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例2 如图，在平面直角坐标系中，$A(-3,1),B(-2,3),C(0,2)$，画出$△ ABC$关于$x$轴对称的图形$△ A'B'C'$，再画出$△ A'B'C'$关于$y$轴对称的图形$△ A''B''C''$，那么$△ A''B''C''$与$△ ABC$有什么关系？请说明理由。
答案
例2 △A''B''C''与△ABC关于原点对称。
理由：点A(-3,1)关于x轴对称的点A'坐标为(-3,-1)，A'(-3,-1)关于y轴对称的点A''坐标为(3,-1)，A''(3,-1)恰好是点A(-3,1)关于原点的对称点；同理可得B''(2,-3)是点B(-2,3)关于原点的对称点，C''(0,-2)是点C(0,2)关于原点的对称点，因此△A''B''C''与△ABC关于原点对称。作图结果参考：[图5]
理由：点A(-3,1)关于x轴对称的点A'坐标为(-3,-1)，A'(-3,-1)关于y轴对称的点A''坐标为(3,-1)，A''(3,-1)恰好是点A(-3,1)关于原点的对称点；同理可得B''(2,-3)是点B(-2,3)关于原点的对称点，C''(0,-2)是点C(0,2)关于原点的对称点，因此△A''B''C''与△ABC关于原点对称。作图结果参考：[图5]
解析
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中对称点的坐标变化规律：①关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数。第一步先根据x轴对称的坐标规律求出△ABC三个顶点的对应点A'、B'、C'的坐标，画出△A'B'C'；第二步再根据y轴对称的坐标规律求出△A'B'C'三个顶点的对应点A''、B''、C''的坐标，画出△A''B''C''；最后对比△A''B''C''和△ABC对应顶点的坐标特征，即可判断二者的对称关系。
【解析】
1. 求△ABC关于x轴对称的△A'B'C'的顶点坐标：
关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标取相反数，因此：
A(-3,1)的对称点A'(-3,-1)，B(-2,3)的对称点B'(-2,-3)，C(0,2)的对称点C'(0,-2)，描点后顺次连接A'、B'、C'即可得到△A'B'C'。
2. 求△A'B'C'关于y轴对称的△A''B''C''的顶点坐标：
关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标取相反数，因此：
A'(-3,-1)的对称点A''(3,-1)，B'(-2,-3)的对称点B''(2,-3)，C'(0,-2)的对称点C''(0,-2)，描点后顺次连接A''、B''、C''即可得到△A''B''C''。
3. 判断对称关系：
对比对应点坐标：A(-3,1)与A''(3,-1)、B(-2,3)与B''(2,-3)、C(0,2)与C''(0,-2)，每组对应点的横、纵坐标均互为相反数，符合关于原点对称的点的坐标特征，因此△A''B''C''与△ABC关于原点对称。
【答案】
△A''B''C''与△ABC关于原点对称。
理由：点A(-3,1)关于x轴对称的点A'坐标为(-3,-1)，A'(-3,-1)关于y轴对称的点A''坐标为(3,-1)，A''(3,-1)恰好是点A(-3,1)关于原点的对称点；同理可得B''(2,-3)是点B(-2,3)关于原点的对称点，C''(0,-2)是点C(0,2)关于原点的对称点，因此△A''B''C''与△ABC关于原点对称。
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征、关于y轴对称的点的坐标特征、关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题通过两次轴对称变换探究对称图形的位置关系，解题核心是熟练掌握不同对称变换对应的坐标变化规律，通过计算对应点坐标即可快速判断图形的对称关系，有助于理解不同对称变换之间的内在联系。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平面直角坐标系中对称点的坐标变化规律：①关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数。第一步先根据x轴对称的坐标规律求出△ABC三个顶点的对应点A'、B'、C'的坐标，画出△A'B'C'；第二步再根据y轴对称的坐标规律求出△A'B'C'三个顶点的对应点A''、B''、C''的坐标，画出△A''B''C''；最后对比△A''B''C''和△ABC对应顶点的坐标特征，即可判断二者的对称关系。
【解析】
1. 求△ABC关于x轴对称的△A'B'C'的顶点坐标：
关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标取相反数，因此：
A(-3,1)的对称点A'(-3,-1)，B(-2,3)的对称点B'(-2,-3)，C(0,2)的对称点C'(0,-2)，描点后顺次连接A'、B'、C'即可得到△A'B'C'。
2. 求△A'B'C'关于y轴对称的△A''B''C''的顶点坐标：
关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标取相反数，因此：
A'(-3,-1)的对称点A''(3,-1)，B'(-2,-3)的对称点B''(2,-3)，C'(0,-2)的对称点C''(0,-2)，描点后顺次连接A''、B''、C''即可得到△A''B''C''。
3. 判断对称关系：
对比对应点坐标：A(-3,1)与A''(3,-1)、B(-2,3)与B''(2,-3)、C(0,2)与C''(0,-2)，每组对应点的横、纵坐标均互为相反数，符合关于原点对称的点的坐标特征，因此△A''B''C''与△ABC关于原点对称。
【答案】
△A''B''C''与△ABC关于原点对称。
理由：点A(-3,1)关于x轴对称的点A'坐标为(-3,-1)，A'(-3,-1)关于y轴对称的点A''坐标为(3,-1)，A''(3,-1)恰好是点A(-3,1)关于原点的对称点；同理可得B''(2,-3)是点B(-2,3)关于原点的对称点，C''(0,-2)是点C(0,2)关于原点的对称点，因此△A''B''C''与△ABC关于原点对称。
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征、关于y轴对称的点的坐标特征、关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题通过两次轴对称变换探究对称图形的位置关系，解题核心是熟练掌握不同对称变换对应的坐标变化规律，通过计算对应点坐标即可快速判断图形的对称关系，有助于理解不同对称变换之间的内在联系。
【难度系数】
0.7
写出下列各点关于原点对称的点的坐标.
