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9 教材P166练习T3变式 如图，$AC=8$，$CB=6$，O是线段AB的中点。
（1）求线段OC的长；
（2）（易错题）若D是直线AB上一点，$BD=2$，E为线段BD的中点，求CE的长。
（1）求线段OC的长；
（2）（易错题）若D是直线AB上一点，$BD=2$，E为线段BD的中点，求CE的长。
答案
(1) 因为$AC=8,CB=6$,所以$AB=AC+CB=14$.因为O是线段AB的中点,所以$OA=\frac{1}{2}AB=7$.所以$OC=AC-OA=8-7=1$
(2) 如图①,当点D在线段AB的延长线上时,因为E为线段BD的中点,$BD=2$,所以$BE=\frac{1}{2}BD=1$.所以$CE=CB+BE=6+1=7$.如图②,当点D在线段AB上时,因为E为线段BD的中点,$BD=2$,所以$BE=\frac{1}{2}BD=1$.所以$CE=CB-BE=6-1=5$.综上所述,CE的长为7或5
解析
【分析】
（1）要计算OC的长度，首先可根据已知的AC、CB长度求出AB的总长度，再利用O是AB中点的性质求出OA的长度，最后通过AC减去OA即可得到OC的长度。
（2）由于D是直线AB上的点，位置不唯一，需分两种情况讨论：①D在线段AB的延长线上；②D在线段AB上。两种情况都先根据E是BD中点求出BE的长度，再结合CB的长度计算CE的长度即可。
【解析】
（1）已知$AC=8$，$CB=6$，因此线段AB的总长为：
$AB=AC+CB=8+6=14$
因为O是线段AB的中点，根据线段中点的性质可得：
$OA=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×14=7$
所以$OC=AC-OA=8-7=1$。
（2）分两种情况讨论：
① 当点D在线段AB的延长线上时，如图①：
因为E为线段BD的中点，$BD=2$，所以$BE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×2=1$，
此时$CE=CB+BE=6+1=7$。
② 当点D在线段AB上时，如图②：
因为E为线段BD的中点，$BD=2$，所以$BE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×2=1$，
此时$CE=CB-BE=6-1=5$。
综上所述，CE的长为7或5。
【答案】
(1) $OC=1$；(2) CE的长为7或5
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题主要考查线段的和差运算与线段中点的性质，解题时需注意“直线上的点”存在多种位置可能，要分类讨论避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
（1）要计算OC的长度，首先可根据已知的AC、CB长度求出AB的总长度，再利用O是AB中点的性质求出OA的长度，最后通过AC减去OA即可得到OC的长度。
（2）由于D是直线AB上的点，位置不唯一，需分两种情况讨论：①D在线段AB的延长线上；②D在线段AB上。两种情况都先根据E是BD中点求出BE的长度，再结合CB的长度计算CE的长度即可。
【解析】
（1）已知$AC=8$，$CB=6$，因此线段AB的总长为：
$AB=AC+CB=8+6=14$
因为O是线段AB的中点，根据线段中点的性质可得：
$OA=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×14=7$
所以$OC=AC-OA=8-7=1$。
（2）分两种情况讨论：
① 当点D在线段AB的延长线上时，如图①：
因为E为线段BD的中点，$BD=2$，所以$BE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×2=1$，
此时$CE=CB+BE=6+1=7$。
② 当点D在线段AB上时，如图②：
因为E为线段BD的中点，$BD=2$，所以$BE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×2=1$，
此时$CE=CB-BE=6-1=5$。
综上所述，CE的长为7或5。
【答案】
(1) $OC=1$；(2) CE的长为7或5
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题主要考查线段的和差运算与线段中点的性质，解题时需注意“直线上的点”存在多种位置可能，要分类讨论避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
10 分类讨论思想 如图，C是线段AB上一点，D为BC的中点，且$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BD=4\ \mathrm{cm}$。若点E在直线AB上，且$AE=3\ \mathrm{cm}$，则DE的长为（
