11. 原创题 (1)在横线上写出下列几何图形的名称.

① ② ③ ④

⑤ ⑥ ⑦ ⑧
(2)上述几何图形中,属于柱体的有 ,属于锥体的有 ,属于球体的有 (填序号).

11. (1)①球 ②圆柱 ③圆锥 ④长方体(或四棱柱) ⑤三棱柱 ⑥四棱柱 ⑦三棱锥(或四面体) ⑧六棱柱
(2)②④⑤⑥⑧ ③⑦ ① 解析:属于柱体的有②圆柱,④四棱柱,⑤三棱柱,⑥四棱柱,⑧六棱柱;属于锥体的有③圆锥,⑦三棱锥;属于球体的有①球.

【分析】
解题思路：本题分为图形识别和图形分类两部分。解答第一问时，先回忆常见立体图形的外形特征，再逐个对应每个图形的特点写出名称即可；解答第二问时，先明确柱体、锥体、球体的分类标准：柱体包含圆柱和棱柱（有两个互相平行且全等的底面），锥体包含圆锥和棱锥（只有1个底面，1个公共顶点），球体是由曲面单独围成的几何体，再对照第一问的图形名称筛选对应序号即可。
【解析】
(1) 结合各立体图形的特征判断：
① 仅由曲面围成的封闭几何体，是球；
② 有2个大小相等的平行圆形底面，侧面为曲面，是圆柱；
③ 有1个圆形底面，1个顶点，侧面为曲面，是圆锥；
④ 底面为四边形，侧面均为长方形，是长方体（也属于四棱柱）；
⑤ 底面为三角形，侧面均为长方形，是三棱柱；
⑥ 底面为四边形，侧面均为平行四边形，是四棱柱；
⑦ 底面为三角形，侧面均为三角形且有公共顶点，是三棱锥（也叫四面体）；
⑧ 底面为六边形，侧面均为长方形，是六棱柱。
(2) 按照立体图形分类标准筛选：
柱体包含圆柱和棱柱，符合的有②圆柱、④长方体（四棱柱）、⑤三棱柱、⑥四棱柱、⑧六棱柱，对应序号为②④⑤⑥⑧；
锥体包含圆锥和棱锥，符合的有③圆锥、⑦三棱锥，对应序号为③⑦；
球体只有①球，对应序号为①。
【答案】
(1)①球 ②圆柱 ③圆锥 ④长方体(或四棱柱) ⑤三棱柱 ⑥四棱柱 ⑦三棱锥(或四面体) ⑧六棱柱
(2)②④⑤⑥⑧ ③⑦ ①
【知识点】
1. 立体图形的识别
2. 立体图形的分类
【点评】
本题是立体图形的基础考查题，核心是对各类常见立体图形特征的记忆，掌握好不同立体图形的区别和分类标准即可快速解题，是几何入门的必备基础题型。
【难度系数】
0.9

12. 观察图中的表格，回答下列问题：
(1)表格中有哪些平面图形？
(2)你发现有什么样的变化规律？
(3)图中有一处遗漏的图形，请你补充.

C

根据平面直角坐标系的性质：点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于其横坐标的绝对值；第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正。
由点M到x轴距离为1，得纵坐标的绝对值为1，结合第二象限纵坐标为正，可知点M的纵坐标为1；
由点M到y轴距离为2，得横坐标的绝对值为2，结合第二象限横坐标为负，可知点M的横坐标为-2；
因此点M的坐标为(-2,1)。

13. 如图,画出了8个立体图形.
(1)找出与图②具有相同特征的图形,并说出相同特征是什么；
(2)找出其他具有相同特征的图形,并说明相同的特征是什么.

(2,1)或(2,-5)

∵线段MN平行于y轴，
∴点N的横坐标与点M的横坐标相等，均为2。
设点N的纵坐标为y，由MN的长度为3可得：
|y - (-2)| = 3，即y+2=3或y+2=-3，
解得y=1或y=-5，
因此点N的坐标为(2,1)或(2,-5)。

14. 原创题 将一个正方体的表面全涂上颜色,然后把棱等分,沿等分线把正方体切开,得到多个小正方体. 我们把仅有i个面涂色的小正方体的个数记为$X_i$. 例如,$X_1$表示仅有1个面涂色的小正方体个数.
(1)如果把正方体的棱2等分(如图①),然后沿等分线把正方体切开,能够得到8个小正方体,那么$X_1=$, $X_3=$.
(2)如果把正方体的棱3等分(如图②),所得小正方体表面涂色情况如何呢?4等分(如图③),n等分呢?请补全下表.
| | 3等分 | 4等分 | n等分 |
| --- | --- | --- | --- |
| 小正方体的个数 | 27 | | |
| $X_3$ | | | |
| $X_2$ | | | |
| $X_1$ | | | |
| $X_0$ | | | |

(3)如果把正方体的棱n等分(n大于3),得到的小正方体表面涂色情况满足$5X_3 + \frac{1}{2}X_2 = 100$,则n的值为.

