如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C = 90°,AB = 10,BC = 6$,求 $\sin A,\cos A,\tan A$ 的值.

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，因此$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$

【分析】
要计算直角三角形中∠A的三个三角函数值，首先需要明确锐角三角函数的定义：$\sin A$是∠A的对边与斜边的比值，$\cos A$是∠A的邻边与斜边的比值，$\tan A$是∠A的对边与邻边的比值。本题已知斜边AB和∠A的对边BC，缺少∠A的邻边AC的长度，因此第一步先用勾股定理求出AC的长度，再分别代入三个三角函数的定义式计算，最后将结果约分为最简分数即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$，
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\sin A=\frac{3}{5}$，$\cos A=\frac{4}{5}$，$\tan A=\frac{3}{4}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础计算题，解题的关键是先利用勾股定理求出未知直角边的长度，再熟记各锐角三角函数对应的边的比值关系，计算时注意将结果化为最简分数即可。
【难度系数】
0.8

1. 在$△ ABC$中，$a,b,c$分别是$∠ A,∠ B,∠ C$的对边，如果$a^2 + b^2 = c^2$，那么下列结论正确的是()

A.$b \cos B = c$
B.$a \tan A = b$
C.$c \sin A = a$
D.$c \tan B = b$

1. C

【分析】
首先根据已知条件$a^2 + b^2 = c^2$，利用勾股定理的逆定理可判断$△ ABC$是直角三角形，且斜边为$c$，即$∠ C=90°$。接下来结合锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，将每个选项中的三角函数转化为三边的比值，代入等式验证是否成立即可得出正确答案。
【解析】
解：$\because a^2 + b^2 = c^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$。
对各选项逐一分析：
A选项：$\cos B = \frac{\mathrm{∠B的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{a}{c}$，则$b\cos B = b×\frac{a}{c} = \frac{ab}{c} ≠ c$，故A错误；
B选项：$\tan A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{∠A的邻边}} = \frac{a}{b}$，则$a\tan A = a×\frac{a}{b} = \frac{a^2}{b} ≠ b$，故B错误；
C选项：$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{a}{c}$，则$c\sin A = c×\frac{a}{c} = a$，等式成立，故C正确；
D选项：$\tan B = \frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{∠B的邻边}} = \frac{b}{a}$，则$c\tan B = c×\frac{b}{a} = \frac{bc}{a} ≠ b$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查直角三角形的判定及锐角三角函数的应用，解题的核心是熟练掌握各三角函数对应的边的比例关系，避免混淆对边、邻边和斜边。
【难度系数】
0.8

2. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°, BC = 3, AC = 4$, 则$\tan B$的值为()

A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$

2. D

【分析】
首先明确本题要求计算直角三角形中∠B的正切值，我们需要先回忆锐角正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边长度与邻边长度的比值。接下来确定∠B的对边和邻边：因为∠C是直角，所以∠B的对边是AC，邻边是BC，题目已经直接给出两条边的长度，代入定义计算即可得到结果。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，根据正切的定义，锐角的正切值为该角对边与邻边的比值。
对于∠B而言，对边是AC，邻边是BC，因此：
$\tan B = \frac{∠B\mathrm{的对边}}{∠B\mathrm{的邻边}}=\frac{AC}{BC}$
将$AC=4$，$BC=3$代入上式，可得：
$\tan B=\frac{4}{3}$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 正切的定义 2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题是基础题，主要考查正切定义的直接应用，解题核心是准确区分对应锐角的对边和邻边，只要熟练掌握定义即可快速得出答案，要注意避免混淆对边、邻边导致计算错误。
【难度系数】
0.8

3. 如图，已知$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，AD是$\odot O$的直径，连接CD。若AD = 3，AC = 2，则$\cos B$的值为。

3. $\frac{\sqrt{5}}{3}$

【分析】
解题核心是通过圆周角定理转化角，将求∠B的余弦值转化为求直角三角形内锐角的余弦值。首先根据直径的性质判断△ACD是直角三角形，再利用同弧所对圆周角相等得到∠B=∠D，最后在Rt△ACD中结合勾股定理和余弦定义计算即可。
【解析】
∵AD是$\odot O$的直径，
∴∠ACD=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ACD中，AD=3，AC=2，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$。
∵∠B和∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠B=∠D，
∴$\cos B=\cos D=\frac{CD}{AD}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{3}$
【知识点】
圆周角定理、勾股定理、余弦的定义
【点评】
本题是圆与锐角三角函数结合的基础题型，解题关键是利用圆周角定理实现角的转化，体现了转化的数学思想，是该部分知识的常见考法。
【难度系数】
0.7

4. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，若 $2AB = AC$，则 $\cos C = \_\_\_\_\_\_$。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

【分析】
题目仅说明△ABC是直角三角形，但未明确哪个角是直角，因此需先分类讨论直角的位置，排除不符合条件的情况后，结合已知2AB=AC设边长，再利用勾股定理求出第三边，最后根据余弦的定义（锐角的邻边与斜边的比值）计算cosC的值。首先排除∠C为直角的情况：若∠C=90°，则AB为斜边，AB＞AC，与AC=2AB矛盾，因此仅需讨论∠B=90°和∠A=90°两种情况。
【解析】
设AB=x，由2AB=AC得AC=2x，分两种情况讨论：
1. 当∠B=90°时，AC为斜边：
由勾股定理得$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$
根据余弦定义，$\cos C=\frac{邻边}{斜边}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
2. 当∠A=90°时，AC、AB为直角边：
由勾股定理得$BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=\sqrt{(2x)^2+x^2}=\sqrt{5}x$
根据余弦定义，$\cos C=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AC}{BC}=\frac{2x}{\sqrt{5}x}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
综上，$\cos C$的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
余弦的定义；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略直角顶点的不确定性，仅考虑其中一种直角情况导致漏解，解题时遇到未明确直角位置的直角三角形问题，首先要判断所有可能的直角位置，排除不符合条件的情况后再计算。
【难度系数】
0.6

5. 在Rt△ABC中，∠C = 90°, tan A = $\frac{2}{3}$, AB = 26, 求cos B, AC的值.

解：
∵ $\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{3}$，设BC=2k，AC=3k，由勾股定理得$AB=\sqrt{(2k)^2+(3k)^2}=\sqrt{13}k=26$，解得$k=2\sqrt{13}$，
∴ AC=$3k=6\sqrt{13}$，BC=$4\sqrt{13}$，
∴ $\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{4\sqrt{13}}{26}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$，即$\cos B=\frac{2\sqrt{13}}{13}$，AC=$6\sqrt{13}$

【分析】
本题是直角三角形中的解三角形问题，解题思路清晰可依：第一步，根据正切的定义，$\tan A$是$∠ A$的对边$BC$与邻边$AC$的比值，已知$\tan A=\frac{2}{3}$，可通过参数法设$BC=2k$、$AC=3k$（$k＞0$）表示两条直角边；第二步，结合勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，以及已知斜边$AB=26$，列方程求出参数$k$的值；第三步，代入$k$的值直接得到$AC$的长度，再根据余弦的定义，$\cos B$是$∠ B$的邻边$BC$与斜边$AB$的比值，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{3}$，
∴ 设$BC=2k$（$k＞0$），则$AC=3k$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{(2k)^2+(3k)^2}=\sqrt{13}k$，
又
∵ $AB=26$，
∴ $\sqrt{13}k=26$，解得$k=2\sqrt{13}$，
∴ $AC=3k=3×2\sqrt{13}=6\sqrt{13}$，$BC=2k=4\sqrt{13}$，
根据余弦的定义，$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，
代入得$\cos B=\frac{4\sqrt{13}}{26}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$。
【答案】
$\cos B=\frac{2\sqrt{13}}{13}$，$AC=6\sqrt{13}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，重点考查对锐角三角函数概念的掌握和勾股定理的应用，结合三角函数比例关系用参数法设边长，是解决这类问题的常用技巧，有助于简化计算过程。
【难度系数】
0.75

1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A = $\frac{5}{13}$，则tan B的值为()

A.$\frac{12}{13}$
B.$\frac{5}{12}$
C.$\frac{13}{12}$
D.$\frac{12}{5}$

1. D

【分析】
本题是直角三角形中锐角三角函数的计算问题，解题思路如下：首先根据正弦函数的定义，结合已知的$\sin A$的值，用参数表示出角$A$的对边和斜边的长度；再利用勾股定理求出直角三角形的第三条直角边的长度；最后根据正切函数的定义，找到角$B$的对边和邻边，计算比值即可得到$\tan B$的值。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∵ $\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{13}$，
∴ 可设$BC=5k$（$k＞0$），则$AB=13k$，
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(13k)^2 - (5k)^2} = \sqrt{144k^2} = 12k$，
又
∵ $\tan B = \frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{∠B的邻边}} = \frac{AC}{BC}$，
代入$AC$、$BC$的值得：
$\tan B = \frac{12k}{5k} = \frac{12}{5}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义、勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对锐角三角函数定义的理解与运用，解题的关键是明确不同三角函数对应的边长比，结合勾股定理求出未知边长即可求解，不易出错。
【难度系数】
0.8