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8.【教材P85习题T9变式】如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东$65°$方向的M处，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东$50°$方向的N处，则N处与灯塔P的距离为
60
海里。答案
8. 60
解析
【分析】
解题时先算出海轮从M到N的航行距离，再结合方向角的特征和平行线的性质求出三角形中两个角的度数，判断出等腰三角形，最后利用等腰三角形等角对等边的性质得到N处与灯塔P的距离。第一步：根据路程=速度×时间计算MN的长度；第二步：结合方向角和平行线内错角相等求∠M的度数；第三步：根据平角为180°计算∠MPN的度数；第四步：判断等角对等边，得到PN与MN的等量关系，求出PN的长度。
【解析】
1. 计算MN的长度：海轮航行速度为每小时30海里，航行时间为2小时，因此$MN=30×2=60$海里。
2. 求∠M的度数：因为MN沿正北方向航行，与过点P的南北方向虚线平行，根据平行线内错角相等，可得$∠ M=65°$。
3. 求∠MPN的度数：由平角的定义可知，$∠ MPN=180°-50°-65°=65°$。
4. 推导PN的长度：因为$∠ M=∠ MPN=65°$，根据等腰三角形等角对等边的性质，可得$PN=MN=60$海里。
【答案】
60
【知识点】
方向角的识别，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题结合实际航行场景考查几何知识的应用，解题关键是准确理解方向角的含义，灵活运用平行线和等腰三角形的性质建立边的等量关系。
【难度系数】
0.7
解题时先算出海轮从M到N的航行距离，再结合方向角的特征和平行线的性质求出三角形中两个角的度数，判断出等腰三角形，最后利用等腰三角形等角对等边的性质得到N处与灯塔P的距离。第一步：根据路程=速度×时间计算MN的长度；第二步：结合方向角和平行线内错角相等求∠M的度数；第三步：根据平角为180°计算∠MPN的度数；第四步：判断等角对等边，得到PN与MN的等量关系，求出PN的长度。
【解析】
1. 计算MN的长度：海轮航行速度为每小时30海里，航行时间为2小时，因此$MN=30×2=60$海里。
2. 求∠M的度数：因为MN沿正北方向航行，与过点P的南北方向虚线平行，根据平行线内错角相等，可得$∠ M=65°$。
3. 求∠MPN的度数：由平角的定义可知，$∠ MPN=180°-50°-65°=65°$。
4. 推导PN的长度：因为$∠ M=∠ MPN=65°$，根据等腰三角形等角对等边的性质，可得$PN=MN=60$海里。
【答案】
60
【知识点】
方向角的识别，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题结合实际航行场景考查几何知识的应用，解题关键是准确理解方向角的含义，灵活运用平行线和等腰三角形的性质建立边的等量关系。
【难度系数】
0.7
9. 如图，在△ABC中，BC=10，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN//BC，△AMN的周长为15，则△ABC的周长等于
25
。答案
9. 25
解析
【分析】
解题时首先结合已知的角平分线和平行线两个条件，回忆“角平分线+平行线”的常见几何模型可推导出等腰三角形：第一步先利用角平分线定义和平行线的性质，得到等角，再通过等角对等边得到MO=MB、NO=NC；第二步将△AMN的周长进行等量代换，转化为AB+AC的长度；最后将AB+AC的长度与BC相加即可得到△ABC的周长。
【解析】
解：
∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO=∠CBO，
∵MN//BC，
∴∠MOB=∠CBO，
∴∠MBO=∠MOB，
∴MB=MO。
同理可得：NC=NO。
∵△AMN的周长为15，
∴$AM+MN+AN=AM+MO+ON+AN=15$，
将$MO=MB$、$ON=NC$代入得：$AM+MB+AN+NC=AB+AC=15$，
又
∵$BC=10$，
∴△ABC的周长$=AB+AC+BC=15+10=25$。
【答案】
25
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等角对等边
【点评】