14. (1)0 8 解析:把正方体的棱2等分,然后沿等分线把正方体切开,能够得到8个小正方体,那么8个小正方体均有3个面涂色,故$X_1=0,X_3=8$.
(2)
| | 3等分 | 4等分 | n等分 |
| --- | --- | --- | --- |
| 小正方体的个数 | 27 | 64 | $n^3$ |
| $X_3$ | 8 | 8 | 8 |
| $X_2$ | 12 | 24 | $12(n-2)$ |
| $X_1$ | 6 | 24 | $6(n-2)^2$ |
| $X_0$ | 1 | 8 | $(n-2)^3$ |
解析:把正方体的棱3等分,然后沿等分线把正方体切开,能够得到27个小正方体,0个面涂色的有$(3-2)^3$=1(个);1个面涂色的有$6×(3-2)^2$=6(个);2个面涂色的有$12×(3-2)$=12(个);3个面涂色的有8个.把正方体的棱4等分,然后沿等分线把正方体切开,能够得到64个小正方体,0个面涂色的有$(4-2)^3$=8(个);1个面涂色的有$6×(4-2)^2$=24(个);2个面涂色的有$12×(4-2)$=24(个);3个面涂色的有8个.根据规律把正方体的棱n等分,然后沿等分线把正方体切开,能够得到$n^3$个小正方体,0个面涂色的有$(n-2)^3$个;1个面涂色的有$6(n-2)^2$个;2个面涂色的有$12(n-2)$个;3个面涂色的有8个.
(3)12 解析:由(2)可得$X_3=8,X_2=12(n-2)$,代入$5X_3+\frac{1}{2}X_2 = 100$,得$5×8+\frac{1}{2}×12(n-2)=100$,解得 n=12.

【分析】
解题时先明确不同涂色面数的小正方体在大正方体上的位置：①3个面涂色的小正方体都在大正方体的顶点位置，正方体共8个顶点，因此无论棱几等分，$X_3$恒为8；②2个面涂色的小正方体在棱上（除去两端顶点），正方体共12条棱，每条棱上有$(n-2)$个，因此$X_2=12(n-2)$；③1个面涂色的小正方体在每个面的内部（除去周边一圈），正方体共6个面，每个面有$(n-2)^2$个，因此$X_1=6(n-2)^2$；④0个面涂色的小正方体在大正方体内部，是棱长为$(n-2)$的正方体，因此$X_0=(n-2)^3$，总小正方体个数为$n^3$。
(1)棱2等分时代入规律即可求出$X_1$、$X_3$的值；
(2)将$n=3$、$n=4$分别代入上述规律，即可补全表格并写出n等分的通用表达式；
(3)将$X_3$、$X_2$的通用表达式代入给定方程，解一元一次方程即可求出n的值。
【解析】
(1) 棱2等分得到8个小正方体，每个小正方体都在原正方体的顶点位置，均有3个面涂色，没有仅1个面涂色的小正方体，因此$X_1=0$，$X_3=8$。
(2) ①棱3等分：总个数为$3^3=27$，$X_3=8$，$X_2=12×(3-2)=12$，$X_1=6×(3-2)^2=6$，$X_0=(3-2)^3=1$；
②棱4等分：总个数为$4^3=64$，$X_3=8$，$X_2=12×(4-2)=24$，$X_1=6×(4-2)^2=24$，$X_0=(4-2)^3=8$；
③棱n等分：总个数为$n^3$，$X_3=8$，$X_2=12(n-2)$，$X_1=6(n-2)^2$，$X_0=(n-2)^3$。
(3) 由规律得$X_3=8$，$X_2=12(n-2)$，代入方程$5X_3 + \frac{1}{2}X_2 = 100$：
$\begin{aligned}5×8 + \frac{1}{2}×12(n-2) &= 100\\40 + 6(n-2) &= 100\\40 + 6n -12 &= 100\\6n &= 72\\n &=12\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{0}$；$\boldsymbol{8}$
(2) 补全后的表格如下：
| | 3等分 | 4等分 | n等分 |
| --- | --- | --- | --- |
| 小正方体的个数 | 27 | 64 | $n^3$ |
| $X_3$ | 8 | 8 | 8 |
| $X_2$ | 12 | 24 | $12(n-2)$ |
| $X_1$ | 6 | 24 | $6(n-2)^2$ |
| $X_0$ | 1 | 8 | $(n-2)^3$ |
(3) $\boldsymbol{12}$
【知识点】
正方体的特征；图形规律探究；一元一次方程的应用
【点评】
本题以正方体表面涂色切割问题为载体，考查空间想象能力和归纳推理能力，解题核心是明确不同涂色情况的小正方体的位置特征，总结出通用规律后即可快速解决相关计算问题。
【难度系数】
0.65