AOD=∠ OAD$时,$190^{\circ }-α=50^{\circ },\therefore α=140^{\circ }$;③当$∠ ADO=∠ OAD$时,$α-60^{\circ }=50^{\circ },\therefore α=110^{\circ }.$综上所述,当$α=110^{\circ }$或$125^{\circ }$或$140^{\circ }$时,$△ AOD$是等腰三角形.
$\because ∠ OCD=60^{\circ },\therefore △ OCD$是等边三角形.
(2)【解】$△ AOD$是直角三角形. 理由如下：
$\because △ OCD$是等边三角形,$\therefore ∠ ODC=60^{\circ }.$
$\because △ BOC≌ △ ADC,α=150^{\circ },\therefore ∠ ADC=∠ BOC=α=150^{\circ },\therefore ∠ ADO=∠ ADC-∠ ODC=150^{\circ }-60^{\circ }=90^{\circ },$
$\therefore △ AOD$是直角三角形.
(3)【解】$\because △ OCD$是等边三角形,$\therefore ∠ COD=∠ ODC=60^{\circ }. \because ∠ AOB=110^{\circ },∠ ADC=∠ BOC=α,\therefore ∠ AOD=360^{\circ }-∠ AOB-∠ BOC-∠ COD=360^{\circ }-110^{\circ }-α-60^{\circ }=190^{\circ }-α,∠ ADO=∠ ADC-∠ ODC=α-60^{\circ },$
$\therefore ∠ OAD=180^{\circ }-∠ AOD-∠ ADO=180^{\circ }-(190^{\circ }-α)-(α-60^{\circ })=50^{\circ }.$ ①当$∠ AOD=∠ ADO$时,$190^{\circ }-α=α-60^{\circ },\therefore α=125^{\circ }$;②当$∠ AOD=∠ OAD$时,$190^{\circ }-α=50^{\circ },\therefore α=140^{\circ }$;③当$∠ ADO=∠ OAD$时,$α-60^{\circ }=50^{\circ },\therefore α=110^{\circ }.$综上所述,当$α=110^{\circ }$或$125^{\circ }$或$140^{\circ }$时,$△ AOD$是等腰三角形.
解析
【分析】
(1) 要证△OCD是等边三角形，可利用“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”的判定定理：由△BOC≌△ADC可得对应边OC=DC，结合已知∠OCD=60°，即可满足判定条件。
(2) 判断△AOD的形状，先结合(1)中等边三角形的性质得∠ODC=60°，再利用全等三角形对应角相等得到∠ADC=∠BOC=150°，计算∠ADO的度数即可判定三角形形状。
(3) 探究△AOD为等腰三角形时的α值，首先用含α的式子表示出△AOD的三个内角：根据周角定义求∠AOD，结合全等和等边三角形性质求∠ADO，再由三角形内角和算出固定的∠OAD=50°，最后分三种“两个内角相等”的等腰情况列方程求解，即可得到对应的α值。
【解析】
(1) 证明：$\because △ BOC≌ △ ADC,\therefore OC=DC.$
$\because ∠ OCD=60^{\circ },\therefore △ OCD$是等边三角形.
(2) 解：$△ AOD$是直角三角形，理由如下：
$\because △ OCD$是等边三角形,$\therefore ∠ ODC=60^{\circ }.$
$\because △ BOC≌ △ ADC,α=150^{\circ },\therefore ∠ ADC=∠ BOC=α=150^{\circ },$
$\therefore ∠ ADO=∠ ADC-∠ ODC=150^{\circ }-60^{\circ }=90^{\circ },$
$\therefore △ AOD$是直角三角形.
(3) 解：$\because △ OCD$是等边三角形,$\therefore ∠ COD=∠ ODC=60^{\circ }.$
$\because ∠ AOB=110^{\circ },∠ ADC=∠ BOC=α,$
$\therefore ∠ AOD=360^{\circ }-∠ AOB-∠ BOC-∠ COD=360^{\circ }-110^{\circ }-α-60^{\circ }=190^{\circ }-α,$
$∠ ADO=∠ ADC-∠ ODC=α-60^{\circ },$
$\therefore ∠ OAD=180^{\circ }-∠ AOD-∠ ADO=180^{\circ }-(190^{\circ }-α)-(α-60^{\circ })=50^{\circ }.$
① 当$∠ AOD=∠ ADO$时,$190^{\circ }-α=α-60^{\circ }$,解得$α=125^{\circ }$;
② 当$∠ AOD=∠ OAD$时,$190^{\circ }-α=50^{\circ }$,解得$α=140^{\circ }$;
③ 当$∠ ADO=∠ OAD$时,$α-60^{\circ }=50^{\circ }$,解得$α=110^{\circ }.$
综上所述,当$α=110^{\circ }$或$125^{\circ }$或$140^{\circ }$时,$△ AOD$是等腰三角形.
