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2. 如图，AB是$\odot O$的直径，$CD ⊥ AB$，垂足为D，CE切$\odot O$于点F，交AB的延长线于点E. 求证：$EF · EC = ED · EO$.
答案
证明：连接$OF$，
∵ $CE$切$\odot O$于点$F$，
∴ $OF⊥CE$，即$∠OFE=90°$，
∵ $CD⊥AB$，
∴ $∠CDE=90°$，
∴ $∠CDE=∠OFE$，又$∠E$是公共角，
∴ $△CDE ∽ △OFE$，
∴ $\frac{EC}{EO}=\frac{ED}{EF}$，交叉相乘可得$EF · EC = ED · EO$，得证。
∵ $CE$切$\odot O$于点$F$，
∴ $OF⊥CE$，即$∠OFE=90°$，
∵ $CD⊥AB$，
∴ $∠CDE=90°$，
∴ $∠CDE=∠OFE$，又$∠E$是公共角，
∴ $△CDE ∽ △OFE$，
∴ $\frac{EC}{EO}=\frac{ED}{EF}$，交叉相乘可得$EF · EC = ED · EO$，得证。
解析
【分析】
要证明等积式$EF · EC = ED · EO$，可先将其变形为比例式$\frac{EC}{EO}=\frac{ED}{EF}$，只需证明包含这四条边的$△ CDE$和$△ OFE$相似即可。已知CE是$\odot O$的切线，根据切线的性质，连接切点F和圆心O可得到直角$∠ OFE$，结合已知$CD⊥ AB$可得$∠ CDE=90°$，两个直角相等，再加上公共角$∠ E$，即可证明两个三角形相似，由相似三角形对应边成比例得到比例式，交叉相乘即可得到待证结论。
【解析】
证明：连接$OF$，
∵ $CE$切$\odot O$于点$F$，
∴ $OF⊥CE$，即$∠OFE=90°$，
∵ $CD⊥AB$，
∴ $∠CDE=90°$，
∴ $∠CDE=∠OFE$，又$∠E$是公共角，
∴ $△CDE ∽ △OFE$，
∴ $\frac{EC}{EO}=\frac{ED}{EF}$，交叉相乘可得$EF · EC = ED · EO$。
【答案】
$EF · EC = ED · EO$，得证。
【知识点】
1.切线的性质
2.相似三角形的判定
3.相似三角形的性质
【点评】
本题是圆与相似三角形结合的常规题型，解题的突破口是利用切线的性质连接辅助线构造直角，结合公共角证明三角形相似，再将相似三角形的比例式转化为等积式完成证明，熟练掌握相关性质和判定定理可快速解题。
【难度系数】
0.75
要证明等积式$EF · EC = ED · EO$，可先将其变形为比例式$\frac{EC}{EO}=\frac{ED}{EF}$，只需证明包含这四条边的$△ CDE$和$△ OFE$相似即可。已知CE是$\odot O$的切线，根据切线的性质，连接切点F和圆心O可得到直角$∠ OFE$，结合已知$CD⊥ AB$可得$∠ CDE=90°$，两个直角相等，再加上公共角$∠ E$，即可证明两个三角形相似，由相似三角形对应边成比例得到比例式，交叉相乘即可得到待证结论。
【解析】
证明：连接$OF$，
∵ $CE$切$\odot O$于点$F$，
∴ $OF⊥CE$，即$∠OFE=90°$，
∵ $CD⊥AB$，
∴ $∠CDE=90°$，
∴ $∠CDE=∠OFE$，又$∠E$是公共角，
∴ $△CDE ∽ △OFE$，
∴ $\frac{EC}{EO}=\frac{ED}{EF}$，交叉相乘可得$EF · EC = ED · EO$。
【答案】
$EF · EC = ED · EO$，得证。
【知识点】
1.切线的性质
2.相似三角形的判定
3.相似三角形的性质
【点评】
本题是圆与相似三角形结合的常规题型，解题的突破口是利用切线的性质连接辅助线构造直角，结合公共角证明三角形相似，再将相似三角形的比例式转化为等积式完成证明，熟练掌握相关性质和判定定理可快速解题。
【难度系数】
0.75
3. 图中的两个三角形是否相似？为什么？
答案
两个三角形相似。理由：两个三角形的两组对应边成比例，且夹角相等，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定这两个三角形相似。
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，首先观察已知条件：题目给出了两个三角形各两条边的长度，且两条边的夹角是一组对顶角。解题思路为：第一步，分别计算两个三角形两组对应边的比值，判断是否相等；第二步，验证两组对应边的夹角是否相等；第三步，若比值相等且夹角相等，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理得出结论。
【解析】
解：设两个三角形分别为$△ ABC$和$△ DEC$。
1. 计算对应边的比值：
$\frac{BC}{DC}=\frac{45}{30}=\frac{3}{2}$，$\frac{AC}{EC}=\frac{54}{36}=\frac{3}{2}$，因此$\frac{BC}{DC}=\frac{AC}{EC}$，两组对应边成比例。
2. 验证夹角相等：
$∠ ACB$与$∠ ECD$是对顶角，根据对顶角的性质可得$∠ ACB=∠ ECD$，即两组对应边的夹角相等。
3. 根据相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，因此$△ ABC ∽ △ DEC$。
【答案】