A.$3\ \mathrm{cm}$
B.$15\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$或$15\ \mathrm{cm}$
D.$3\ \mathrm{cm}$或$9\ \mathrm{cm}$
D
）A.$3\ \mathrm{cm}$
B.$15\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$或$15\ \mathrm{cm}$
D.$3\ \mathrm{cm}$或$9\ \mathrm{cm}$
答案
D
解析
【分析】
首先利用线段中点的性质求出BC的长度，结合AB的长度计算出AD的长度；需注意题目中E在“直线AB”上，并非仅在线段AB上，因此要分两种情况讨论：一是点E在A点右侧的线段AB上，二是点E在A点左侧，再分别根据线段的和差关系计算DE的长度，最终汇总结果即可。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，$BD=4\ \mathrm{cm}$
∴$BC=2BD=2×4=8\ \mathrm{cm}$
又
∵$AB=10\ \mathrm{cm}$
∴$AD=AB-BD=10-4=6\ \mathrm{cm}$
分两种情况讨论：
① 当点E在线段AB上（A点右侧）时：
∵$AE=3\ \mathrm{cm}$
∴$DE=AD-AE=6-3=3\ \mathrm{cm}$
② 当点E在A点左侧（直线AB上A的外侧）时：
∵$AE=3\ \mathrm{cm}$
∴$DE=AE+AD=3+6=9\ \mathrm{cm}$
综上，DE的长为$3\ \mathrm{cm}$或$9\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略“直线AB”的条件，只考虑E在线段AB上的情况，漏算E在A点左侧的情况。解题时要注意区分直线和线段的差异，结合分类讨论思想全面分析所有可能的位置，再通过线段的和差运算求解。
【难度系数】
0.7
首先利用线段中点的性质求出BC的长度，结合AB的长度计算出AD的长度；需注意题目中E在“直线AB”上，并非仅在线段AB上，因此要分两种情况讨论：一是点E在A点右侧的线段AB上，二是点E在A点左侧，再分别根据线段的和差关系计算DE的长度，最终汇总结果即可。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，$BD=4\ \mathrm{cm}$
∴$BC=2BD=2×4=8\ \mathrm{cm}$
又
∵$AB=10\ \mathrm{cm}$
∴$AD=AB-BD=10-4=6\ \mathrm{cm}$
分两种情况讨论：
① 当点E在线段AB上（A点右侧）时：
∵$AE=3\ \mathrm{cm}$
∴$DE=AD-AE=6-3=3\ \mathrm{cm}$
② 当点E在A点左侧（直线AB上A的外侧）时：
∵$AE=3\ \mathrm{cm}$
∴$DE=AE+AD=3+6=9\ \mathrm{cm}$
综上，DE的长为$3\ \mathrm{cm}$或$9\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略“直线AB”的条件，只考虑E在线段AB上的情况，漏算E在A点左侧的情况。解题时要注意区分直线和线段的差异，结合分类讨论思想全面分析所有可能的位置，再通过线段的和差运算求解。
【难度系数】
0.7
11 如图，线段AB=16 cm，C是AB上的一点，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，则MN=
（第11题）
8
cm. （第11题）答案
8
解析
【分析】
解题时首先观察所求线段MN的组成，MN可拆分为线段MC与线段CN的和。已知M是AC的中点、N是BC的中点，根据线段中点的性质，MC是AC的一半，CN是BC的一半，因此MN的长度就等于AC与BC之和的一半，而AC+BC正好是已知长度的线段AB，代入AB的长度即可求出MN的值。
【解析】
∵ M是线段AC的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC$，
∵ N是线段BC的中点，
∴ $CN=\frac{1}{2}BC$，
∴ $MN=MC+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$，
又
∵ $AC+BC=AB=16\ \mathrm{cm}$，
∴ $MN=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差运算
【点评】
