知识储备
等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的也相等,简称“”.

边 等角对等边

【分析】
这道题属于基础识记类题目，直接考查等腰三角形判定定理的原文内容。解题时只需回忆教材中该定理的完整表述及简称即可：首先明确等腰三角形判定的逻辑是由角的相等关系推导对应边的相等关系，因此第一个空对应角所对的元素是边，第二个空对应定理的官方简称。
【解析】
根据等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，该定理简称为“等角对等边”，因此两个空缺依次填入对应内容即可。
【答案】
边 等角对等边
【知识点】
等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，难度极低，主要检验对教材核心定理的记忆熟练度，该定理是后续解决等腰三角形相关证明、计算类题目的基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9

1.【判定辨析】下列三角形中，不是等腰三角形的是（）

1. A

【分析】
要判断哪个三角形不是等腰三角形，需结合等腰三角形的判定规则：有两个角相等的三角形是等腰三角形，或有两条边相等的三角形是等腰三角形。解题时先利用三角形内角和为180°计算出每个选项中未知角的度数，再判断是否存在相等的角或相等的边，不存在的即为正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据三角形内角和为180°，第三个角的度数为$180° - 50° - 35° = 95°$，三个角分别为$50°、35°、95°$，没有相等的角，也没有相等的边，不是等腰三角形。
选项B：该三角形有一个直角$90°$，第三个角的度数为$180° - 90° - 45° = 45°$，存在两个$45°$的相等角，是等腰三角形。
选项C：第三个角的度数为$180° - 100° - 40° = 40°$，存在两个$40°$的相等角，是等腰三角形。
选项D：该三角形有两条边长均为5，存在相等的边，是等腰三角形。
【答案】
A
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查等腰三角形的判定方法，结合三角形内角和计算角度即可快速得出结论，解题时注意不要遗漏“两边相等的三角形也是等腰三角形”这一判定依据。
【难度系数】
0.9

2. 下列条件中,不能判定$△ ABC$是等腰三角形的是 ()

A.$BC=3,AC=3,AB=4$
B.$BC:AC:AB=2:3:4$
C.$∠ B=50°,∠ C=80°$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=1:1:2$

2. B

【分析】
要判断能否判定△ABC是等腰三角形，需依据等腰三角形的判定规则：有两条边相等的三角形是等腰三角形，或有两个角相等的三角形是等腰三角形。解题时逐个分析每个选项，验证是否存在相等的边或相等的角，选出不符合判定条件的选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：已知$BC=AC=3$，三角形有两条边相等，可判定$△ ABC$是等腰三角形，不符合题意；
B选项：$BC:AC:AB=2:3:4$，说明三条边长度均不相等，不存在相等的边，对应三个角也均不相等，因此不能判定$△ ABC$是等腰三角形，符合题意；
C选项：根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-80°=50°$，则$∠ A=∠ B$，有两个角相等，可判定$△ ABC$是等腰三角形，不符合题意；
D选项：设三个角分别为$x、x、2x$，根据内角和定理得$x+x+2x=180°$，解得$x=45°$，即有两个角都是$45°$，可判定$△ ABC$是等腰三角形，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形的两种判定方法，解题时结合边长关系或内角和计算，验证是否存在等边或等角即可，细心计算就能得分。
【难度系数】
0.8

3.【教材P81练习T1变式】如图，$△ ABC$中，$∠ A=36°$，$AB=AC$，$BD$平分$∠ ABC$，则图中等腰三角形的个数是（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