(1)$(2,0)$；
(2)$(-5,4)$；
(3)$(-3,-5)$；
(4)$(0,-7)$.
(1)$(2,0)$；
(2)$(-5,4)$；
(3)$(-3,-5)$；
(4)$(0,-7)$.
答案
1. (-2,0)
2. (5,-4)
3. (3,5)
4. (0,7)
2. (5,-4)
3. (3,5)
4. (0,7)
解析
【分析】
要解决求关于原点对称的点的坐标的问题，首先需牢记相关坐标规律：平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。解题时只需将原坐标的横、纵坐标分别取相反数，即可得到对称点的坐标，注意0的相反数仍是0，遇到坐标含0的情况直接对应取0即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：若原坐标为$P(x,y)$，则其关于原点对称的点的坐标为$P'(-x,-y)$，即横、纵坐标均为原坐标的相反数，分别计算如下：
(1) 点$(2,0)$的横坐标2的相反数是$-2$，纵坐标0的相反数是$0$，因此对称点坐标为$(-2,0)$；
(2) 点$(-5,4)$的横坐标$-5$的相反数是$5$，纵坐标4的相反数是$-4$，因此对称点坐标为$(5,-4)$；
(3) 点$(-3,-5)$的横坐标$-3$的相反数是$3$，纵坐标$-5$的相反数是$5$，因此对称点坐标为$(3,5)$；
(4) 点$(0,-7)$的横坐标0的相反数是$0$，纵坐标$-7$的相反数是$7$，因此对称点坐标为$(0,7)$。
【答案】
(1) $(-2,0)$
(2) $(5,-4)$
(3) $(3,5)$
(4) $(0,7)$
【知识点】
1. 关于原点对称的坐标特征
2. 相反数的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查关于原点对称的点的坐标规律的应用，熟练掌握“横、纵坐标均取原坐标的相反数”的规律即可快速求解，计算时注意坐标为0的特殊情况，避免符号混淆出错。
【难度系数】
0.9
要解决求关于原点对称的点的坐标的问题，首先需牢记相关坐标规律：平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。解题时只需将原坐标的横、纵坐标分别取相反数，即可得到对称点的坐标，注意0的相反数仍是0，遇到坐标含0的情况直接对应取0即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：若原坐标为$P(x,y)$，则其关于原点对称的点的坐标为$P'(-x,-y)$，即横、纵坐标均为原坐标的相反数，分别计算如下：
(1) 点$(2,0)$的横坐标2的相反数是$-2$，纵坐标0的相反数是$0$，因此对称点坐标为$(-2,0)$；
(2) 点$(-5,4)$的横坐标$-5$的相反数是$5$，纵坐标4的相反数是$-4$，因此对称点坐标为$(5,-4)$；
(3) 点$(-3,-5)$的横坐标$-3$的相反数是$3$，纵坐标$-5$的相反数是$5$，因此对称点坐标为$(3,5)$；
(4) 点$(0,-7)$的横坐标0的相反数是$0$，纵坐标$-7$的相反数是$7$，因此对称点坐标为$(0,7)$。
【答案】
(1) $(-2,0)$
(2) $(5,-4)$
(3) $(3,5)$
(4) $(0,7)$
【知识点】
1. 关于原点对称的坐标特征
2. 相反数的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查关于原点对称的点的坐标规律的应用，熟练掌握“横、纵坐标均取原坐标的相反数”的规律即可快速求解，计算时注意坐标为0的特殊情况，避免符号混淆出错。
【难度系数】
0.9
1.点$P(-3,-1)$关于$x$轴对称的点$P_1$的坐标是
(-3,1)
，关于$y$轴对称的点$P_2$的坐标是(3,-1)
，关于原点对称的点$P_3$的坐标为(3,1)
。答案
1. (-3,1) (3,-1) (3,1)
解析
【分析】
解决本题需要先掌握平面直角坐标系中不同对称方式对应的坐标变化规律：①关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数。接下来将点P的坐标分别对应代入三个规律计算，即可得到各对称点的坐标。
【解析】
已知点P的坐标为$(-3,-1)$：
1. 求关于x轴对称的点$P_1$的坐标：横坐标保持不变为$-3$，纵坐标取$-1$的相反数$1$，因此$P_1$的坐标为$(-3,1)$；
2. 求关于y轴对称的点$P_2$的坐标：纵坐标保持不变为$-1$，横坐标取$-3$的相反数$3$，因此$P_2$的坐标为$(3,-1)$；
3. 求关于原点对称的点$P_3$的坐标：横、纵坐标分别取原坐标的相反数，$-3$的相反数为$3$，$-1$的相反数为$1$，因此$P_3$的坐标为$(3,1)$。
【答案】
$(-3,1)$ $(3,-1)$ $(3,1)$
【知识点】
关于x轴对称点坐标规律，关于y轴对称点坐标规律，关于原点对称点坐标规律
【点评】
本题属于坐标对称类基础题型，核心考查不同对称类型对应的坐标变化规则，牢记相关规律即可快速运算得出结果。
【难度系数】
0.9
解决本题需要先掌握平面直角坐标系中不同对称方式对应的坐标变化规律：①关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数。接下来将点P的坐标分别对应代入三个规律计算，即可得到各对称点的坐标。
【解析】
已知点P的坐标为$(-3,-1)$：