本题属于几何基础常考题，核心是掌握“角平分线+平行线”组合推导等腰三角形的模型，通过线段的等量代换将未知周长和已知条件建立联系，熟练掌握该模型可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知的角平分线和平行线两个条件，回忆“角平分线+平行线”的常见几何模型可推导出等腰三角形：第一步先利用角平分线定义和平行线的性质，得到等角，再通过等角对等边得到MO=MB、NO=NC；第二步将△AMN的周长进行等量代换，转化为AB+AC的长度；最后将AB+AC的长度与BC相加即可得到△ABC的周长。
【解析】
解：
∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO=∠CBO，
∵MN//BC，
∴∠MOB=∠CBO，
∴∠MBO=∠MOB，
∴MB=MO。
同理可得：NC=NO。
∵△AMN的周长为15，
∴$AM+MN+AN=AM+MO+ON+AN=15$，
将$MO=MB$、$ON=NC$代入得：$AM+MB+AN+NC=AB+AC=15$，
又
∵$BC=10$，
∴△ABC的周长$=AB+AC+BC=15+10=25$。
【答案】
25
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等角对等边
【点评】
本题属于几何基础常考题，核心是掌握“角平分线+平行线”组合推导等腰三角形的模型，通过线段的等量代换将未知周长和已知条件建立联系，熟练掌握该模型可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
10. 在一次数学课上,王老师在屏幕上出示了一道例题:
如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,BE与CD交于点O,给出下列四个条件:① ∠DBO = ∠ECO; ② ∠BDO = ∠CEO;③BD=CE;④OB=OC.
(1)要求同学从这四个条件中选出两个作为已知条件,用来判定△ABC是等腰三角形.
请你在横线上用序号写出所有情形.
答:
(2)选择(1)中的一种情形,写出证明过程.
03 素养练 学科素养培育
如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,BE与CD交于点O,给出下列四个条件:① ∠DBO = ∠ECO; ② ∠BDO = ∠CEO;③BD=CE;④OB=OC.
(1)要求同学从这四个条件中选出两个作为已知条件,用来判定△ABC是等腰三角形.
请你在横线上用序号写出所有情形.
答:
①③,①④,②③,②④
;(2)选择(1)中的一种情形,写出证明过程.
03 素养练 学科素养培育
答案
10. (1) ①③,①④,②③,②④ (2) 解:答案不唯一;以①④为条件:
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
∵∠DBO=∠ECO,
∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB. 即∠DBC=∠ECB,
∴AC=AB. 即△ABC是等腰三角形.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
∵∠DBO=∠ECO,
∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB. 即∠DBC=∠ECB,
∴AC=AB. 即△ABC是等腰三角形.
解析
【分析】
(1) 要判定△ABC是等腰三角形，核心是证明∠ABC=∠ACB（或AB=AC）。我们可围绕这个目标筛选条件组合：
首先明确思路：若能推导出∠ABC=∠ACB，即可判定△ABC是等腰三角形。逐一验证两两组和：
选①③：结合对顶角相等，可证△DBO≌△ECO，得到OB=OC，再推出∠OBC=∠OCB，最终得到∠ABC=∠ACB；
选①④：由OB=OC直接得∠OBC=∠OCB，和已知的∠DBO=∠ECO相加，即可得∠ABC=∠ACB；
选②③：结合对顶角相等，可证△BDO≌△CEO，得到OB=OC，同理推出∠ABC=∠ACB；
选②④：结合对顶角相等，可证△BDO≌△CEO，得到∠DBO=∠ECO，再结合OB=OC推出的∠OBC=∠OCB，可得∠ABC=∠ACB。
(2) 证明时选上述任意一种组合，按照几何证明的逻辑，先利用已知条件推导全等或等角，最终推出△ABC的两个底角相等即可。
【解析】
(1) 经筛选，所有可判定△ABC是等腰三角形的条件组合为①③、①④、②③、②④；
(2) 以选①④为例，证明如下：
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB（等腰三角形的两个底角相等），
又
∵∠DBO=∠ECO，
∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC（等角对等边），