3. C

【分析】
解题时先从已知条件AB=AC入手，先确定第一个等腰三角形△ABC，再结合三角形内角和算出两个底角的度数；接着利用角平分线的性质得到∠ABD、∠CBD的度数，再通过三角形外角性质算出剩余角的度数，依据“等角对等边”逐一判断其余的等腰三角形，最后统计总个数即可。
【解析】
1. 判断△ABC：已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。
根据三角形内角和为180°，∠A=36°，可得∠ABC=∠C=(180°-36°)÷2=72°。
2. 判断△ABD：因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD=72°÷2=36°，可得∠ABD=∠A=36°，根据“等角对等边”可知AD=BD，因此△ABD是等腰三角形。
3. 判断△BCD：根据三角形外角性质，∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°，可得∠BDC=∠C=72°，根据“等角对等边”可知BD=BC，因此△BCD是等腰三角形。
综上，图中等腰三角形共有△ABC、△ABD、△BCD，合计3个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础题型，核心是通过角度计算得到相等的角，再利用“等角对等边”判断等腰三角形，解题时要注意逐一排查，避免漏数。
【难度系数】
0.7

4.【教材P81练习T3变式】如图，已知AC和BD相交于点O，AB//DC，OA=OB=4.若OC=3，则BD的长为（）

A.5
B.6
C.7
D.8

4. C

【分析】
解题时先从已知条件OA=OB入手，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠A=∠B；再结合AB//DC的条件，利用平行线的内错角相等性质，得到∠A=∠C、∠B=∠D，通过等量代换推出∠C=∠D，进而根据等腰三角形等角对等边得到OD=OC；最后BD的长度为OB与OD的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵OA=OB=4，
∴∠A=∠B（等边对等角）。
∵AB//DC，
∴∠A=∠C，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等），
∴∠C=∠D（等量代换），
∴OD=OC=3（等角对等边），
∴BD=OB+OD=4+3=7。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何题，将平行线性质与等腰三角形的性质判定相结合考查，解题的关键是通过角的等量关系推出OD的长度，只要熟练掌握相关基础定理就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

5.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC,D$是$AB$上一点,过点$D$作直线$DE⊥ BC$于点$E$,反向延长$DE$,交$CA$的延长线于点$F$,试判断$△ ADF$的形状,并说明理由.

5. 解:△ADF是等腰三角形.理由如下:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC,
∴∠DEB=∠DEC=90°.
∴∠F+∠C=90°,∠B+∠BDE=90°.
∴∠F=∠BDE. 又∠ADF=∠BDE,
∴∠F=∠ADF.
∴AD=AF.
∴△ADF是等腰三角形.

【分析】
要判断△ADF的形状，可通过证明其内角相等或边相等来判定，优先考虑常见的等腰三角形。首先由已知AB=AC可得△ABC是等腰三角形，底角∠B=∠C；再结合DE⊥BC的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余的性质，可得∠F与∠C互余、∠BDE与∠B互余，由等角的余角相等可推出∠F=∠BDE；再结合对顶角相等，可得∠F=∠ADF，最终由等角对等边得到AD=AF，即可判定△ADF的形状。
【解析】
△ADF是等腰三角形，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠DEC=90°。
∴∠F+∠C=90°，∠B+∠BDE=90°。
∴∠F=∠BDE。
又
∵∠ADF=∠BDE，
∴∠F=∠ADF，
∴AD=AF，
∴△ADF是等腰三角形。
【答案】
△ADF是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；直角三角形两锐角互余；对顶角相等
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过角的等量代换得到待判定三角形的内角相等，进而证明其为等腰三角形，能够有效考察学生对基础几何性质的运用能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8

6.(1)【教材P81例3变式】已知等腰三角形的底边长为a,底边上的中线长为b,求作这个等腰三角形.(要求写出作法)

(2)作图题.(要求:用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)
已知:线段a和∠α(如图).
求作:△ABC,使AB=AC=a,∠A=∠α.