1. 求关于x轴对称的点$P_1$的坐标：横坐标保持不变为$-3$，纵坐标取$-1$的相反数$1$，因此$P_1$的坐标为$(-3,1)$；
2. 求关于y轴对称的点$P_2$的坐标：纵坐标保持不变为$-1$，横坐标取$-3$的相反数$3$，因此$P_2$的坐标为$(3,-1)$；
3. 求关于原点对称的点$P_3$的坐标：横、纵坐标分别取原坐标的相反数，$-3$的相反数为$3$，$-1$的相反数为$1$，因此$P_3$的坐标为$(3,1)$。
【答案】
$(-3,1)$ $(3,-1)$ $(3,1)$
【知识点】
关于x轴对称点坐标规律，关于y轴对称点坐标规律，关于原点对称点坐标规律
【点评】
本题属于坐标对称类基础题型，核心考查不同对称类型对应的坐标变化规则，牢记相关规律即可快速运算得出结果。
【难度系数】
0.9
2. 已知点A(m,1)与点B(3,n)关于原点对称，则m=
-3
,n=-1
.答案
2. -3 -1
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“两点关于原点对称”入手，回忆关于原点对称的点的坐标性质：关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数。接下来将点A、B的坐标分别对应到该性质中，即可分别求出m和n的取值。
【解析】
根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律：若两点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
∵ 点A(m,1)与点B(3,n)关于原点对称
∴ m = -3，n = -1
【答案】
-3；-1
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础类题型，主要考查对原点对称点坐标规律的掌握情况，牢记性质即可快速得出答案，是平面直角坐标系部分的常见基础考题。
【难度系数】
0.9
解题时首先从已知条件“两点关于原点对称”入手，回忆关于原点对称的点的坐标性质：关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数。接下来将点A、B的坐标分别对应到该性质中，即可分别求出m和n的取值。
【解析】
根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律：若两点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
∵ 点A(m,1)与点B(3,n)关于原点对称
∴ m = -3，n = -1
【答案】
-3；-1
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础类题型，主要考查对原点对称点坐标规律的掌握情况，牢记性质即可快速得出答案，是平面直角坐标系部分的常见基础考题。
【难度系数】
0.9
3. 已知点$ A(\sqrt{a - 1}, -1) $与$ B(|b - 2011|, c) $关于原点对称，则$ ab^2 = $
答案
$2011^2$
解析
【分析】
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标均互为相反数。据此先列出两点坐标的等量关系，再结合算术平方根、绝对值的非负性（即非负数的和为0时，每个非负数都为0）求出a、b的值，最后代入代数式计算即可。
【解析】
∵ 点$ A(\sqrt{a - 1}, -1) $与$ B(|b - 2011|, c) $关于原点对称
∴ 两点的横、纵坐标分别互为相反数，可得：
$\sqrt{a-1} = -|b-2011|$，$c = -(-1) = 1$
又
∵ 算术平方根和绝对值均为非负数，即$\sqrt{a-1} ≥ 0$，$|b-2011| ≥ 0$，因此$-|b-2011| ≤ 0$
要使$\sqrt{a-1} = -|b-2011|$成立，只能$\sqrt{a-1}=0$且$|b-2011|=0$
解得：$a-1=0 \implies a=1$；$b-2011=0 \implies b=2011$
代入$ab^2$得：$ab^2 = 1 × 2011^2 = 2011^2$
【答案】
$2011^2$
【知识点】
原点对称的坐标特征；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题是基础常考题，将坐标对称性质和非负数的性质结合考察，解题的关键是利用非负数的非负性推导得到a、b的取值，易错点是容易记错原点对称的坐标变化规律。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标均互为相反数。据此先列出两点坐标的等量关系，再结合算术平方根、绝对值的非负性（即非负数的和为0时，每个非负数都为0）求出a、b的值，最后代入代数式计算即可。
【解析】
∵ 点$ A(\sqrt{a - 1}, -1) $与$ B(|b - 2011|, c) $关于原点对称
∴ 两点的横、纵坐标分别互为相反数，可得：
$\sqrt{a-1} = -|b-2011|$，$c = -(-1) = 1$
又
∵ 算术平方根和绝对值均为非负数，即$\sqrt{a-1} ≥ 0$，$|b-2011| ≥ 0$，因此$-|b-2011| ≤ 0$
要使$\sqrt{a-1} = -|b-2011|$成立，只能$\sqrt{a-1}=0$且$|b-2011|=0$
解得：$a-1=0 \implies a=1$；$b-2011=0 \implies b=2011$
代入$ab^2$得：$ab^2 = 1 × 2011^2 = 2011^2$