∴△ABC是等腰三角形。
（选择其他组合证明合理即可）
【答案】
(1) ①③,①④,②③,②④
(2) 示例：选①④，证明过程如上（答案不唯一）
【知识点】
1. 等腰三角形的判定与性质
2. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是开放性几何题，既考查学生对等腰三角形、全等三角形相关定理的掌握程度，也锻炼学生的逻辑推理和发散思维能力，需要学生合理组合条件完成推导。
【难度系数】
0.7
(1) 要判定△ABC是等腰三角形，核心是证明∠ABC=∠ACB（或AB=AC）。我们可围绕这个目标筛选条件组合：
首先明确思路：若能推导出∠ABC=∠ACB，即可判定△ABC是等腰三角形。逐一验证两两组和：
选①③：结合对顶角相等，可证△DBO≌△ECO，得到OB=OC，再推出∠OBC=∠OCB，最终得到∠ABC=∠ACB；
选①④：由OB=OC直接得∠OBC=∠OCB，和已知的∠DBO=∠ECO相加，即可得∠ABC=∠ACB；
选②③：结合对顶角相等，可证△BDO≌△CEO，得到OB=OC，同理推出∠ABC=∠ACB；
选②④：结合对顶角相等，可证△BDO≌△CEO，得到∠DBO=∠ECO，再结合OB=OC推出的∠OBC=∠OCB，可得∠ABC=∠ACB。
(2) 证明时选上述任意一种组合，按照几何证明的逻辑，先利用已知条件推导全等或等角，最终推出△ABC的两个底角相等即可。
【解析】
(1) 经筛选，所有可判定△ABC是等腰三角形的条件组合为①③、①④、②③、②④；
(2) 以选①④为例，证明如下：
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB（等腰三角形的两个底角相等），
又
∵∠DBO=∠ECO，
∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC（等角对等边），
∴△ABC是等腰三角形。
（选择其他组合证明合理即可）
【答案】
(1) ①③,①④,②③,②④
(2) 示例：选①④，证明过程如上（答案不唯一）
【知识点】
1. 等腰三角形的判定与性质
2. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是开放性几何题，既考查学生对等腰三角形、全等三角形相关定理的掌握程度，也锻炼学生的逻辑推理和发散思维能力，需要学生合理组合条件完成推导。
【难度系数】
0.7
11.【新中考·新定义型阅读理解题】如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫作等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线. 如图 1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线.
(1)如图 2，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E. 求证：AE是△ABC的一条等腰分割线；
(2)在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，AD=BD，∠C=30°，请你画出所有可能的图形并求出∠B的度数.
(1)如图 2，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E. 求证：AE是△ABC的一条等腰分割线；
(2)在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，AD=BD，∠C=30°，请你画出所有可能的图形并求出∠B的度数.
答案
11. (1) 证明:如图 2 中,
∵DE是线段AC的垂直平分线,
∴EA=EC,
∴∠EAC=∠C.
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C.
∵∠B=2∠C,
∴∠AEB=∠B,即△EAB是等腰三角形.
∴AE是△ABC的一条等腰分割线;(2) 解:
∵线段AD为等腰分割线,
∴△ABD和△ACD都是等腰三角形,①如解图①
,AD=CD=BD,∴∠C=∠CAD=30°.
∴∠ADB=∠C+∠CAD=30°+30°=60°.
∵AD=BD,
∴∠B=60°;②如解图②
,AD=BD=AC,∵AD=AC,
∴∠ADC=∠C=30°.
∵AD=BD,
∴∠B=∠DAB.
∵∠ADC=∠B+∠BAD=30°,
∴∠B=15°;③如解图③
,AD=BD,AC=CD,∴∠CAD=∠ADC=75°,∠B=∠BAD.
∵∠ADC=∠B+∠BAD,
∴∠B=37.5°. 综上所述,∠B的度数为60°或15°或37.5°.