两个三角形相似。理由：两个三角形的两组对应边成比例，且夹角相等，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定这两个三角形相似。
【知识点】
相似三角形的判定、对顶角的性质、比例化简
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用，解题核心是先准确找到对应边计算比值，再确认对应边的夹角为相等的对顶角，熟记判定定理就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断两个三角形是否相似，首先观察已知条件：题目给出了两个三角形各两条边的长度，且两条边的夹角是一组对顶角。解题思路为：第一步，分别计算两个三角形两组对应边的比值，判断是否相等；第二步，验证两组对应边的夹角是否相等；第三步，若比值相等且夹角相等，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理得出结论。
【解析】
解：设两个三角形分别为$△ ABC$和$△ DEC$。
1. 计算对应边的比值：
$\frac{BC}{DC}=\frac{45}{30}=\frac{3}{2}$，$\frac{AC}{EC}=\frac{54}{36}=\frac{3}{2}$，因此$\frac{BC}{DC}=\frac{AC}{EC}$，两组对应边成比例。
2. 验证夹角相等：
$∠ ACB$与$∠ ECD$是对顶角，根据对顶角的性质可得$∠ ACB=∠ ECD$，即两组对应边的夹角相等。
3. 根据相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，因此$△ ABC ∽ △ DEC$。
【答案】
两个三角形相似。理由：两个三角形的两组对应边成比例，且夹角相等，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定这两个三角形相似。
【知识点】
相似三角形的判定、对顶角的性质、比例化简
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用，解题核心是先准确找到对应边计算比值，再确认对应边的夹角为相等的对顶角，熟记判定定理就能快速解题。
【难度系数】
0.8
1.如图,点D是$△ ABC$的边AB上的一点,连接DC,则下列条件中不能判定$△ ABC ∼ △ ACD$的是(
A.$∠ B = ∠ ACD$
B.$∠ ADC = ∠ ACB$
C.$\frac{AC}{CD} = \frac{AB}{BC}$
D.$\frac{AC}{AD} = \frac{AB}{AC}$
C
)A.$∠ B = ∠ ACD$
B.$∠ ADC = ∠ ACB$
C.$\frac{AC}{CD} = \frac{AB}{BC}$
D.$\frac{AC}{AD} = \frac{AB}{AC}$
答案
1. C
解析
【分析】
要判定△ABC和△ACD相似，首先观察到两个三角形有公共角∠A，已经满足一组角相等的条件。接下来结合相似三角形的判定定理，逐一验证选项：若添加一组角相等，可用“两角分别相等的两个三角形相似”判定；若添加边成比例，需是夹公共角∠A的两组边对应成比例，才能用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定，不符合以上条件的即为不能判定的选项。
【解析】
已知△ABC与△ACD有公共角∠A，即$\boldsymbol{∠A=∠A}$。
选项A：当$∠B=∠ACD$时，两组角分别相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定$△ ABC ∼ △ ACD$，不符合题意；
选项B：当$∠ADC=∠ACB$时，两组角分别相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定$△ ABC ∼ △ ACD$，不符合题意；
选项C：当$\frac{AC}{CD} = \frac{AB}{BC}$时，相等的∠A不是这两组对应边的夹角，不满足相似三角形的判定条件，不能判定$△ ABC ∼ △ ACD$，符合题意；
选项D：当$\frac{AC}{AD} = \frac{AB}{AC}$时，夹公共角∠A的两组边对应成比例，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ ABC ∼ △ ACD$，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形的判定应用，解题关键是先找到两个三角形的公共角，再结合判定定理逐一验证选项，要特别注意“两边成比例且夹角相等”的判定中，角必须是两组对应边的夹角，SSA不能判定三角形相似。
【难度系数】
0.8
要判定△ABC和△ACD相似，首先观察到两个三角形有公共角∠A，已经满足一组角相等的条件。接下来结合相似三角形的判定定理，逐一验证选项：若添加一组角相等，可用“两角分别相等的两个三角形相似”判定；若添加边成比例，需是夹公共角∠A的两组边对应成比例，才能用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定，不符合以上条件的即为不能判定的选项。
【解析】
已知△ABC与△ACD有公共角∠A，即$\boldsymbol{∠A=∠A}$。