【答案】
$2011^2$
【知识点】
原点对称的坐标特征；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题是基础常考题，将坐标对称性质和非负数的性质结合考察，解题的关键是利用非负数的非负性推导得到a、b的取值，易错点是容易记错原点对称的坐标变化规律。
【难度系数】
0.7
4. 点M(4,3)关于原点对称的点是点N，
则线段MN=
则线段MN=
10
.答案
4. 10
解析
【分析】
解题需分两步进行：第一步，根据关于原点对称的点的坐标性质求出点N的坐标，关于原点对称的两个点横、纵坐标均互为相反数，代入M点坐标即可得到N点坐标；第二步，计算线段MN的长度，可利用平面直角坐标系中两点间距离公式直接计算，也可利用原点是MN中点的性质，先求M到原点的距离再乘2，两种方法均结合勾股定理求解，符合当前学段知识要求。
【解析】
解：①求点N的坐标：
根据关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则横、纵坐标都互为相反数。
已知点M的坐标为(4,3)，因此点N的坐标为(-4,-3)。
②计算线段MN的长度：
方法一：使用两点间距离公式，若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点间距离$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。
将M(4,3)、N(-4,-3)代入公式得：
$MN=\sqrt{[4-(-4)]^2+[3-(-3)]^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$。
方法二：利用对称性质计算，原点O是线段MN的中点，因此$MN=2OM$。
由勾股定理得$OM=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$，因此$MN=2×5=10$。
【答案】
10
【知识点】
1. 关于原点对称的点的坐标特征
2. 两点间距离计算
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题属于坐标与几何结合的基础题型，核心考察对原点对称坐标规律的掌握，以及距离计算的基本方法，整体难度较低，掌握核心知识点即可快速求解，是坐标系相关考点的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解题需分两步进行：第一步，根据关于原点对称的点的坐标性质求出点N的坐标，关于原点对称的两个点横、纵坐标均互为相反数，代入M点坐标即可得到N点坐标；第二步，计算线段MN的长度，可利用平面直角坐标系中两点间距离公式直接计算，也可利用原点是MN中点的性质，先求M到原点的距离再乘2，两种方法均结合勾股定理求解，符合当前学段知识要求。
【解析】
解：①求点N的坐标：
根据关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则横、纵坐标都互为相反数。
已知点M的坐标为(4,3)，因此点N的坐标为(-4,-3)。
②计算线段MN的长度：
方法一：使用两点间距离公式，若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点间距离$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。
将M(4,3)、N(-4,-3)代入公式得：
$MN=\sqrt{[4-(-4)]^2+[3-(-3)]^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$。
方法二：利用对称性质计算，原点O是线段MN的中点，因此$MN=2OM$。
由勾股定理得$OM=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$，因此$MN=2×5=10$。
【答案】
10
【知识点】
1. 关于原点对称的点的坐标特征
2. 两点间距离计算
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题属于坐标与几何结合的基础题型，核心考察对原点对称坐标规律的掌握，以及距离计算的基本方法，整体难度较低，掌握核心知识点即可快速求解，是坐标系相关考点的常考基础题。
【难度系数】
0.8
5. 在平面直角坐标系中，点$P(2, -3)$关于原点的对称点$P'$的坐标是
(-2,3)
。答案
5. (-2,3)
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中点关于原点对称的坐标求解，解题思路如下：首先明确关于原点对称的点的坐标变化规律，即若两点关于原点对称，则两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数；接下来将已知点P的横、纵坐标分别取相反数，即可得到对称点P'的坐标。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：平面直角坐标系中，若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知点P的坐标为$(2, -3)$，
则2的相反数为$-2$，$-3$的相反数为$3$，
因此点P关于原点的对称点$P'$的坐标为$(-2, 3)$。
【答案】
$(-2,3)$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标
【点评】