【答案】
(1) △OCD是等边三角形，得证；
(2) △AOD是直角三角形；
(3) 当α为$110^{\circ }$、$125^{\circ }$或$140^{\circ }$时，△AOD是等腰三角形。
【知识点】
全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查了三角形全等、特殊三角形的性质与判定，第三问需要结合等腰三角形的特征分类讨论，解题时注意不要遗漏任意一种等腰情况，可有效锻炼分类讨论的逻辑思维。
【难度系数】
0.6
(1) 要证△OCD是等边三角形，可利用“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”的判定定理：由△BOC≌△ADC可得对应边OC=DC，结合已知∠OCD=60°，即可满足判定条件。
(2) 判断△AOD的形状，先结合(1)中等边三角形的性质得∠ODC=60°，再利用全等三角形对应角相等得到∠ADC=∠BOC=150°，计算∠ADO的度数即可判定三角形形状。
(3) 探究△AOD为等腰三角形时的α值，首先用含α的式子表示出△AOD的三个内角：根据周角定义求∠AOD，结合全等和等边三角形性质求∠ADO，再由三角形内角和算出固定的∠OAD=50°，最后分三种“两个内角相等”的等腰情况列方程求解，即可得到对应的α值。
【解析】
(1) 证明：$\because △ BOC≌ △ ADC,\therefore OC=DC.$
$\because ∠ OCD=60^{\circ },\therefore △ OCD$是等边三角形.
(2) 解：$△ AOD$是直角三角形，理由如下：
$\because △ OCD$是等边三角形,$\therefore ∠ ODC=60^{\circ }.$
$\because △ BOC≌ △ ADC,α=150^{\circ },\therefore ∠ ADC=∠ BOC=α=150^{\circ },$
$\therefore ∠ ADO=∠ ADC-∠ ODC=150^{\circ }-60^{\circ }=90^{\circ },$
$\therefore △ AOD$是直角三角形.
(3) 解：$\because △ OCD$是等边三角形,$\therefore ∠ COD=∠ ODC=60^{\circ }.$
$\because ∠ AOB=110^{\circ },∠ ADC=∠ BOC=α,$
$\therefore ∠ AOD=360^{\circ }-∠ AOB-∠ BOC-∠ COD=360^{\circ }-110^{\circ }-α-60^{\circ }=190^{\circ }-α,$
$∠ ADO=∠ ADC-∠ ODC=α-60^{\circ },$
$\therefore ∠ OAD=180^{\circ }-∠ AOD-∠ ADO=180^{\circ }-(190^{\circ }-α)-(α-60^{\circ })=50^{\circ }.$
① 当$∠ AOD=∠ ADO$时,$190^{\circ }-α=α-60^{\circ }$,解得$α=125^{\circ }$;
② 当$∠ AOD=∠ OAD$时,$190^{\circ }-α=50^{\circ }$,解得$α=140^{\circ }$;
③ 当$∠ ADO=∠ OAD$时,$α-60^{\circ }=50^{\circ }$,解得$α=110^{\circ }.$
综上所述,当$α=110^{\circ }$或$125^{\circ }$或$140^{\circ }$时,$△ AOD$是等腰三角形.
【答案】
(1) △OCD是等边三角形，得证；
(2) △AOD是直角三角形；
(3) 当α为$110^{\circ }$、$125^{\circ }$或$140^{\circ }$时，△AOD是等腰三角形。
【知识点】
全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查了三角形全等、特殊三角形的性质与判定，第三问需要结合等腰三角形的特征分类讨论，解题时注意不要遗漏任意一种等腰情况，可有效锻炼分类讨论的逻辑思维。
【难度系数】
0.6