本题是线段运算的常规基础题，解题核心是通过中点性质将未知线段转化为已知线段的部分量，理清线段之间的和差关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察所求线段MN的组成，MN可拆分为线段MC与线段CN的和。已知M是AC的中点、N是BC的中点，根据线段中点的性质，MC是AC的一半，CN是BC的一半，因此MN的长度就等于AC与BC之和的一半，而AC+BC正好是已知长度的线段AB，代入AB的长度即可求出MN的值。
【解析】
∵ M是线段AC的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC$，
∵ N是线段BC的中点，
∴ $CN=\frac{1}{2}BC$，
∴ $MN=MC+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$，
又
∵ $AC+BC=AB=16\ \mathrm{cm}$，
∴ $MN=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差运算
【点评】
本题是线段运算的常规基础题，解题核心是通过中点性质将未知线段转化为已知线段的部分量，理清线段之间的和差关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
12 数轴上点A，B分别表示数－2和数＋1，C是线段AB的中点，则点C表示的数是
-0.5
；若点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度运动，则t秒后点M表示的数为-2+2t 或-2-2t
。答案
-0.5 $-2+2t$或$-2-2t$
解析
【分析】
1. 求线段中点C表示的数：数轴上两点对应数的平均数就是线段中点所表示的数，因此只需将A、B两点表示的数相加后除以2即可得到结果。
2. 求t秒后点M表示的数：题目未明确点M的运动方向，需分向右运动、向左运动两种情况讨论：向右运动时，点对应的数随运动增大，在A点原数基础上加运动的路程；向左运动时，点对应的数随运动减小，在A点原数基础上减运动的路程，运动路程为速度乘时间即2t，据此可写出两种情况的表达式。
【解析】
1. 计算点C表示的数：
已知点A表示-2，点B表示+1，C是AB中点，根据数轴中点计算公式可得：
$C=\frac{-2+1}{2}=\frac{-1}{2}=-0.5$
2. 计算t秒后点M表示的数：
点M的运动速度为每秒2个单位长度，t秒运动的总路程为$2t$个单位长度，分两种情况：
① 若点M向右运动，点M表示的数为：$-2+2t$
② 若点M向左运动，点M表示的数为：$-2-2t$
因此t秒后点M表示的数为$-2+2t$或$-2-2t$
【答案】
$-0.5$；$-2+2t$或$-2-2t$
【知识点】
数轴中点计算，数轴动点问题，分类讨论
【点评】
本题属于数轴相关的基础常考题，第一问直接考察线段中点在数轴上的计算方法，第二问的易错点是忽略运动方向的不确定性，漏写其中一种结果，做题时遇到未明确运动方向的动点问题要优先考虑分类讨论。
【难度系数】
0.7
1. 求线段中点C表示的数：数轴上两点对应数的平均数就是线段中点所表示的数，因此只需将A、B两点表示的数相加后除以2即可得到结果。
2. 求t秒后点M表示的数：题目未明确点M的运动方向，需分向右运动、向左运动两种情况讨论：向右运动时，点对应的数随运动增大，在A点原数基础上加运动的路程；向左运动时，点对应的数随运动减小，在A点原数基础上减运动的路程，运动路程为速度乘时间即2t，据此可写出两种情况的表达式。
【解析】
1. 计算点C表示的数：
已知点A表示-2，点B表示+1，C是AB中点，根据数轴中点计算公式可得：
$C=\frac{-2+1}{2}=\frac{-1}{2}=-0.5$
2. 计算t秒后点M表示的数：
点M的运动速度为每秒2个单位长度，t秒运动的总路程为$2t$个单位长度，分两种情况：
① 若点M向右运动，点M表示的数为：$-2+2t$
② 若点M向左运动，点M表示的数为：$-2-2t$
因此t秒后点M表示的数为$-2+2t$或$-2-2t$
【答案】
$-0.5$；$-2+2t$或$-2-2t$
【知识点】
数轴中点计算，数轴动点问题，分类讨论
【点评】
本题属于数轴相关的基础常考题，第一问直接考察线段中点在数轴上的计算方法，第二问的易错点是忽略运动方向的不确定性，漏写其中一种结果，做题时遇到未明确运动方向的动点问题要优先考虑分类讨论。
【难度系数】
0.7
13 延长线段AB至点C，使$BC=\frac{1}{3}AB$，延长线段BC至点D，使$CD=\frac{1}{3}BC$。如果$BD=8\ \mathrm{cm}$，那么$AB=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
答案
18
解析
【分析】
