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10. 根据下列表格中的部分信息，分式M可能是 （
A.$\frac{x-1}{x+1}$
B.$\frac{x-2}{x+2}$
C.$\frac{x-1}{x+2}$
D.$\frac{x+1}{x-2}$
C
）A.$\frac{x-1}{x+1}$
B.$\frac{x-2}{x+2}$
C.$\frac{x-1}{x+2}$
D.$\frac{x+1}{x-2}$
答案
10. C
解析
【分析】
解题时可结合分式的两个核心性质推导：①分式无意义的条件是分母等于0；②分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0。首先根据表格中“x=-2时M无意义”的信息，确定分式的分母在x=-2时取值为0，先排除不符合分母要求的选项；再根据“x=1时M=0”的信息，确定分式的分子在x=1时取值为0，且分母此时不为0，再次筛选剩余选项即可得到答案。
【解析】
第一步：根据“x=-2时M无意义”筛选选项：
分式无意义时分母为0，即x=-2时分母的值为0：
A选项分母为$x+1$，代入x=-2得$-2+1=-1≠0$，排除A；
B选项分母为$x+2$，代入x=-2得$-2+2=0$，符合要求，保留；
C选项分母为$x+2$，代入x=-2得$-2+2=0$，符合要求，保留；
D选项分母为$x-2$，代入x=-2得$-2-2=-4≠0$，排除D。
第二步：根据“x=1时M=0”筛选剩余选项：
分式值为0时分子为0且分母不为0，即x=1时分子的值为0：
B选项分子为$x-2$，代入x=1得$1-2=-1≠0$，排除B；
C选项分子为$x-1$，代入x=1得$1-1=0$，此时分母$x+2=1+2=3≠0$，满足分式值为0的条件，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为零的条件
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题核心是将表格中的特殊取值对应到分式的分母、分子的约束条件，通过两次筛选即可快速得出答案，熟练掌握分式的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时可结合分式的两个核心性质推导：①分式无意义的条件是分母等于0；②分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0。首先根据表格中“x=-2时M无意义”的信息，确定分式的分母在x=-2时取值为0，先排除不符合分母要求的选项；再根据“x=1时M=0”的信息，确定分式的分子在x=1时取值为0，且分母此时不为0，再次筛选剩余选项即可得到答案。
【解析】
第一步：根据“x=-2时M无意义”筛选选项：
分式无意义时分母为0，即x=-2时分母的值为0：
A选项分母为$x+1$，代入x=-2得$-2+1=-1≠0$，排除A；
B选项分母为$x+2$，代入x=-2得$-2+2=0$，符合要求，保留；
C选项分母为$x+2$，代入x=-2得$-2+2=0$，符合要求，保留；
D选项分母为$x-2$，代入x=-2得$-2-2=-4≠0$，排除D。
第二步：根据“x=1时M=0”筛选剩余选项：
分式值为0时分子为0且分母不为0，即x=1时分子的值为0：
B选项分子为$x-2$，代入x=1得$1-2=-1≠0$，排除B；
C选项分子为$x-1$，代入x=1得$1-1=0$，此时分母$x+2=1+2=3≠0$，满足分式值为0的条件，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为零的条件
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题核心是将表格中的特殊取值对应到分式的分母、分子的约束条件，通过两次筛选即可快速得出答案，熟练掌握分式的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
11.【教材P173复习题T6变式】填空：
