13. 如图，△ABC绕旋转中心(-1,0)旋转180°得到△A'B'C'. 如果△ABC上的点P的坐标为(a,b)，那么它的对应点P'的坐标为()

A.(a - 2,b)
B.(a + 2,b)
C.(-a - 2, -b)
D.(a + 2, -b)

13. C

【分析】
解题思路：△ABC绕点(-1,0)旋转180°得到△A'B'C'，说明点P和它的对应点P'关于旋转中心(-1,0)中心对称，即旋转中心是线段PP'的中点。我们可以利用中点坐标公式，设出P'的坐标，列方程求解即可得到P'的坐标。
首先回忆中点坐标公式：若两点坐标分别为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。将已知的P点坐标和旋转中心坐标代入公式，分别求解横、纵坐标即可。
【解析】
设点P的对应点P'的坐标为$(x,y)$。
∵△ABC绕旋转中心$(-1,0)$旋转180°得到△A'B'C'，
∴旋转中心$(-1,0)$是线段$PP'$的中点。
根据中点坐标公式可得：
$\begin{cases}\frac{a+x}{2}=-1\\\frac{b+y}{2}=0\end{cases}$
解第一个方程：$a+x=-2$，得$x=-a-2$；
解第二个方程：$b+y=0$，得$y=-b$。
∴点P'的坐标为$(-a-2,-b)$。
【答案】
C
【知识点】
中心对称的性质；中点坐标公式；坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题解题的核心是理解旋转180°的本质是对应点关于旋转中心中心对称，结合中点坐标公式即可快速求出对应点坐标，解题时注意符号运算不要出错。
【难度系数】
0.7

14. 如图，在平面直角坐标系中，对$△ ABC$进行循环反复的轴对称或中心对称变换.若原来点A的坐标是$(a,b)$，则经过第2025次变换后所得的点A的坐标是.

第1次 关于$x$轴对称
第2次 关于原点对称
第3次 关于$y$轴对称
第4次 关于$x$轴对称

14. (a,-b)

【分析】
首先我们需要明确每次坐标变换的规则，再找出变换的周期规律，最后用总次数除以周期得到余数，对应周期内的坐标即可。
第一步：回忆坐标变换规则：点$(x,y)$关于$x$轴对称的点为$(x,-y)$，关于原点对称的点为$(-x,-y)$，关于$y$轴对称的点为$(-x,y)$。
第二步：从初始点$A(a,b)$开始，依次计算前几次变换后的坐标，找到循环周期：
初始（0次变换）：$(a,b)$
第1次（关于$x$轴对称）：$(a,-b)$
第2次（关于原点对称）：对$(a,-b)$变换得$(-a,b)$
第3次（关于$y$轴对称）：对$(-a,b)$变换得$(a,b)$，即经过3次变换后回到初始坐标，因此周期为3。
第三步：计算2025除以周期3的余数，$2025÷3=675$，余数为0，说明第2025次变换后坐标和第3次变换后一致，即$(a,b)$，但与给定参考答案不一致，故返回1。
【解析】
1
【答案】
1
【知识点】
1
【点评】
1
【难度系数】
1

15. 抛物线$y=x^2 +x +2$关于原点对称的抛物线的解析式为.

15. $y=-x^2 +x -2$

【分析】
要解决抛物线关于原点对称的解析式问题，首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：若点$P(x,y)$关于原点对称的点为$P'$，则$P'$的坐标为$(-x,-y)$。解题时先设所求对称抛物线上任意一点的坐标为$(x,y)$，找到其关于原点对称的点，这个点一定在原抛物线上，将该点坐标代入原抛物线解析式，整理后即可得到所求解析式。
【解析】
解：设所求抛物线上任意一点的坐标为$(x, y)$，
则该点关于原点对称的点的坐标为$(-x, -y)$。
∵ 点$(-x, -y)$在原抛物线$y=x^2 +x +2$上，
∴ 将$x$替换为$-x$，$y$替换为$-y$代入原解析式，得：
$-y = (-x)^2 + (-x) + 2$
化简右侧得：
$-y = x^2 - x + 2$
两边同时乘以$-1$，得：
$y = -x^2 + x - 2$
【答案】
$y=-x^2 +x -2$
【知识点】
1. 原点对称的坐标特征 2. 二次函数图象变换
【点评】
本题是二次函数对称变换的基础题型，解题核心是抓住对称前后点的坐标对应关系，代入原解析式推导新解析式，该方法也可迁移应用到求二次函数关于x轴、y轴对称的解析式问题中。
【难度系数】
0.7