本题属于基础题型，核心是对原点对称点坐标规律的记忆与直接应用，是平面直角坐标系相关知识点中的常考基础题，掌握对称规律即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查平面直角坐标系中点关于原点对称的坐标求解，解题思路如下：首先明确关于原点对称的点的坐标变化规律，即若两点关于原点对称，则两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数；接下来将已知点P的横、纵坐标分别取相反数，即可得到对称点P'的坐标。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：平面直角坐标系中，若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知点P的坐标为$(2, -3)$，
则2的相反数为$-2$，$-3$的相反数为$3$，
因此点P关于原点的对称点$P'$的坐标为$(-2, 3)$。
【答案】
$(-2,3)$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标
【点评】
本题属于基础题型，核心是对原点对称点坐标规律的记忆与直接应用，是平面直角坐标系相关知识点中的常考基础题，掌握对称规律即可快速得分。
【难度系数】
0.9
6. 在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),B(0,1),C(3,1).若线段AC与BD互相平分,则点D关于坐标原点对称的点的坐标为
(-5,-3)
.答案
6. (-5,-3)
解析
【分析】
解题的突破口是“线段AC与BD互相平分”这一条件，根据线段互相平分的性质可知，两条线段的中点重合。第一步先利用中点坐标公式求出线段AC的中点坐标；第二步设点D的坐标，根据BD的中点与AC中点相等列方程，求出点D的坐标；最后根据关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数），求出最终结果。
【解析】
1. 求线段AC的中点坐标：
已知A(2,3)，C(3,1)，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则其中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
代入A、C坐标得AC中点横坐标为$\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}$，纵坐标为$\frac{3+1}{2}=2$，即AC中点为$(\frac{5}{2},2)$。
2. 求点D的坐标：
因为线段AC与BD互相平分，所以BD的中点与AC的中点重合，也为$(\frac{5}{2},2)$。
设D的坐标为$(x,y)$，已知B(0,1)，则BD中点坐标满足：
$\frac{0+x}{2}=\frac{5}{2}$，解得$x=5$；
$\frac{1+y}{2}=2$，解得$y=3$。
因此点D的坐标为$(5,3)$。
3. 求点D关于原点对称的点的坐标：
关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，因此$(5,3)$关于原点对称的点的坐标为$(-5,-3)$。
【答案】
$(-5,-3)$
【知识点】
中点坐标公式；原点对称点坐标特征；平行四边形对角线性质
【点评】
本题属于基础类题型，核心考察对线段互相平分性质的理解，解题关键是抓住互相平分的两条线段中点重合这一核心条件，结合中点坐标公式和对称点坐标规律即可快速求解，是平面直角坐标系章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题的突破口是“线段AC与BD互相平分”这一条件，根据线段互相平分的性质可知，两条线段的中点重合。第一步先利用中点坐标公式求出线段AC的中点坐标；第二步设点D的坐标，根据BD的中点与AC中点相等列方程，求出点D的坐标；最后根据关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数），求出最终结果。
【解析】
1. 求线段AC的中点坐标：
已知A(2,3)，C(3,1)，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则其中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
代入A、C坐标得AC中点横坐标为$\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}$，纵坐标为$\frac{3+1}{2}=2$，即AC中点为$(\frac{5}{2},2)$。
2. 求点D的坐标：
因为线段AC与BD互相平分，所以BD的中点与AC的中点重合，也为$(\frac{5}{2},2)$。
设D的坐标为$(x,y)$，已知B(0,1)，则BD中点坐标满足：
$\frac{0+x}{2}=\frac{5}{2}$，解得$x=5$；
$\frac{1+y}{2}=2$，解得$y=3$。
因此点D的坐标为$(5,3)$。
3. 求点D关于原点对称的点的坐标：
关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，因此$(5,3)$关于原点对称的点的坐标为$(-5,-3)$。
【答案】
$(-5,-3)$
【知识点】
中点坐标公式；原点对称点坐标特征；平行四边形对角线性质
【点评】