遇到这类线段和差倍分的问题，首先先梳理各线段的位置关系：点C在AB的延长线上，点D在BC的延长线上，因此BD是由BC和CD两段组成的。题目给出的BC、CD都和AB存在倍分关系，我们可以设AB的长度为未知数，把BC、CD都用含未知数的式子表示，再根据BD=8cm的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设$AB=x\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$BC=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}x\ \mathrm{cm}$，
$CD=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}x=\frac{1}{9}x\ \mathrm{cm}$。
因为D在BC的延长线上，所以$BD=BC+CD$，
代入已知$BD=8\ \mathrm{cm}$，得：
$\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=8$
通分计算：$\frac{3x}{9}+\frac{x}{9}=8$，即$\frac{4x}{9}=8$
解得：$x=8×\frac{9}{4}=18$。
【答案】
18
【知识点】
线段的和差计算，线段的倍分关系，一元一次方程应用
【点评】
本题是线段运算的常规题型，解题核心是准确识别线段的组成部分，理清各线段之间的数量关系，借助方程思想求解十分便捷，是线段章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
遇到这类线段和差倍分的问题，首先先梳理各线段的位置关系：点C在AB的延长线上，点D在BC的延长线上，因此BD是由BC和CD两段组成的。题目给出的BC、CD都和AB存在倍分关系，我们可以设AB的长度为未知数，把BC、CD都用含未知数的式子表示，再根据BD=8cm的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设$AB=x\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$BC=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}x\ \mathrm{cm}$，
$CD=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}x=\frac{1}{9}x\ \mathrm{cm}$。
因为D在BC的延长线上，所以$BD=BC+CD$，
代入已知$BD=8\ \mathrm{cm}$，得：
$\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=8$
通分计算：$\frac{3x}{9}+\frac{x}{9}=8$，即$\frac{4x}{9}=8$
解得：$x=8×\frac{9}{4}=18$。
【答案】
18
【知识点】
线段的和差计算，线段的倍分关系，一元一次方程应用
【点评】
本题是线段运算的常规题型，解题核心是准确识别线段的组成部分，理清各线段之间的数量关系，借助方程思想求解十分便捷，是线段章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
14 已知点C在线段AB上，M为AB的中点，AM=7，CM=2.
（1）如图①，求BC的长；
（2）如图②，点D在线段AB上，若AC=BD，判断M是否为线段CD的中点，并说明理由.
（1）如图①，求BC的长；
（2）如图②，点D在线段AB上，若AC=BD，判断M是否为线段CD的中点，并说明理由.
答案
(1) 因为M为AB的中点,$AM=7$,所以$BM=AM=7$.又因为$CM=2$,所以$BC=BM-CM=5$
(2) M为线段CD的中点 理由:因为$AC=BD$,所以$AB-BC=AB-AD$.所以$BC=AD$.所以$AM-DM=BM-CM$.因为M为AB的中点,所以$AM=BM$.所以$DM=CM$,即M为线段CD的中点.
(2) M为线段CD的中点 理由:因为$AC=BD$,所以$AB-BC=AB-AD$.所以$BC=AD$.所以$AM-DM=BM-CM$.因为M为AB的中点,所以$AM=BM$.所以$DM=CM$,即M为线段CD的中点.
解析
【分析】
（1）求解BC的长度，首先利用线段中点的性质，由M是AB中点可得到BM与AM相等，求出BM的长度；再结合图①中线段的位置关系，可知BC的长度等于BM减去CM的长度，代入已知数值计算即可得到结果。
（2）判断M是否为CD的中点，只需证明DM=CM即可。首先由已知AC=BD，利用线段的和差关系推导得到AD=BC；再结合M是AB中点可得AM=BM，通过等量代换即可推出DM=CM，从而得到结论。
【解析】
（1）解：
∵ M为AB的中点，$AM=7$，
∴ $BM = AM = 7$，
又
∵ $CM=2$，
∴ $BC = BM - CM = 7 - 2 = 5$。
（2）解：M为线段CD的中点，理由如下：
∵ $AC = BD$，
∴ $AB-BC=AB-AD$，
∴ $BC=AD$，