16. 如图,把 $△ ABC$ 经过一定的变换得到 $△ A'B'C'$. 如果 $△ ABC$ 上点 $P$ 的坐标为($x$, $y$),那么这个点在 $△ A'B'C'$ 中的对应点 $P'$ 的坐标为()


A.$(-x,y - 2)$
B.$(-x,y + 2)$
C.$(-x + 2,-y)$
D.$(-x + 2,y + 2)$

16. B

【分析】
要得到点P变换后的对应点P'的坐标，首先需要明确△ABC到△A'B'C'的坐标变换规律。我们可以先找到△ABC三个顶点的坐标，以及它们变换后对应△A'B'C'顶点的坐标，对比每组对应点的横、纵坐标的变化，总结出通用的变换规则，再将点P的坐标代入规则即可得到P'的坐标。
【解析】
首先观察平面直角坐标系，得到三组对应点的坐标：
A(-3, -2)对应A'(3, 0)，B(-2, 0)对应B'(2, 2)，C(-1, -3)对应C'(1, -1)。
对比每组对应点的坐标变化：
横坐标：-3→3，-2→2，-1→1，均变为原横坐标的相反数，即x→-x；
纵坐标：-2→0=-2+2，0→2=0+2，-3→-1=-3+2，均为原纵坐标加2，即y→y+2。
因此可得坐标变换规律为：原坐标(x, y)变换后的坐标为(-x, y+2)。
当△ABC上点P的坐标为(x, y)时，对应点P'的坐标为(-x, y+2)。
【答案】
B
【知识点】
坐标与图形变换；平面直角坐标系
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形变换的基础题型，解题核心是通过已知对应点的坐标特征总结通用变换规律，熟练掌握坐标变化的分析方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8

17. 如图,在直角坐标平面内,横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点,顶点都是格点的三角形叫作格点三角形. 已知格点$A(-2,1)$与点$B$关于$y$轴对称,点$C$与点$B$关于原点对称.
(1) 写出点$B$的坐标,点$C$的坐标,并在图中描出点$B,C$;
(2) 求$△ ABC$的面积;
(3) 平面内有一格点$D$,若格点$△ ACD$与$△ ABC$全等,写出所有点$D$的坐标.

17. (1) $B(2,1),C(-2,-1)$. (2) $S_{△ABC}=4$. (3) 点D坐标为$(2,-1)$或$(-6,1)$或$(-6,-1)$或$(2,1)$.

【分析】
(1) 求对称点坐标可依据对称点坐标规律：关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，代入A点坐标即可求出B、C坐标，再在坐标系中标出两点即可。
(2) 求△ABC面积时，先观察三个点的坐标特征：A、B纵坐标相同说明AB平行于x轴，A、C横坐标相同说明AC平行于y轴，可判断△ABC为直角三角形，算出两条直角边长度后用直角三角形面积公式计算即可。
(3) 找全等的格点△ACD时，先明确△ABC的边长特征：直角边分别为2和4，再以AC为公共边分类构造符合边长要求的直角三角形，结合格点要求找出所有符合条件的D点，避免漏解。
【解析】
(1) 已知点$A(-2,1)$：
∵ 关于$y$轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴ 点$B$的坐标为$(2,1)$；
∵ 关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，
∴ 点$C$的坐标为$(-2,-1)$，在坐标系中对应位置描出$B$、$C$两点即可。
(2) 由三点坐标可得：
$AB$的长度为$|2-(-2)|=4$，$AC$的长度为$|1-(-1)|=2$，
且$AB// x$轴，$AC// y$轴，故$∠ BAC=90°$，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×4×2=4$。
(3) $△ ABC$是直角边为2和4的直角三角形，要使格点$△ ACD$与$△ ABC$全等，分情况讨论：
① 当$∠ ACD$为直角，另一条直角边长为4时，可得$D(2,-1)$或$D(-6,-1)$；
② 当$∠ CAD$为直角，另一条直角边长为4时，可得$D(2,1)$或$D(-6,1)$。
综上可得到所有符合条件的点$D$坐标。
【答案】
(1) $B(2,1)$，$C(-2,-1)$，描点见解析；
(2) $S_{△ ABC}=4$；
(3) 点$D$的坐标为$(2,-1)$或$(-6,1)$或$(-6,-1)$或$(2,1)$。
【知识点】
1. 点的对称坐标特征
2. 三角形面积计算
3. 全等三角形的判定
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系基础性质和全等三角形的应用，解题关键是熟练掌握对称点的坐标变化规律，能利用坐标特点快速计算图形面积，找全等对应点时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7