解析
【分析】
(1) 要证明AE是△ABC的等腰分割线，需证明AE分割出的两个三角形均为等腰三角形。首先根据垂直平分线性质可得EA=EC，确定△AEC是等腰三角形；再利用三角形外角性质推出∠AEB=2∠C，结合已知∠B=2∠C，可证得∠AEB=∠B，得到△AEB是等腰三角形，即可完成证明。
(2) 已知AD=BD，因此△ABD已是等腰三角形，只需对△ACD的等腰情况分类讨论：分别讨论AD=CD、AC=AD、AC=CD三种情况，结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角和内角和定理计算∠B的度数，同时验证图形合理性即可。
【解析】
(1) 证明：
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，
∴∠EAC=∠C，
由三角形外角性质可得：∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
又
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，
∴AE=AB，即△EAB是等腰三角形，
∴AE是△ABC的一条等腰分割线。
(2) 解：
∵AD为△ABC的等腰分割线，
∴△ABD和△ACD均为等腰三角形，已知AD=BD，△ABD为等腰三角形，分三种情况讨论：
① 当AD=CD时，如解图①，此时AD=CD=BD，
∴∠C=∠CAD=30°，
∠ADB=∠C+∠CAD=30°+30°=60°，
∵AD=BD，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠B=60°；
② 当AC=AD时，如解图②，此时AD=BD=AC，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=30°，
∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB，
∵∠ADC是△ABD的外角，即∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B=30°，
∴∠B=15°；
③ 当AC=CD时，如解图③，此时AD=BD，AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=(180°-30°)÷2=75°，
∵∠ADC是△ABD的外角，且AD=BD，∠B=∠BAD，
∴∠ADC=2∠B=75°，
∴∠B=37.5°。
综上，∠B的度数为60°或15°或37.5°。
【答案】
(1) 证明成立，AE是△ABC的一条等腰分割线；
(2) ∠B的度数为60°或15°或37.5°，对应图形：
①②③
【知识点】
垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形外角性质
【点评】
本题属于新定义类几何题，既考查基础几何定理的应用，也考查分类讨论思想，解题时要注意等腰三角形腰和底不明确时，需分情况讨论，同时要验证结果是否符合图形逻辑，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明AE是△ABC的等腰分割线，需证明AE分割出的两个三角形均为等腰三角形。首先根据垂直平分线性质可得EA=EC，确定△AEC是等腰三角形；再利用三角形外角性质推出∠AEB=2∠C，结合已知∠B=2∠C，可证得∠AEB=∠B，得到△AEB是等腰三角形，即可完成证明。
(2) 已知AD=BD，因此△ABD已是等腰三角形，只需对△ACD的等腰情况分类讨论：分别讨论AD=CD、AC=AD、AC=CD三种情况，结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角和内角和定理计算∠B的度数，同时验证图形合理性即可。
【解析】
(1) 证明：
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，
∴∠EAC=∠C，
由三角形外角性质可得：∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
又
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，
∴AE=AB，即△EAB是等腰三角形，
∴AE是△ABC的一条等腰分割线。
(2) 解：
∵AD为△ABC的等腰分割线，
∴△ABD和△ACD均为等腰三角形，已知AD=BD，△ABD为等腰三角形，分三种情况讨论：
① 当AD=CD时，如解图①
，此时AD=CD=BD，∴∠C=∠CAD=30°，
∠ADB=∠C+∠CAD=30°+30°=60°，
∵AD=BD，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠B=60°；
② 当AC=AD时，如解图②
，此时AD=BD=AC，∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=30°，
∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB，
∵∠ADC是△ABD的外角，即∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B=30°，
∴∠B=15°；
③ 当AC=CD时，如解图③
，此时AD=BD，AC=CD，∴∠CAD=∠ADC=(180°-30°)÷2=75°，
∵∠ADC是△ABD的外角，且AD=BD，∠B=∠BAD，
∴∠ADC=2∠B=75°，
∴∠B=37.5°。
综上，∠B的度数为60°或15°或37.5°。
【答案】
(1) 证明成立，AE是△ABC的一条等腰分割线；
(2) ∠B的度数为60°或15°或37.5°，对应图形：
①
②③【知识点】
垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形外角性质
【点评】
本题属于新定义类几何题，既考查基础几何定理的应用，也考查分类讨论思想，解题时要注意等腰三角形腰和底不明确时，需分情况讨论，同时要验证结果是否符合图形逻辑，避免漏解。
【难度系数】
0.6