本题属于基础类题型，核心考察对线段互相平分性质的理解，解题关键是抓住互相平分的两条线段中点重合这一核心条件，结合中点坐标公式和对称点坐标规律即可快速求解，是平面直角坐标系章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
7. 矩形ABCD的对称中心恰为原点，点B的坐标为(-2, -3)，则点D的坐标为
(2,3)
.答案
7. (2,3)
解析
【分析】
首先回忆矩形的性质：矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，本题中对称中心为原点，说明矩形的相对顶点关于原点对称，点B和点D是一组相对顶点，因此只需利用关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数），结合已知点B的坐标即可求出点D的坐标。
【解析】
解：
∵矩形ABCD的对称中心为原点，
∴点B与点D关于原点对称，
∵关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，且点B的坐标为(-2,-3)，
∴点D的坐标为(2,3)。
【答案】
(2,3)
【知识点】
矩形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，结合中心对称的性质考查矩形的特点和平面直角坐标系中点的对称规律，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
首先回忆矩形的性质：矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，本题中对称中心为原点，说明矩形的相对顶点关于原点对称，点B和点D是一组相对顶点，因此只需利用关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数），结合已知点B的坐标即可求出点D的坐标。
【解析】
解：
∵矩形ABCD的对称中心为原点，
∴点B与点D关于原点对称，
∵关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，且点B的坐标为(-2,-3)，
∴点D的坐标为(2,3)。
【答案】
(2,3)
【知识点】
矩形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，结合中心对称的性质考查矩形的特点和平面直角坐标系中点的对称规律，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
8. 点$M(1 - x,1 - y)$在第二象限，则点$N(1 - x,y - 1)$关于原点对称的点在第
一
象限.答案
8. 一
解析
【分析】
解题时先回忆平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，以及关于原点对称的点的坐标规律：第一步，根据点M在第二象限，得出1-x和1-y的符号；第二步，通过符号关系推导点N的横、纵坐标的符号，确定点N所在象限；第三步，结合关于原点对称的点的坐标特征，即可得到对称点所在的象限。
【解析】
∵点$M(1 - x,1 - y)$在第二象限，第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0，
∴$\begin{cases}1-x＜0 \\1-y＞0 \end{cases}$，
由此可得：点$N(1 - x,y - 1)$的横坐标$1-x＜0$，纵坐标$y-1=-(1-y)＜0$，
∴点N在第三象限。
又
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，第三象限的点关于原点对称的点横、纵坐标都为正，
∴点N关于原点对称的点在第一象限。
【答案】
一
【知识点】
1. 各象限内点的坐标特征
2. 关于原点对称的点的坐标性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查对平面直角坐标系中点的坐标性质的掌握，解题的关键是从已知点的象限信息提取对应代数式的符号，再逐步推导所求点的坐标符号，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，以及关于原点对称的点的坐标规律：第一步，根据点M在第二象限，得出1-x和1-y的符号；第二步，通过符号关系推导点N的横、纵坐标的符号，确定点N所在象限；第三步，结合关于原点对称的点的坐标特征，即可得到对称点所在的象限。
【解析】
∵点$M(1 - x,1 - y)$在第二象限，第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0，
∴$\begin{cases}1-x＜0 \\1-y＞0 \end{cases}$，
由此可得：点$N(1 - x,y - 1)$的横坐标$1-x＜0$，纵坐标$y-1=-(1-y)＜0$，
∴点N在第三象限。
又
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，第三象限的点关于原点对称的点横、纵坐标都为正，
∴点N关于原点对称的点在第一象限。
【答案】
一
【知识点】
1. 各象限内点的坐标特征
2. 关于原点对称的点的坐标性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查对平面直角坐标系中点的坐标性质的掌握，解题的关键是从已知点的象限信息提取对应代数式的符号，再逐步推导所求点的坐标符号，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9. 将$△ ABC$绕原点$O$旋转$180°$,点$A$的坐标为$(-3,2)$,则点$A$的对称点的坐标为