∴ $AM-DM=BM-CM$，
∵ M为AB的中点，
∴ $AM=BM$，
∴ $DM=CM$，即M为线段CD的中点。
【答案】
（1）5；
（2）M是线段CD的中点。
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差运算；线段中点的判定
【点评】
本题是线段运算的典型基础题，重点考查对线段中点性质的理解和线段和差关系的应用，解题时需结合图形梳理各线段的位置关系，通过等量代换完成推导，有助于提升几何图形的分析能力。
【难度系数】
0.8
（1）求解BC的长度，首先利用线段中点的性质，由M是AB中点可得到BM与AM相等，求出BM的长度；再结合图①中线段的位置关系，可知BC的长度等于BM减去CM的长度，代入已知数值计算即可得到结果。
（2）判断M是否为CD的中点，只需证明DM=CM即可。首先由已知AC=BD，利用线段的和差关系推导得到AD=BC；再结合M是AB中点可得AM=BM，通过等量代换即可推出DM=CM，从而得到结论。
【解析】
（1）解：
∵ M为AB的中点，$AM=7$，
∴ $BM = AM = 7$，
又
∵ $CM=2$，
∴ $BC = BM - CM = 7 - 2 = 5$。
（2）解：M为线段CD的中点，理由如下：
∵ $AC = BD$，
∴ $AB-BC=AB-AD$，
∴ $BC=AD$，
∴ $AM-DM=BM-CM$，
∵ M为AB的中点，
∴ $AM=BM$，
∴ $DM=CM$，即M为线段CD的中点。
【答案】
（1）5；
（2）M是线段CD的中点。
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差运算；线段中点的判定
【点评】
本题是线段运算的典型基础题，重点考查对线段中点性质的理解和线段和差关系的应用，解题时需结合图形梳理各线段的位置关系，通过等量代换完成推导，有助于提升几何图形的分析能力。
【难度系数】
0.8
15 如图.
(1) 若线段$AD=6\ \mathrm{cm}$，线段$AC=BD=4\ \mathrm{cm}$，$E,F$分别是线段$AB,CD$的中点，求线段$EF$的长.
(2) 若线段$AD=10\ \mathrm{cm}$，$E,F$分别是线段$AB,CD$的中点.
① 当线段$EF=7\ \mathrm{cm}$时，求线段$BC$的长.
② 当$AD=a\ \mathrm{cm}$，$EF=b\ \mathrm{cm}$时，你能用含$a,b$的式子表示线段$BC$的长吗？若能，请直接写出答案.
(1) 若线段$AD=6\ \mathrm{cm}$，线段$AC=BD=4\ \mathrm{cm}$，$E,F$分别是线段$AB,CD$的中点，求线段$EF$的长.
(2) 若线段$AD=10\ \mathrm{cm}$，$E,F$分别是线段$AB,CD$的中点.
① 当线段$EF=7\ \mathrm{cm}$时，求线段$BC$的长.
② 当$AD=a\ \mathrm{cm}$，$EF=b\ \mathrm{cm}$时，你能用含$a,b$的式子表示线段$BC$的长吗？若能，请直接写出答案.
答案
(1) 因为$AD=6\ \mathrm{cm}$,$AC=BD=4\ \mathrm{cm}$,所以$AB=AD-BD=2\ \mathrm{cm}$,$CD=AD-AC=2\ \mathrm{cm}$.所以$BC=AD-AB-CD=6-2-2=2(\mathrm{cm})$.又因为E,F分别是线段AB,CD的中点,所以$EB=\frac{1}{2}AB=1\ \mathrm{cm}$,$CF=\frac{1}{2}CD=1\ \mathrm{cm}$.所以$EF=EB+BC+CF=1+2+1=4(\mathrm{cm})$
(2) ① 因为$AD=10\ \mathrm{cm}$,$EF=7\ \mathrm{cm}$,所以$AE+DF=AD-EF=3\ \mathrm{cm}$.因为E,F分别是线段AB,CD的中点,所以$AB=2AE$,$CD=2DF$.所以$AB+CD=2(AE+DF)=6\ \mathrm{cm}$.所以$BC=AD-(AB+CD)=4\ \mathrm{cm}$
② 能 $BC=(2b-a)\mathrm{cm}$
(2) ① 因为$AD=10\ \mathrm{cm}$,$EF=7\ \mathrm{cm}$,所以$AE+DF=AD-EF=3\ \mathrm{cm}$.因为E,F分别是线段AB,CD的中点,所以$AB=2AE$,$CD=2DF$.所以$AB+CD=2(AE+DF)=6\ \mathrm{cm}$.所以$BC=AD-(AB+CD)=4\ \mathrm{cm}$
② 能 $BC=(2b-a)\mathrm{cm}$
解析
【分析】
(1) 先根据已知线段长度，利用线段的差计算出AB、CD的长度，再求出BC的长度；结合线段中点的性质得到EB、CF的长度，最后根据线段和的关系EF=EB+BC+CF计算EF的长度。