选项A：当$∠B=∠ACD$时，两组角分别相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定$△ ABC ∼ △ ACD$，不符合题意；
选项B：当$∠ADC=∠ACB$时，两组角分别相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定$△ ABC ∼ △ ACD$，不符合题意；
选项C：当$\frac{AC}{CD} = \frac{AB}{BC}$时，相等的∠A不是这两组对应边的夹角，不满足相似三角形的判定条件，不能判定$△ ABC ∼ △ ACD$，符合题意；
选项D：当$\frac{AC}{AD} = \frac{AB}{AC}$时，夹公共角∠A的两组边对应成比例，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ ABC ∼ △ ACD$，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形的判定应用，解题关键是先找到两个三角形的公共角，再结合判定定理逐一验证选项，要特别注意“两边成比例且夹角相等”的判定中，角必须是两组对应边的夹角，SSA不能判定三角形相似。
【难度系数】
0.8
2. 如图,四边形ABDC内接于$\odot O$,对角线BC,AD交于点E,延长BA,DC交于点P.下列说法错误的是(
A.$△ CED ∽ △ AEB$
B.$△ AEC ∽ △ BED$
C.$△ DCA ∽ △ BAC$
D.$△ PCA ∽ △ PBD$
C
)A.$△ CED ∽ △ AEB$
B.$△ AEC ∽ △ BED$
C.$△ DCA ∽ △ BAC$
D.$△ PCA ∽ △ PBD$
答案
2. C
解析
【分析】
要判断各选项中三角形是否相似，需结合圆的相关性质找对应相等的角，用相似三角形的AA判定定理逐一验证即可。首先回忆：同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的外角等于内对角，对顶角相等，公共角相等这些隐含的等角条件，逐个分析选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：在$△ CED$和$△ AEB$中，$∠ CED=∠ AEB$（对顶角相等），$∠ CDE=∠ ABE$（同弧$AC$所对的圆周角相等），满足两角对应相等，故$△ CED ∽ △ AEB$，A说法正确。
选项B：在$△ AEC$和$△ BED$中，$∠ AEC=∠ BED$（对顶角相等），$∠ CAE=∠ DBE$（同弧$CD$所对的圆周角相等），满足两角对应相等，故$△ AEC ∽ △ BED$，B说法正确。
选项C：在$△ DCA$和$△ BAC$中，无特殊条件时不存在两组对应相等的角，无法判定两三角形相似，C说法错误。
选项D：四边形$ABDC$内接于$\odot O$，根据圆内接四边形外角等于内对角，得$∠ PCA=∠ PBD$，又$∠ P=∠ P$（公共角），满足两角对应相等，故$△ PCA ∽ △ PBD$，D说法正确。
综上，错误的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；相似三角形的判定；圆内接四边形的性质
【点评】
本题核心是结合圆的性质判定三角形相似，解题时要注意挖掘对顶角、公共角、圆周角、圆内接四边形衍生的等角条件，熟练运用AA相似判定定理即可快速判断。
【难度系数】
0.7
要判断各选项中三角形是否相似，需结合圆的相关性质找对应相等的角，用相似三角形的AA判定定理逐一验证即可。首先回忆：同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的外角等于内对角，对顶角相等，公共角相等这些隐含的等角条件，逐个分析选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：在$△ CED$和$△ AEB$中，$∠ CED=∠ AEB$（对顶角相等），$∠ CDE=∠ ABE$（同弧$AC$所对的圆周角相等），满足两角对应相等，故$△ CED ∽ △ AEB$，A说法正确。
选项B：在$△ AEC$和$△ BED$中，$∠ AEC=∠ BED$（对顶角相等），$∠ CAE=∠ DBE$（同弧$CD$所对的圆周角相等），满足两角对应相等，故$△ AEC ∽ △ BED$，B说法正确。
选项C：在$△ DCA$和$△ BAC$中，无特殊条件时不存在两组对应相等的角，无法判定两三角形相似，C说法错误。
选项D：四边形$ABDC$内接于$\odot O$，根据圆内接四边形外角等于内对角，得$∠ PCA=∠ PBD$，又$∠ P=∠ P$（公共角），满足两角对应相等，故$△ PCA ∽ △ PBD$，D说法正确。
综上，错误的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；相似三角形的判定；圆内接四边形的性质
【点评】
本题核心是结合圆的性质判定三角形相似，解题时要注意挖掘对顶角、公共角、圆周角、圆内接四边形衍生的等角条件，熟练运用AA相似判定定理即可快速判断。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,AF⊥DE于点O,则$\frac{AO}{DO}$等于(
A.$\frac{2\sqrt{5}}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
D
