1[中]如图,在平面直角坐标系xOy中,点P在x轴正半轴上,∠A=90°,OA=2,OB平分∠AOP,则点B(a-1,a-2)关于x轴对称的点的坐标是 ()

A.$(-2,1)$
B.$(3,-2)$
C.$(2,-1)$
D.$(3,-1)$

如图,过B点作$BC ⊥ x$轴于点C. $\because ∠ A = 90°, \therefore ∠ A = ∠ OCB = 90°$.
$\because OB$平分$∠ AOP, \therefore ∠ AOB = ∠ BOC$.又$\because OB = OB, \therefore △ OAB ≌ △ OCB$,
$\therefore OC=OA$,即$a-1=2$,解得$a=3$,$\therefore B(2,1)$,
$\therefore B(2,1)$关于x轴对称的点的坐标是$(2,-1)$.故选C.

2[2026浙江宁波质检,中]如图,将点$P(-1,2)$关于第一、三象限的角平分线$l$对称,得到点$P'$,则点$P'$的坐标为 ()


A.$(2,1)$
B.$(2,-1)$
C.$(1,-2)$
D.$(-1,-2)$

如图,连接$OP,OP',PP'$,过$P(-1,2)$作$PM ⊥ y$轴于M,过$P'$作$P'N ⊥ x$轴于N,设$PP'$交第一、三象限的角平分线$l$于A,则
$PM=1,OM=2,∠ OMP=∠ ONP'=90°$.由题意可得$OP=OP',∠ AOP = ∠ AOP',∠ AOM = ∠ AON = 45°, \therefore ∠ AOP - ∠ AOM = ∠ AOP' - ∠ AON, \therefore ∠ MOP = ∠ NOP', \therefore △ MOP ≌ △ NOP'(AAS), \therefore PM=P'N=1,OM=ON=2$,
$\therefore P'(2,-1)$.故选B.

3[2025河北保定期中,中]如图,在平面直角坐标系中,点A(1,0),B(0,2),作△BOC(C不与A重合),使△BOC与△ABO全等,则点C的横坐标为,其中与△ABO成轴对称的△BOC有个.

如图,在x轴负半轴上取点$C_1$,使$OC_1=OA$,作$l_1 ⊥ x$轴于点$C_1$,$l_2 ⊥ x$轴于点A,$l_3 ⊥ y$轴于点B,分别交$l_1,l_2$于点$C_2,C_3$,易得$△ ABO ≌ △ C_1BO ≌ △ C_2OB ≌ △ C_3OB$. 因为$A(1,0)$,所以$OC_1=BC_2=BC_3=OA=1$,所以$C_1(-1,0)$. 因为$∠ OBC_2 = ∠ OBC_3 = 90°$,$B(0,2)$,所以$C_2(-1,2)$,$C_3(1,2)$,所以点C的横坐标为-1或1. 因为$C_1(-1,0)$与$A(1,0)$关于y轴对称,$B(0,2)$,$C_3(1,2)$分别与$O(0,0)$,$A(1,0)$关于直线$y=1$(直线$y=1$上的各点的纵坐标都为1)对称,所以$△ C_1BO$与$△ ABO$关于y轴对称,$△ C_3OB$与$△ ABO$关于直线$y=1$对称,所以与$△ ABO$成轴对称的$△ BOC$有2个. 故答案为-1或1,2.

4 核心素养 几何直观 [难]在平面直角坐标系$xOy$中,已知点$M(a,b)$,我们将经过点$(a,0)$且垂直于$x$轴的直线记为直线$x=a$,将经过点$(0,b)$且垂直于$y$轴的直线记为直线$y=b$.
对于点$P$给出如下定义:将点$P$关于直线$x=a$对称得到点$P'$,再将点$P'$关于直线$y=b$对称得到点$Q$,称点$Q$为点$P$关于$M$的“对应点”.
对于图形$G$给出如下定义:将图形$G$关于直线$x=a$对称得到图形$G'$,再将图形$G'$关于直线$y=b$对称得到图形$W$,称图形$W$为图形$G$关于$M$的“对应图形”.
如图,已知$△ ABC$的顶点坐标为$A(2,0),B(4,0),C(3,-3)$.
(1)若点$M(1,1)$.
①由定义知,将点$A$关于直线$x=1$对称得到点$(0,0)$,再将点$(0,0)$关于直线$y=1$对称得到点$(0,2)$,则点$A$关于$M$的对应点为点$(0,2)$.
那么,点$B(4,0)$关于$M$的对应点为点,点$C$关于$M$的对应点为点.
②已知点$P_1(-1,n)$和点$P_2(-1,n+1)$,若线段$P_1P_2$关于$M$的对应线段$Q_1Q_2$位于$△ ABC$的内部(不含三角形的边),求$n$的取值范围.
(2)若$y$轴上存在点$D$,使得点$D$关于$M(a,b)$的对应点恰好落在$△ ABC$的边上,直接写出$M$点横坐标$a$的取值范围.

①将点$B(4,0)$关于直线$x=1$对称得到点$(-2,0)$,再将点$(-2,0)$关于直线$y=1$对称得到点$(-2,2)$,则点$B(4,0)$关于M的对应点为点$(-2,2)$. 将点$C(3,-3)$关于$x=1$对称得到点$(-1,-3)$,再将点$(-1,-3)$关于直线$y=1$对称得到点$(-1,5)$,则点$C(3,-3)$关于M的对应点为点$(-1,5)$,故答案为$(-2,2),(-1,5)$.
②点$P_1(-1,n)$关于M的对应点为$Q_1(3,2-n)$,点$P_2(-1,n+1)$关于M的对应点为$Q_2(3,1-n)$. 如图,若线段$Q_1Q_2$在$△ ABC$内部,则只需$Q_1$在x轴下方,$Q_2$在$C(3,-3)$上方,
$\therefore \begin{cases} 2-n＜0, \\ 1-n＞-3, \end{cases}$解得$2＜n＜4$.

(2)$1 ≤ a ≤ 2$. 设点$D(0,d)$. $\because M(a,b)$,$\therefore$点D关于M的对应点为$D'(2a,2b-d)$. $\because$点D关于M的对应点恰好落在$△ ABC$的边上,$\therefore 2 ≤ 2a ≤ 4$,$\therefore 1 ≤ a ≤ 2$.