（1）当分式$\frac{1}{-x+5}$的值为正数时，$x$的取值范围是________；
（2）当分式$\frac{-4}{x^2+1}$的值为负数时，$x$的取值范围是________；
（3）当分式$\frac{2}{x-1}$的值为正整数时，整数$x$的值是________。
（1）当分式$\frac{1}{-x+5}$的值为正数时，$x$的取值范围是________；
（2）当分式$\frac{-4}{x^2+1}$的值为负数时，$x$的取值范围是________；
（3）当分式$\frac{2}{x-1}$的值为正整数时，整数$x$的值是________。
答案
11. (1)$x＜5$ (2)任意实数 (3)3或2
解析
【分析】
本题考查分式值相关的取值范围求解，解题思路如下：
（1）分式值为正数时，分子分母同号，已知分子为1是正数，因此只需令分母大于0，解不等式即可得到x的范围；
（2）分式值为负数时，分子分母异号，已知分子为-4是负数，结合平方的非负性可判断分母x²+1恒为正数，分子分母异号恒成立，即可得到x的取值范围；
（3）分式值为正整数时，分子为正，因此分母需为正且是分子的正约数，列出所有符合条件的分母取值，即可求解整数x的值。
【解析】
（1）要使分式$\frac{1}{-x+5}$的值为正数，分子$1＞0$，因此分母需满足：
$-x+5＞0$
移项得：$-x＞-5$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$x＜5$
（2）要使分式$\frac{-4}{x^2+1}$的值为负数，分子$-4＜0$，对分母分析：
对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，即分母恒为正数，分子分母异号恒成立，因此$x$可取任意实数。
（3）要使分式$\frac{2}{x-1}$的值为正整数，且$x$为整数：
分子$2＞0$，因此分母$x-1$是2的正约数，2的正约数为1、2，因此：
当$x-1=1$时，解得$x=2$；
当$x-1=2$时，解得$x=3$；
因此整数$x$的值为2或3。
【答案】
(1)$x＜5$ (2)任意实数 (3)3或2
【知识点】
1.分式值的正负判断
2.解一元一次不等式
3.正约数的应用
【点评】
本题围绕分式值的不同要求求解取值范围，核心是掌握分式值的符号与分子、分母符号的关系，第三小问需注意“正整数”“整数x”的限制条件，避免出现错解漏解。
【难度系数】
0.8
本题考查分式值相关的取值范围求解，解题思路如下：
（1）分式值为正数时，分子分母同号，已知分子为1是正数，因此只需令分母大于0，解不等式即可得到x的范围；
（2）分式值为负数时，分子分母异号，已知分子为-4是负数，结合平方的非负性可判断分母x²+1恒为正数，分子分母异号恒成立，即可得到x的取值范围；
（3）分式值为正整数时，分子为正，因此分母需为正且是分子的正约数，列出所有符合条件的分母取值，即可求解整数x的值。
【解析】
（1）要使分式$\frac{1}{-x+5}$的值为正数，分子$1＞0$，因此分母需满足：
$-x+5＞0$
移项得：$-x＞-5$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$x＜5$
（2）要使分式$\frac{-4}{x^2+1}$的值为负数，分子$-4＜0$，对分母分析：
对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，即分母恒为正数，分子分母异号恒成立，因此$x$可取任意实数。
（3）要使分式$\frac{2}{x-1}$的值为正整数，且$x$为整数：
分子$2＞0$，因此分母$x-1$是2的正约数，2的正约数为1、2，因此：
当$x-1=1$时，解得$x=2$；
当$x-1=2$时，解得$x=3$；
因此整数$x$的值为2或3。
【答案】
(1)$x＜5$ (2)任意实数 (3)3或2
【知识点】
1.分式值的正负判断
2.解一元一次不等式
3.正约数的应用
【点评】
本题围绕分式值的不同要求求解取值范围，核心是掌握分式值的符号与分子、分母符号的关系，第三小问需注意“正整数”“整数x”的限制条件，避免出现错解漏解。
【难度系数】