(3,-2)
.答案
9. (3,-2)
解析
【分析】
首先明确图形绕原点旋转180°的性质：旋转后得到的图形与原图形关于原点中心对称，因此对应点也关于原点对称。关于原点对称的点的坐标规律是横、纵坐标均互为相反数，结合已知点A的坐标，按照该规律计算即可得到对称点的坐标。
【解析】
解：将△ABC绕原点O旋转180°，则点A与它的对称点关于原点O中心对称。
根据关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知点A坐标为$(-3,2)$，则其对称点的横坐标为$-(-3)=3$，纵坐标为$-2$，因此对称点坐标为$(3,-2)$。
【答案】
$(3,-2)$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征，旋转的性质
【点评】
本题属于基础题，考查平面直角坐标系中旋转180°对应的坐标变化规律，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
首先明确图形绕原点旋转180°的性质：旋转后得到的图形与原图形关于原点中心对称，因此对应点也关于原点对称。关于原点对称的点的坐标规律是横、纵坐标均互为相反数，结合已知点A的坐标，按照该规律计算即可得到对称点的坐标。
【解析】
解：将△ABC绕原点O旋转180°，则点A与它的对称点关于原点O中心对称。
根据关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知点A坐标为$(-3,2)$，则其对称点的横坐标为$-(-3)=3$，纵坐标为$-2$，因此对称点坐标为$(3,-2)$。
【答案】
$(3,-2)$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征，旋转的性质
【点评】
本题属于基础题，考查平面直角坐标系中旋转180°对应的坐标变化规律，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
10. 点$A(-2,3)$绕原点旋转$180°$后的点的坐标为
(2,-3)
；绕原点顺时针旋转$90°$后的坐标为(3,2)
.答案
10. (2,-3) (3,2)
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中点绕原点旋转的坐标变化规律，解题时可分两种情况分析：①旋转180°的本质是点关于原点中心对称，回忆关于原点对称的点的坐标特征即可求解；②顺时针旋转90°的情况，牢记对应的坐标变换规则，也可通过作图连接点与原点，将线段顺时针转90°后确定新点坐标。
【解析】
1. 求绕原点旋转180°后的点坐标：
点绕原点旋转180°后得到的点与原点点关于原点对称，关于原点对称的点的坐标特征为横、纵坐标均为原坐标的相反数。
已知点A坐标为$(-2,3)$，因此旋转180°后的点坐标为$(2,-3)$。
2. 求绕原点顺时针旋转90°后的点坐标：
平面直角坐标系中，若原点点坐标为$(x,y)$，绕原点顺时针旋转90°后得到的点的坐标为$(y,-x)$。
将点A的坐标$x=-2$，$y=3$代入公式，得到新坐标为$(3,-(-2))$，即$(3,2)$。
【答案】
$(2,-3)$；$(3,2)$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题属于基础类题型，解题核心是熟记不同旋转角度下点的坐标变换规律，若对规律记忆不清晰，也可通过画图的方式辅助推导结果，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
本题考查平面直角坐标系中点绕原点旋转的坐标变化规律，解题时可分两种情况分析：①旋转180°的本质是点关于原点中心对称，回忆关于原点对称的点的坐标特征即可求解；②顺时针旋转90°的情况，牢记对应的坐标变换规则，也可通过作图连接点与原点，将线段顺时针转90°后确定新点坐标。
【解析】
1. 求绕原点旋转180°后的点坐标：
点绕原点旋转180°后得到的点与原点点关于原点对称，关于原点对称的点的坐标特征为横、纵坐标均为原坐标的相反数。
已知点A坐标为$(-2,3)$，因此旋转180°后的点坐标为$(2,-3)$。
2. 求绕原点顺时针旋转90°后的点坐标：
平面直角坐标系中，若原点点坐标为$(x,y)$，绕原点顺时针旋转90°后得到的点的坐标为$(y,-x)$。
将点A的坐标$x=-2$，$y=3$代入公式，得到新坐标为$(3,-(-2))$，即$(3,2)$。
【答案】
$(2,-3)$；$(3,2)$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题属于基础类题型，解题核心是熟记不同旋转角度下点的坐标变换规律，若对规律记忆不清晰，也可通过画图的方式辅助推导结果，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
11. 如图，$△ ABC$的顶点都在方格线的交点(格点)上.如果将$△ ABC$绕$C$点按逆时针方向旋转$90°$,那么点$B$的对应点$B'$的坐标是
(1,0)
.答案
11. (1,0)
解析
【分析】
解题时首先确定旋转中心C的坐标和点B的原始坐标，再将点B的坐标转化为以C为原点的相对坐标，根据逆时针旋转90°的坐标变换规则对相对坐标进行变换，最后将变换后的相对坐标还原为原平面直角坐标系的坐标，即可得到点B的对应点B'的坐标，也可通过直接画图确定B'的位置。