解：
(1) 作法如下：
① 作线段$BC = a$；
② 作线段$BC$的垂直平分线$MN$，交$BC$于点$D$；
③ 在直线$MN$上，点$D$的一侧截取线段$DA$，使$DA = b$；
④ 连接$AB$、$AC$，则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形。
(2) 用直尺和圆规完成作图：先作$∠ A = ∠α$，再在$∠ A$的两条边上分别截取长度等于$a$的线段$AB$、$AC$，最后连接$BC$，保留所有尺规作图的圆弧、交点痕迹，所得$△ ABC$即为符合要求的三角形。

【分析】
(1) 要构造底边长为a、底边上中线长为b的等腰三角形，可借助等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的中线垂直平分底边。因此先确定底边，再作底边的垂直平分线得到中线所在直线，在该直线上截取长度为b的中线，最后连接顶点与底边两端点即可得到目标三角形。
(2) 要构造AB=AC=a、∠A=∠α的等腰三角形，首先确定顶角，先作一个与∠α相等的角作为∠A，再在角的两条边上分别截取长度为a的线段AB、AC，连接BC即可，作图需保留所有尺规操作痕迹。
【解析】
(1) 按以下步骤作图：
① 作线段$BC = a$；
② 作线段$BC$的垂直平分线$MN$，交$BC$于点$D$；
③ 在直线$MN$上点$D$的一侧截取线段$DA$，使$DA = b$；
④ 连接$AB$、$AC$，得到$△ ABC$。
(2) 先作$∠A = ∠α$，再在$∠A$的两条边上分别截取$AB=a$、$AC=a$，最后连接$BC$，保留所有尺规作图的圆弧、交点痕迹即可。
【答案】
(1) 作法如下：
① 作线段$BC = a$；
② 作线段$BC$的垂直平分线$MN$，交$BC$于点$D$；
③ 在直线$MN$上，点$D$的一侧截取线段$DA$，使$DA = b$；
④ 连接$AB$、$AC$，则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形。
(2) 先作$∠ A = ∠α$，再在$∠ A$的两条边上分别截取长度等于$a$的线段$AB$、$AC$，最后连接$BC$，保留所有尺规作图的圆弧、交点痕迹，所得$△ ABC$即为符合要求的三角形。
【知识点】
尺规作图基本操作、等腰三角形的性质、作一个角等于已知角
【点评】
本题是基础尺规作图应用题，侧重考查对等腰三角形性质的理解和基础作图技能的熟练度，掌握作线段、作垂直平分线、作等角等基本操作即可顺利完成。
【难度系数】
0.7

7.如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格中取一点P（P在格点上），使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为（）

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

7. C

【分析】
要解决这个问题，我们需要结合等腰三角形“两边相等”的性质分类讨论：首先已知MN是△MNP的一条边，因此分两种大情况：①MN作为等腰三角形的腰，此时分别以M、N为顶角顶点，找满足腰长等于MN的格点P；②MN作为等腰三角形的底边，此时P在MN的垂直平分线上，判断是否存在符合条件的格点。我们可以先借助勾股定理算出MN的长度，再分别寻找符合距离要求的格点即可，注意P要在方格的格点上，不能超出方格范围。
【解析】
设每个小方格的边长为1，根据勾股定理计算MN的长度：
$MN=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
分情况讨论：
1. 当MN为等腰三角形的腰，M为顶角顶点时，要求$MP=MN=2\sqrt{5}$，在方格格点中寻找到M的距离为$2\sqrt{5}$的点，排除点N后，共有2个符合条件的点P；
2. 当MN为等腰三角形的腰，N为顶角顶点时，要求$NP=MN=2\sqrt{5}$，在方格格点中寻找到N的距离为$2\sqrt{5}$的点，排除点M后，共有3个符合条件的点P；
3. 当MN为等腰三角形的底边时，要求$MP=NP$，即P在MN的垂直平分线上，观察可得MN的垂直平分线没有经过方格内的格点，不存在符合条件的点P。
综上，符合条件的点P总共有$2+3=5$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理的应用，分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是做到不重不漏地分类讨论，可借助“以顶点为圆心、腰长为半径画弧”的方法快速定位符合条件的格点，避免漏解。
【难度系数】
0.6