0.8
12.某市对一段全长1 500 m的道路进行改造，原计划每天修x m，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35 m，那么修这条路实际用了
$\frac{1500}{2x+35}$
天，此代数式是分式
（填“整式”或“分式”）。答案
12. $\frac{1500}{2x+35}$ 分式
解析
【分析】
解题时首先明确工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。第一步先根据题目给出的原计划工作效率求出实际每天的工作效率，再用总长度除以实际工作效率即可得到实际用时；接下来根据分式的定义判断所得代数式的类型：如果代数式的分母中含有字母，就属于分式，据此判断即可。
【解析】
1. 求实际每天修路的长度：已知原计划每天修$x$ m，实际每天修路比原计划的2倍还多35 m，因此实际每天修路$(2x+35)$ m。
2. 计算实际用时：道路全长为1500 m，根据$工作时间=工作总量÷工作效率$，可得实际用时为$\frac{1500}{2x+35}$ 天。
3. 判定代数式类型：分式的定义为：形如$\frac{A}{B}$（$A$、$B$是整式，$B$中含有字母且$B≠0$）的式子叫做分式。该代数式的分母$2x+35$中含有字母$x$，符合分式的定义，因此是分式。
【答案】
$\frac{1500}{2x+35}$；分式
【知识点】
工程问题数量关系；列代数式；分式的判定
【点评】
本题结合实际施工场景考查基础代数知识，解题关键是熟练掌握工程问题三类量的计算关系，同时明确分式和整式的核心区别是分母中是否含有字母，整体属于基础考查题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。第一步先根据题目给出的原计划工作效率求出实际每天的工作效率，再用总长度除以实际工作效率即可得到实际用时；接下来根据分式的定义判断所得代数式的类型：如果代数式的分母中含有字母，就属于分式，据此判断即可。
【解析】
1. 求实际每天修路的长度：已知原计划每天修$x$ m，实际每天修路比原计划的2倍还多35 m，因此实际每天修路$(2x+35)$ m。
2. 计算实际用时：道路全长为1500 m，根据$工作时间=工作总量÷工作效率$，可得实际用时为$\frac{1500}{2x+35}$ 天。
3. 判定代数式类型：分式的定义为：形如$\frac{A}{B}$（$A$、$B$是整式，$B$中含有字母且$B≠0$）的式子叫做分式。该代数式的分母$2x+35$中含有字母$x$，符合分式的定义，因此是分式。
【答案】
$\frac{1500}{2x+35}$；分式
【知识点】
工程问题数量关系；列代数式；分式的判定
【点评】
本题结合实际施工场景考查基础代数知识，解题关键是熟练掌握工程问题三类量的计算关系，同时明确分式和整式的核心区别是分母中是否含有字母，整体属于基础考查题。
【难度系数】
0.8
13.【新中考·结论开放】利用下面三个整式：①$x+5$；②$x-5$；③$x^2-36$中的两个或三个写出一个分式，使得当$x=5$时，分式的值为0，且$x=-6$时，分式无意义，则这个分式可以是________.
答案
$\frac{x-5}{x^2-36}$（答案不唯一）
解析
【分析】
解题时先明确分式的两个核心性质：①分式值为0的条件：分子为0，且分母不为0；②分式无意义的条件：分母为0。再对应题目要求拆解条件：
第一步，要满足x=5时分式的值为0，说明x=5代入分子结果为0，代入分母结果不为0；
第二步，要满足x=-6时分式无意义，说明x=-6代入分母结果为0；
第三步，对照给出的三个整式筛选：整式②$x-5$在x=5时取值为0，符合分子的要求；整式③$x^2-36$因式分解为$(x+6)(x-6)$，在x=-6时取值为0，且x=5时取值为25-36=-11≠0，符合分母的要求，即可构造出符合条件的分式。
【解析】
根据分式的性质推导：
1. 要使x=5时分式值为0，需满足分子在x=5时为0，且分母在x=5时不为0。观察给出的整式，$x=5$时$x-5=0$，因此分子可选取$x-5$（或包含$x-5$的整式乘积）。