【解析】
第一步：确定各点坐标，观察坐标系可得：点C的坐标为$(-1,2)$，点B的坐标为$(-3,0)$。
第二步：计算点B相对于点C的相对坐标：
横坐标差：$-3 - (-1) = -2$，纵坐标差：$0 - 2 = -2$，即相对坐标为$(-2,-2)$。
第三步：逆时针旋转90°时，相对坐标$(x,y)$的变换规律为$(x,y) \to (-y,x)$，代入相对坐标$(-2,-2)$，得变换后的相对坐标为$(2,-2)$。
第四步：还原为原坐标系坐标：
横坐标：$-1 + 2 = 1$，纵坐标：$2 + (-2) = 0$。
因此点B的对应点$B'$的坐标为$(1,0)$。
【答案】
$(1,0)$
【知识点】
1. 坐标与旋转变换
2. 旋转的性质
3. 平面直角坐标系
【点评】
本题考查图形旋转后的坐标计算，解题核心是掌握旋转90°时的坐标变换规律，也可通过作图的方式直观得到对应点位置，两种方法结合可提高解题准确率。
【难度系数】
0.7
解题时首先确定旋转中心C的坐标和点B的原始坐标，再将点B的坐标转化为以C为原点的相对坐标，根据逆时针旋转90°的坐标变换规则对相对坐标进行变换，最后将变换后的相对坐标还原为原平面直角坐标系的坐标，即可得到点B的对应点B'的坐标，也可通过直接画图确定B'的位置。
【解析】
第一步：确定各点坐标，观察坐标系可得：点C的坐标为$(-1,2)$，点B的坐标为$(-3,0)$。
第二步：计算点B相对于点C的相对坐标：
横坐标差：$-3 - (-1) = -2$，纵坐标差：$0 - 2 = -2$，即相对坐标为$(-2,-2)$。
第三步：逆时针旋转90°时，相对坐标$(x,y)$的变换规律为$(x,y) \to (-y,x)$，代入相对坐标$(-2,-2)$，得变换后的相对坐标为$(2,-2)$。
第四步：还原为原坐标系坐标：
横坐标：$-1 + 2 = 1$，纵坐标：$2 + (-2) = 0$。
因此点B的对应点$B'$的坐标为$(1,0)$。
【答案】
$(1,0)$
【知识点】
1. 坐标与旋转变换
2. 旋转的性质
3. 平面直角坐标系
【点评】
本题考查图形旋转后的坐标计算，解题核心是掌握旋转90°时的坐标变换规律，也可通过作图的方式直观得到对应点位置，两种方法结合可提高解题准确率。
【难度系数】
0.7
12. 在平面直角坐标系中，点$P(-3, m^2 + 1)$关于原点对称的点在(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
12. D
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路思考：第一步，先明确点关于原点对称的坐标变化规律，即横、纵坐标均互为相反数；第二步，利用平方的非负性判断点P纵坐标的符号，确定点P的坐标符号特征；第三步，要么先判断点P所在象限，再根据原点对称的象限对应关系（第二象限对应第四象限）得出结论，要么直接求出对称点的坐标，再根据各象限的坐标符号特征判断所属象限。
【解析】
1. 由平方的非负性可得$m^2≥0$，因此$m^2+1≥1＞0$，可知点$P(-3, m^2+1)$的坐标符号为（负，正），即点P在第二象限。
2. 根据关于原点对称的点的坐标规律：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数，可得点P关于原点对称的点的坐标为$(3, -(m^2+1))$。
3. 分析对称点的坐标符号：横坐标$3＞0$，纵坐标$-(m^2+1)＜0$，符合第四象限点（正，负）的坐标特征，因此该对称点在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1. 关于原点对称的点的坐标
2. 平方的非负性
3. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础题型，解题核心是熟练掌握原点对称的坐标变化规律和各象限的坐标符号特征，结合平方非负性的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，可按以下思路思考：第一步，先明确点关于原点对称的坐标变化规律，即横、纵坐标均互为相反数；第二步，利用平方的非负性判断点P纵坐标的符号，确定点P的坐标符号特征；第三步，要么先判断点P所在象限，再根据原点对称的象限对应关系（第二象限对应第四象限）得出结论，要么直接求出对称点的坐标，再根据各象限的坐标符号特征判断所属象限。
【解析】
1. 由平方的非负性可得$m^2≥0$，因此$m^2+1≥1＞0$，可知点$P(-3, m^2+1)$的坐标符号为（负，正），即点P在第二象限。
2. 根据关于原点对称的点的坐标规律：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数，可得点P关于原点对称的点的坐标为$(3, -(m^2+1))$。
3. 分析对称点的坐标符号：横坐标$3＞0$，纵坐标$-(m^2+1)＜0$，符合第四象限点（正，负）的坐标特征，因此该对称点在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1. 关于原点对称的点的坐标
2. 平方的非负性
3. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础题型，解题核心是熟练掌握原点对称的坐标变化规律和各象限的坐标符号特征，结合平方非负性的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