(2) ① 先通过AD和EF的长度求出AE与DF的和，再利用中点性质得到AB+CD和AE+DF的数量关系，最后用AD减去AB与CD的和得到BC的长度。
② 参照①的推导逻辑，将具体数值替换为字母a、b，通过相同的数量关系推导即可得到BC的表达式。
【解析】
(1) 已知$AD=6\ \mathrm{cm}$，$AC=BD=4\ \mathrm{cm}$，
所以$AB=AD-BD=6-4=2\ \mathrm{cm}$，$CD=AD-AC=6-4=2\ \mathrm{cm}$，
则$BC=AD-AB-CD=6-2-2=2\ \mathrm{cm}$。
因为E、F分别是线段AB、CD的中点，
所以$EB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}$，
因此$EF=EB+BC+CF=1+2+1=4\ \mathrm{cm}$。
(2) ① 已知$AD=10\ \mathrm{cm}$，$EF=7\ \mathrm{cm}$，
所以$AE+DF=AD-EF=10-7=3\ \mathrm{cm}$。
因为E、F分别是线段AB、CD的中点，
所以$AB=2AE$，$CD=2DF$，
则$AB+CD=2(AE+DF)=2×3=6\ \mathrm{cm}$，
因此$BC=AD-(AB+CD)=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
② 推导：$AE+DF=AD-EF=a-b$，$AB+CD=2(AE+DF)=2(a-b)$，所以$BC=AD-(AB+CD)=a-2(a-b)=2b-a$，即$BC=(2b-a)\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$
(2) ① $\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$；② $\boldsymbol{BC=(2b-a)\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段的和差运算，线段中点的定义
【点评】
本题是线段运算的典型题型，解题时需结合图形理清各线段的位置关系，灵活运用线段和差及中点性质，第二问运用整体代换思想可以避免单独计算各线段长度，简化运算过程。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据已知线段长度，利用线段的差计算出AB、CD的长度，再求出BC的长度；结合线段中点的性质得到EB、CF的长度，最后根据线段和的关系EF=EB+BC+CF计算EF的长度。
(2) ① 先通过AD和EF的长度求出AE与DF的和，再利用中点性质得到AB+CD和AE+DF的数量关系，最后用AD减去AB与CD的和得到BC的长度。
② 参照①的推导逻辑，将具体数值替换为字母a、b，通过相同的数量关系推导即可得到BC的表达式。
【解析】
(1) 已知$AD=6\ \mathrm{cm}$，$AC=BD=4\ \mathrm{cm}$，
所以$AB=AD-BD=6-4=2\ \mathrm{cm}$，$CD=AD-AC=6-4=2\ \mathrm{cm}$，
则$BC=AD-AB-CD=6-2-2=2\ \mathrm{cm}$。
因为E、F分别是线段AB、CD的中点，
所以$EB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}$，
因此$EF=EB+BC+CF=1+2+1=4\ \mathrm{cm}$。
(2) ① 已知$AD=10\ \mathrm{cm}$，$EF=7\ \mathrm{cm}$，
所以$AE+DF=AD-EF=10-7=3\ \mathrm{cm}$。
因为E、F分别是线段AB、CD的中点，
所以$AB=2AE$，$CD=2DF$，
则$AB+CD=2(AE+DF)=2×3=6\ \mathrm{cm}$，
因此$BC=AD-(AB+CD)=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
② 推导：$AE+DF=AD-EF=a-b$，$AB+CD=2(AE+DF)=2(a-b)$，所以$BC=AD-(AB+CD)=a-2(a-b)=2b-a$，即$BC=(2b-a)\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$
(2) ① $\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$；② $\boldsymbol{BC=(2b-a)\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段的和差运算，线段中点的定义
【点评】
本题是线段运算的典型题型，解题时需结合图形理清各线段的位置关系，灵活运用线段和差及中点性质，第二问运用整体代换思想可以避免单独计算各线段长度，简化运算过程。
【难度系数】
0.7