2. 要使x=-6时分式无意义，需满足分母在x=-6时为0。观察给出的整式，$x=-6$时$x^2-36=(-6)^2-36=0$，且$x=5$时$x^2-36=25-36=-11≠0$，完全符合分母的要求。
因此可构造分式$\frac{x-5}{x^2-36}$，也可将$x+5$乘到分子上得到其他符合条件的分式，答案不唯一。
【答案】
$\frac{x-5}{x^2-36}$（答案不唯一）
【知识点】
分式值为0的条件；分式无意义的条件
【点评】
本题是结论开放类题目，核心考查对分式相关性质的理解与应用，解题时需注意不要忽略分式值为0时分母不为0的隐含要求，结合限制条件灵活构造即可。
【难度系数】
0.7
解题时先明确分式的两个核心性质：①分式值为0的条件：分子为0，且分母不为0；②分式无意义的条件：分母为0。再对应题目要求拆解条件：
第一步，要满足x=5时分式的值为0，说明x=5代入分子结果为0，代入分母结果不为0；
第二步，要满足x=-6时分式无意义，说明x=-6代入分母结果为0；
第三步，对照给出的三个整式筛选：整式②$x-5$在x=5时取值为0，符合分子的要求；整式③$x^2-36$因式分解为$(x+6)(x-6)$，在x=-6时取值为0，且x=5时取值为25-36=-11≠0，符合分母的要求，即可构造出符合条件的分式。
【解析】
根据分式的性质推导：
1. 要使x=5时分式值为0，需满足分子在x=5时为0，且分母在x=5时不为0。观察给出的整式，$x=5$时$x-5=0$，因此分子可选取$x-5$（或包含$x-5$的整式乘积）。
2. 要使x=-6时分式无意义，需满足分母在x=-6时为0。观察给出的整式，$x=-6$时$x^2-36=(-6)^2-36=0$，且$x=5$时$x^2-36=25-36=-11≠0$，完全符合分母的要求。
因此可构造分式$\frac{x-5}{x^2-36}$，也可将$x+5$乘到分子上得到其他符合条件的分式，答案不唯一。
【答案】
$\frac{x-5}{x^2-36}$（答案不唯一）
【知识点】
分式值为0的条件；分式无意义的条件
【点评】
本题是结论开放类题目，核心考查对分式相关性质的理解与应用，解题时需注意不要忽略分式值为0时分母不为0的隐含要求，结合限制条件灵活构造即可。
【难度系数】
0.7
14. 当x取何值时，分式$\frac{4-2|x|}{(x+2)^2}$满足下列要求？
(1)有意义；
(2)无意义；
(3)值为0.
03 素养练 学科素养培育
(1)有意义；
(2)无意义；
(3)值为0.
03 素养练 学科素养培育
答案
解:(1)由题意,得$(x+2)^2≠0$,解得$x≠-2$,$∴$当$x≠-2$时,分式有意义;(2)由题意,得$(x+2)^2=0$,解得$x=-2$,$∴$当$x=-2$时,分式无意义;(3)由题意,得$4-2|x|=0$,解得$x=±2$. 又$x≠-2$,$∴x=2$,$∴$当$x=2$时,分式值为0。
解析
【分析】
解决这类分式相关问题，需牢记三个核心判定规则：①分式有意义的条件是分母不为0；②分式无意义的条件是分母为0；③分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，两个条件缺一不可。解题时对应每个小问的要求，分别列式求解即可：(1)求有意义的x取值，令分母不等于0解不等式；(2)求无意义的x取值，令分母等于0解方程；(3)求值为0的x，先令分子等于0求出候选解，再代入分母验证，排除使分母为0的解，最终得到符合要求的取值。
【解析】
(1)要使分式有意义，需满足分母不为0，即：
$(x+2)^2≠0$
解得$x≠-2$
$∴$当$x≠-2$时，分式有意义；
(2)要使分式无意义，需满足分母为0，即：
$(x+2)^2=0$
解得$x=-2$
$∴$当$x=-2$时，分式无意义；
(3)要使分式值为0，需同时满足分子为0且分母不为0：
首先令分子为0：$4-2|x|=0$，解得$|x|=2$，即$x=±2$
结合分母不为0的条件$x≠-2$，因此只有$x=2$符合要求
$∴$当$x=2$时，分式值为0。
【答案】
(1)$x≠-2$；(2)$x=-2$；(3)$x=2$
【知识点】
分式有意义的条件；分式无意义的条件；分式值为0的条件