)A.$\frac{2\sqrt{5}}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
3. D
解析
【分析】
要计算$\frac{AO}{DO}$的比值，可通过证明包含这两条边的三角形相似求解。首先结合正方形的性质得到直角和边的等量关系，再利用垂直关系得到相等的角，进而判定三角形相似，最后借助相似三角形对应边成比例结合E是中点的条件即可求出比值。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AB=AD$，$∠ DAE=90°$，
∴$∠ ADE + ∠ AED=90°$。
∵$AF⊥ DE$，
∴$∠ AOD=90°=∠ DAE$，
又
∵$∠ ADO=∠ EDA$（公共角），
∴$△ ADO ∽ △ EDA$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AO}{AE}=\frac{DO}{AD}$，即$\frac{AO}{DO}=\frac{AE}{AD}$。
∵E为AB的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AD$，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AO}{DO}=\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题解题的核心是通过公共角和直角判定三角形相似，将所求线段比转化为已知的边的比，是几何中求线段比值的典型考法，掌握相似三角形的判定方法是解题关键。
【难度系数】
0.7
要计算$\frac{AO}{DO}$的比值，可通过证明包含这两条边的三角形相似求解。首先结合正方形的性质得到直角和边的等量关系，再利用垂直关系得到相等的角，进而判定三角形相似，最后借助相似三角形对应边成比例结合E是中点的条件即可求出比值。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AB=AD$，$∠ DAE=90°$，
∴$∠ ADE + ∠ AED=90°$。
∵$AF⊥ DE$，
∴$∠ AOD=90°=∠ DAE$，
又
∵$∠ ADO=∠ EDA$（公共角），
∴$△ ADO ∽ △ EDA$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AO}{AE}=\frac{DO}{AD}$，即$\frac{AO}{DO}=\frac{AE}{AD}$。
∵E为AB的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AD$，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AO}{DO}=\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题解题的核心是通过公共角和直角判定三角形相似，将所求线段比转化为已知的边的比，是几何中求线段比值的典型考法，掌握相似三角形的判定方法是解题关键。
【难度系数】
0.7
4. 如图, 已知 $∠ ACB = ∠ ABD = 90°$, $AB = \sqrt{6}$, $AC = 2$. 当 $AD$ 的长为
3或$3\sqrt{2}$
时, 图中两直角三角形相似.答案
4. 3或$3\sqrt{2}$
解析
【分析】
要使图中两个直角三角形相似，已知∠ACB=∠ABD=90°为对应相等的直角，剩余锐角的对应关系存在两种情况：①∠CAB=∠BAD，此时△ACB∽△ABD；②∠CBA=∠BAD，此时△ACB∽△DBA。先利用勾股定理求出BC的长度，再结合两种相似情况的对应边比例关系，即可分别求解AD的长度。
【解析】
在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$AC=2$，$AB=\sqrt{6}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(\sqrt{6})^2-2^2}=\sqrt{6-4}=\sqrt{2}$
分两种情况讨论相似：
1. 当$△ ACB ∽ △ ABD$时，对应边成比例：$\frac{AC}{AB}=\frac{AB}{AD}$
代入数值：$\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{AD}$
解得：$AD=\frac{\sqrt{6}×\sqrt{6}}{2}=3$
2. 当$△ ACB ∽ △ DBA$时，对应边成比例：$\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{AD}$
代入数值：$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{AD}$
解得：$AD=\frac{\sqrt{6}×\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$
综上，AD的长为3或$3\sqrt{2}$。
【答案】
3或$3\sqrt{2}$