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，核心易错点是求解分式值为0的问题时，容易忽略分母不为0的限制条件，导致多解出错，解题时要养成求出分子为0的解后验证分母的习惯。
【难度系数】
0.75
解决这类分式相关问题，需牢记三个核心判定规则：①分式有意义的条件是分母不为0；②分式无意义的条件是分母为0；③分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，两个条件缺一不可。解题时对应每个小问的要求，分别列式求解即可：(1)求有意义的x取值，令分母不等于0解不等式；(2)求无意义的x取值，令分母等于0解方程；(3)求值为0的x，先令分子等于0求出候选解，再代入分母验证，排除使分母为0的解，最终得到符合要求的取值。
【解析】
(1)要使分式有意义，需满足分母不为0，即：
$(x+2)^2≠0$
解得$x≠-2$
$∴$当$x≠-2$时，分式有意义；
(2)要使分式无意义，需满足分母为0，即：
$(x+2)^2=0$
解得$x=-2$
$∴$当$x=-2$时，分式无意义；
(3)要使分式值为0，需同时满足分子为0且分母不为0：
首先令分子为0：$4-2|x|=0$，解得$|x|=2$，即$x=±2$
结合分母不为0的条件$x≠-2$，因此只有$x=2$符合要求
$∴$当$x=2$时，分式值为0。
【答案】
(1)$x≠-2$；(2)$x=-2$；(3)$x=2$
【知识点】
分式有意义的条件；分式无意义的条件；分式值为0的条件
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，核心易错点是求解分式值为0的问题时，容易忽略分母不为0的限制条件，导致多解出错，解题时要养成求出分子为0的解后验证分母的习惯。
【难度系数】
0.75
15.【新中考·新定义型阅读理解题】学习下面材料，解答问题.
分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式.如：$\frac{x-2}{x+1}＞0$；$\frac{2x+3}{x-1}＜0$等.那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负.其字母表达式为：
(1)若$a＞0,b＞0$，则$\frac{a}{b}＞0$；
若$a＜0,b＜0$，则$\frac{a}{b}＞0$；
(2)若$a＞0,b＜0$，则$\frac{a}{b}＜0$；
若$a＜0,b＞0$，则$\frac{a}{b}＜0$.
反之：①若$\frac{a}{b}＞0$，则$\begin{cases} a＞0, \\ b＞0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0, \\ b＜0 \end{cases}$；
②若$\frac{a}{b}＜0$，则________或________.
根据上述规律，求不等式$\frac{x+1}{x-3}＜0$的解集.
分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式.如：$\frac{x-2}{x+1}＞0$；$\frac{2x+3}{x-1}＜0$等.那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负.其字母表达式为：
(1)若$a＞0,b＞0$，则$\frac{a}{b}＞0$；
若$a＜0,b＜0$，则$\frac{a}{b}＞0$；
(2)若$a＞0,b＜0$，则$\frac{a}{b}＜0$；
若$a＜0,b＞0$，则$\frac{a}{b}＜0$.
反之：①若$\frac{a}{b}＞0$，则$\begin{cases} a＞0, \\ b＞0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0, \\ b＜0 \end{cases}$；
②若$\frac{a}{b}＜0$，则________或________.
根据上述规律，求不等式$\frac{x+1}{x-3}＜0$的解集.
答案
(2) $\begin{cases} a＞0, \\ b＜0 \end{cases}$ $\begin{cases} a＜0, \\ b＞0 \end{cases}$ 解:由题中规律,得$\begin{cases} x+1＞0, \\ x-3＜0 \end{cases}$或$\begin{cases} x+1＜0, \\ x-3＞0 \end{cases}$ 解得$-1＜x＜3$。
解析
【分析】
本题是新定义类阅读理解题，解题分两步：第一步先结合材料给出的有理数除法“异号得负”的结论，反向推导得到$\frac{a}{b}＜0$对应的两个不等式组；第二步求解分式不等式时，将分子$x+1$看作a、分母$x-3$看作b，根据推导的规律拆分为两个一元一次不等式组，分别求解后合并有效解集即可。
【解析】
1. 推导$\frac{a}{b}＜0$的等价情况：
根据“两数相除，异号得负”的反向规律，若$\frac{a}{b}＜0$，则a和b符号相反，即$\begin{cases} a＞0, \\ b＜0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0, \\ b＞0 \end{cases}$。
2. 解不等式$\frac{x+1}{x-3}＜0$：
把分子$x+1$视为a，分母$x-3$视为b，结合上述规律拆分为两个不等式组：
① 解不等式组$\begin{cases} x+1＞0 \\ x-3＜0 \end{cases}$：
解$x+1＞0$得$x＞-1$，解$x-3＜0$得$x＜3$，因此该组解集为$-1＜x＜3$。
② 解不等式组$\begin{cases} x+1＜0 \\ x-3＞0 \end{cases}$：
解$x+1＜0$得$x＜-1$，解$x-3＞0$得$x＞3$，不存在同时满足两个条件的x，因此该组无解。
合并有效解集得原分式不等式的解集。
【答案】
②空依次为$\begin{cases} a＞0, \\ b＜0 \end{cases}$、$\begin{cases} a＜0, \\ b＞0 \end{cases}$；不等式$\frac{x+1}{x-3}＜0$的解集为$-1＜x＜3$。
【知识点】
有理数除法法则、一元一次不等式组解法、分式不等式求解
【点评】
本题属于新定义阅读题型，重点考查材料规律理解能力和知识迁移能力，解题核心是将陌生的分式不等式转化为已经学过的一元一次不等式组求解。
【难度系数】
0.7
本题是新定义类阅读理解题，解题分两步：第一步先结合材料给出的有理数除法“异号得负”的结论，反向推导得到$\frac{a}{b}＜0$对应的两个不等式组；第二步求解分式不等式时，将分子$x+1$看作a、分母$x-3$看作b，根据推导的规律拆分为两个一元一次不等式组，分别求解后合并有效解集即可。
【解析】
1. 推导$\frac{a}{b}＜0$的等价情况：
根据“两数相除，异号得负”的反向规律，若$\frac{a}{b}＜0$，则a和b符号相反，即$\begin{cases} a＞0, \\ b＜0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0, \\ b＞0 \end{cases}$。
2. 解不等式$\frac{x+1}{x-3}＜0$：
把分子$x+1$视为a，分母$x-3$视为b，结合上述规律拆分为两个不等式组：
① 解不等式组$\begin{cases} x+1＞0 \\ x-3＜0 \end{cases}$：
解$x+1＞0$得$x＞-1$，解$x-3＜0$得$x＜3$，因此该组解集为$-1＜x＜3$。
② 解不等式组$\begin{cases} x+1＜0 \\ x-3＞0 \end{cases}$：
解$x+1＜0$得$x＜-1$，解$x-3＞0$得$x＞3$，不存在同时满足两个条件的x，因此该组无解。
合并有效解集得原分式不等式的解集。
【答案】
②空依次为$\begin{cases} a＞0, \\ b＜0 \end{cases}$、$\begin{cases} a＜0, \\ b＞0 \end{cases}$；不等式$\frac{x+1}{x-3}＜0$的解集为$-1＜x＜3$。
【知识点】
有理数除法法则、一元一次不等式组解法、分式不等式求解
【点评】
本题属于新定义阅读题型，重点考查材料规律理解能力和知识迁移能力，解题核心是将陌生的分式不等式转化为已经学过的一元一次不等式组求解。
【难度系数】
0.7