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题为易错题，解题核心是明确直角三角形相似时，除直角外的锐角对应存在两种可能，需分类讨论求解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要使图中两个直角三角形相似，已知∠ACB=∠ABD=90°为对应相等的直角，剩余锐角的对应关系存在两种情况：①∠CAB=∠BAD，此时△ACB∽△ABD；②∠CBA=∠BAD，此时△ACB∽△DBA。先利用勾股定理求出BC的长度，再结合两种相似情况的对应边比例关系，即可分别求解AD的长度。
【解析】
在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$AC=2$，$AB=\sqrt{6}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(\sqrt{6})^2-2^2}=\sqrt{6-4}=\sqrt{2}$
分两种情况讨论相似：
1. 当$△ ACB ∽ △ ABD$时，对应边成比例：$\frac{AC}{AB}=\frac{AB}{AD}$
代入数值：$\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{AD}$
解得：$AD=\frac{\sqrt{6}×\sqrt{6}}{2}=3$
2. 当$△ ACB ∽ △ DBA$时，对应边成比例：$\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{AD}$
代入数值：$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{AD}$
解得：$AD=\frac{\sqrt{6}×\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$
综上，AD的长为3或$3\sqrt{2}$。
【答案】
3或$3\sqrt{2}$
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题为易错题，解题核心是明确直角三角形相似时，除直角外的锐角对应存在两种可能，需分类讨论求解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
5.如图,在$△ ABC$中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分$∠ ACB$.若AD=2,BD=3,则AC的长为
$\sqrt{10}$
.答案
5. $\sqrt{10}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用线段垂直平分线的性质得出DB=DC，进而得到∠B=∠DCB；2. 结合角平分线的定义，等量代换得到∠B=∠ACD；3. 观察到△ACD和△ABC有公共角∠A，加上刚才得到的等角，可判定两个三角形相似；4. 最后利用相似三角形对应边成比例列式，计算出AC的长度。
【解析】
解：
∵MN是BC的垂直平分线，点D在MN上，
∴DB=DC=3，
∴∠B=∠DCB。
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB，
∴∠B=∠ACD。
在△ACD和△ABC中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠A（公共角）\\∠ACD=∠B\end{array} $
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$AC^2=AD· AB$。
又
∵AB=AD+BD=2+3=5，AD=2，
∴$AC^2=2×5=10$，
∵AC为线段长度，取正值，
∴$AC=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是通过角的等量转换找到相似三角形，再利用相似的性质建立等式求解，熟练掌握基础几何性质和相似三角形的判定方法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先利用线段垂直平分线的性质得出DB=DC，进而得到∠B=∠DCB；2. 结合角平分线的定义，等量代换得到∠B=∠ACD；3. 观察到△ACD和△ABC有公共角∠A，加上刚才得到的等角，可判定两个三角形相似；4. 最后利用相似三角形对应边成比例列式，计算出AC的长度。
【解析】
解：
∵MN是BC的垂直平分线，点D在MN上，
∴DB=DC=3，
∴∠B=∠DCB。
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB，
∴∠B=∠ACD。
在△ACD和△ABC中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠A（公共角）\\∠ACD=∠B\end{array} $
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$AC^2=AD· AB$。
又
∵AB=AD+BD=2+3=5，AD=2，
∴$AC^2=2×5=10$，
∵AC为线段长度，取正值，
∴$AC=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是通过角的等量转换找到相似三角形，再利用相似的性质建立等式求解，熟练掌握基础几何性质和相似三角形的判定方法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.6
